رياضيات ألعاب الطاولة: الاحتمالية، والقيمة المتوقعة، ولماذا يبدو النرد غير عادل

كل ميكانيكي في لعبة اللوحة له هوية رياضية. لفة النرد لها قيمة متوقعة وتباين. سحب البطاقة له توزيع احتمالي. تجارة الموارد لها سعر صرف يمكن التعبير عنه كنسبة. المصممون الذين يفهمون هذه الرياضيات يتخذون قرارات أفضل من المصممين الذين يعملون حسب الشعور - ليس لأن الرياضيات تحل محل الحدس، ولكن لأن الحدس كثيرًا ما يختلف مع الواقع بطرق يكون الاختبار وحده بطيئًا في تصحيحها.

تغطي هذه المقالة المفاهيم الرياضية الأكثر أهمية لتصميم ألعاب الطاولة ولعبها: التوزيعات الاحتمالية، والقيمة المتوقعة، والتباين، والفجوة النفسية بين ما تقوله الرياضيات وما يختبره اللاعبون. سواء كنت تصمم لعبة أو تحاول فقط فهم السبب الذي يجعل جلسات النرد الخاصة بك تبدو غير محظوظة بشكل كارثي، فإن إطار العمل هنا سيغير طريقة تفكيرك بشأن العشوائية في الألعاب.

لماذا تعتبر الرياضيات مهمة في تصميم الألعاب

لا يعرف مصمم اللعبة الذي لم يحسب القيمة المتوقعة لاقتصاد الحركة الأساسي للعبته ما إذا كانت لعبته ناجحة أم لا. قد يبدو هذا قاسيًا، لكنه صحيح من الناحية الوظيفية. إذا كان الدخل المتوقع من أفضل إجراء متاح هو 4 موارد في كل جولة وكانت تكلفة الإجراء في حالة النصر هي 30 موردًا، فيجب على المصمم معرفة ما إذا كان معدل الدخل هذا قابلاً للتحقيق خلال المدة النموذجية للعبة - قبل اختبار اللعب، وليس بعد ست جلسات يتساءل فيها عن سبب عدم فوز أحد على الإطلاق.

الرياضيات واختبارات اللعب هي أدوات تكميلية وليست بدائل. تخبرك الرياضيات بما تتنبأ به النظرية. يخبرك اختبار اللعب ما إذا كان السلوك البشري يتطابق مع النظرية. وفي أغلب الأحيان، يتباعدون - ليس لأن الرياضيات خاطئة، ولكن لأن اللاعبين لا يختارون دائمًا الإجراء الأمثل من الناحية النظرية. إن الفجوة بين اللعب الأمثل النظري واللعب البشري الفعلي هي في حد ذاتها متغير تصميمي: فاللعبة التي يؤدي فيها اللعب الأمثل فقط إلى اتخاذ قرارات مثيرة للاهتمام هي لعبة أسوأ من لعبة يؤدي فيها اللعب دون المستوى الأمثل إلى خلق مواقف مثيرة للاهتمام أيضًا.

لكل ميكانيكي قيمة متوقعة، ويجب على المصممين معرفتها. عندما يحصل لاعب Neutronium: Parallel Wars على دخل من الموانئ النووية، فإنه يتلقى قيمة متوقعة محسوبة بدقة لكل منفذ في كل جولة. عندما يختارون الهجوم بدلاً من البناء، فإنهم يتخذون قرارًا له نتائج متوقعة قابلة للحساب في ظل سيناريوهات مختلفة. المصمم الذي يعرف هذه الأرقام يمكنه اتخاذ قرارات متوازنة ذات معنى؛ المصمم الذي لا يفعل ذلك هو التخمين.

يتمثل عدم التماثل الحرج في أن العشوائية تبدو غير عادلة حتى عندما تكون متوازنة. يؤدي قلب العملة بنسبة 50/50 إلى إنتاج صورة ست مرات متتالية في حوالي 1.6% من الوقت - نادرًا، ولكن ليس مستحيلًا. عندما يحدث ذلك للاعب في إحدى الألعاب، فإنه يشعر بأنه قد تم كسر اللعبة، وليس كحدث إحصائي عادي. إن فهم سبب حدوث ذلك - وكيف يمكن للمصممين هيكلة العشوائية بحيث تشعر بأنها أقل عقابًا مع الحفاظ على نفس الاحتمالات الأساسية - هو التطبيق الأكثر قيمة من الناحية العملية لرياضيات تصميم الألعاب.

احتمالية النرد 101

إن d6 المنفردة هي أداة التوزيع العشوائي الأكثر شيوعًا في ألعاب الطاولة وأيضًا واحدة من أكثر الأدوات التي يساء فهمها. يُنتج المعيار d6 توزيعًا موحدًا: كل وجه (من 1 إلى 6) لديه احتمال حدوثه بنسبة 1/6، والقيمة المتوقعة هي 3.5. يفهم اللاعبون ذلك بشكل حدسي، لكنهم غالبًا ما يفشلون في فهم ما يعنيه التدحرج المتكرر خلال الجلسة.

يعد التمييز بين d6 و2d6 أمرًا أساسيًا لفهم سبب اختلاف آليات النرد المختلفة. يحتوي d6 الواحد على توزيع احتمالي ثابت - كل نتيجة من 1 إلى 6 محتملة بنفس القدر. يُنتج مجموع اثنين من d6 منحنى جرس: 7 هي النتيجة الأكثر ترجيحًا (الاحتمال 6/36 = 16.7%)، بينما يكون لكل من 2 و12 احتمال 1/36 = 2.8%. يركز التوزيع 2d6 النتائج بالقرب من المنتصف ويجعل النتائج المتطرفة نادرة. ولهذا السبب، تشعر شركة Catan، التي تستخدم 2d6 لإنتاج الموارد، بأنها أقل عقابًا على اللفائف الفردية من الأنظمة أحادية القالب - حيث يحد التوزيع بطبيعة الحال من النتائج القصوى.

النرد المخصص مع توزيعات غير قياسية للوجه يمنح المصممين تحكمًا دقيقًا في ملفات التعريف الاحتمالية التي لا يمكن أن يوفرها النرد القياسي. النرد ذو الوجوه [0، 0، 0، 1، 1، 2] له طابع مختلف تمامًا عن d6: فهو ينتج صفرًا في 50% من الوقت، وواحدًا في 33% من الوقت، واثنين في 17% من الوقت، مع قيمة متوقعة تبلغ 0.67. يستخدم Neutronium: Parallel Wars نرد D6 مخصصًا مع وجوه مرمزة بالألوان: تمثل الوجوه الزرقاء نتائج القتال القياسية، وتمثل الوجوه الحمراء النتائج الحاسمة، وتمثل الوجوه الخضراء محفزات القدرة الخاصة. إن توزيع أنواع الوجوه - وليس فقط عدد الوجوه - يحدد احتمالية كل نتيجة. النرد ذو ثلاثة وجوه زرقاء، ووجهين أحمرين، ووجه أخضر واحد ينتج نتائج زرقاء بنسبة 50% من الوقت، وأحمر بنسبة 33%، وأخضر بنسبة 17%. ويمكن للمصمم ضبط هذه النسب عن طريق تغيير عدد الوجوه بدلاً من إنشاء أنظمة دقة معقدة رياضياً.

النرد المتفجر هو حجر النرد الذي، عند رمي الحد الأقصى للقيمة، يتم رميه مرة أخرى وإضافة النتائج. d6 الذي ينفجر في 6 له قيمة متوقعة (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × القيمة المتوقعة لـ d6) = 3.5 + (1/6 × 3.5) = 3.5 + 0.583 = 4.083. تخلق الطبيعة المفتوحة نتائج غير محدودة من الناحية النظرية - يمكن لتسلسل محظوظ من الانفجارات أن ينتج مجاميع عالية جدًا - مما ينتج عنه لحظات "الشعور بالحظ" التي تزرعها بعض الألعاب عمدًا. تتمثل المقايضة في التباين العالي ولفة الحظ التي تحدد اللعبة في بعض الأحيان.

النرد المحدود هما الفلسفة المعاكسة: تحديد الحد الأقصى للنتيجة لتقييد التباين. أنظمة تجميع النرد حيث تقوم برمي عدة نرد وتحصل فقط على أفضل نتائج N (أنظمة المزايا مثل ميكانيكية المزايا الخاصة بـ D&D 5E، أو النرد المتعدد الخاص بـ Gumshoe الذي يحصل على أعلى مستوى) تعمل على تقليل التباين رياضيًا مع الحفاظ على الشعور الاحتمالي. يؤدي الحصول على أعلى لفتين d6 إلى تغيير القيمة المتوقعة من 3.5 إلى 4.47 — وهو تحسن بنسبة 28% — مع تقليل احتمالية النتائج المنخفضة بشكل كبير.

القيمة المتوقعة في ألعاب الموارد

إن ألعاب تراكم الموارد - اليورو، وصانعو المحركات، والاستراتيجيات الاقتصادية - مبنية على حسابات القيمة المتوقعة التي يجب على المصمم أن يفهمها بدقة حتى لو لم تظهر بشكل واضح في كتاب القواعد. عندما يختار اللاعب بين إجراءين، فإنه (بوعي أو بغير وعي) يقوم بمقارنة القيمة المتوقعة لتلك الإجراءات خلال الأفق الزمني ذي الصلة.

Neutronium: Parallel Wars يعد نظام دخل الموانئ النووية مثالًا واضحًا على القيمة المتوقعة المصممة. تنص صيغة الدخل على أن اللاعب الذي يمتلك منافذ نووية N يتلقى دخلاً بمعدل يتوسع بشكل غير خطي مع N. الصيغة المحددة — منفذ واحد ينتج 2 Neutronium وحدة في كل جولة؛ 10 منافذ تنتج 220 نيوتن لكل جولة — وهذا ليس من قبيل الصدفة. إنه بيان صريح للمصمم بأن تراكم المنافذ يجب أن ينتج عوائد أسية وليس عوائد خطية، لأن العوائد الأسية تنشئ عتبة التحالف التي تحرك ديناميكيات اللعبة التنافسية.

هذه الصيغة عبارة عن تصميم لعبة متعمد يتم التعبير عنه بالرياضيات. إن الفجوة بين دخل 7 منافذ (42 نيوتن/جولة) ودخل 10 منافذ (220 نيوتن/جولة) هي الحجة الاقتصادية لسبب تشكيل التحالفات عند عتبة 7 منافذ بدلاً من الانتظار حتى 9 أو 10 موانئ. في 7 منافذ، يكون لدى اللاعب ما يكفي من الدخل ليشكل تهديدًا - ولكن لا يزال من الممكن أن يكون عمل التحالف حاسمًا قبل أن تصبح ميزة الدخل غير قابلة للتغلب عليها حسابيًا. المصمم الذي وصل إلى هذه الأرقام من خلال اختبار اللعب وحده قد يصل إليها بشكل صحيح تقريبًا؛ المصمم الذي فهم الدالة الأسية من البداية يمكنه تحديد العتبة بدقة.

المبدأ الأوسع: عندما يكون القياس الأسي هو تصميم لعبة متعمد، يجب على المصمم توثيق وظيفة القياس والتحقق من أن الحدود التي ينشئها هي حيث يريدها. إذا كان يجب أن تكون عتبة التحالف عند 6 منافذ بدلاً من 7، فيجب تعديل معادلة الدخل - الأمر الذي يتطلب معرفة ما هي الصيغة، وليس مجرد ملاحظة أن "اللعبة تبدو متوازنة".

التباين وإدراك اللاعب

التباين هو مقياس لمدى انتشار النتائج الفعلية حول القيمة المتوقعة. التباين العالي يعني أن النتائج الفردية يمكن أن تختلف بشكل كبير عن التوقعات؛ التباين المنخفض يعني أن النتائج تتجمع بإحكام حول المتوسط. بالنسبة لمصممي الألعاب، يعد التباين بمثابة مقبض تحكم يؤثر على العدالة الرياضية للعبة والتجربة الشخصية للعبها.

الرؤية النفسية الأساسية: يبدو التباين العالي سيئًا حتى عندما يكون متوازنًا رياضيًا. يعتبر قلب العملة عادلاً تمامًا - 50/50، القيمة المتوقعة متساوية تمامًا لكلا اللاعبين - ولكن ممارسة لعبة حيث يتم حل كل قرار عن طريق قلب العملة يبدو تعسفيًا وغير مجزٍ. يحتاج اللاعبون إلى الشعور بأن قراراتهم مهمة، مما يعني أنهم بحاجة إلى العلاقة السببية بين القرارات الجيدة والنتائج الجيدة حتى يمكن إدراكها خلال جلسة اللعبة. التباين العالي يقطع هذا الاتصال.

توضح مشكلة كاتان السداسية 7 مقابل 2 ذلك بوضوح. في كاتان، تتم طباعة الرقم 7 على معظم الأشكال السداسية لأنه يتمتع بأعلى احتمالية مع 2d6 (16.7%). تتم طباعة الرقم 2 على أقل عدد من الأشكال السداسية (2.8%). يعرف اللاعبون ذوو الخبرة كيفية تحديد أولويات الموارد على 6 و8 و5 و9 - وهي عرافات ذات احتمالية عالية. ولكن في أي جلسة معينة، فإن اللاعب الذي يضع تسوياته الأولية بشكل صحيح على هذه السداسيات يمكن أن يظل أداؤه أقل بكثير من قبل اللاعب الذي لديه مواضع ذات احتمالية أقل إذا انحرفت رميات النرد الفعلية عن القيم المتوقعة. وهذا ليس ظلمًا، بل هو تباين إحصائي طبيعي. ولكن الأمر يبدو غير عادل لأن العلاقة بين القرار (الوضع الجيد) والنتيجة (دخل الموارد المتكرر) يحجبها التباين.

تتضمن حلول التصميم لإدارة الظلم المتصور من التباين ما يلي: آليات التخفيف (عمليات إعادة التدوير، وبنوك الموارد، وآليات اللحاق بالركب التي يتم تنشيطها عند حدوث الحظ السيئ)، نقاط القرار التي تظل ذات معنى حتى بعد الحظ السيئ (وبالتالي فإن اللاعب الذي يتدحرج بشكل سيئ لا يزال لديه خيارات مثيرة للاهتمام)، و التباين الذي يفضل اللاعبين المتأخرين (اللحاق عبر التباين: يريد اللاعب الرائد دخلًا ثابتًا ويمكن التنبؤ به، ويستفيد اللاعبون المتأخرون من الأساليب عالية التباين التي يمكنها سد الفجوة بسرعة، على الرغم من أن القيمة المتوقعة هي نفسها).

إن لحظات صانع الملوك من حجر النرد - حيث تحدد رمية عشوائية اللاعب الذي سيفوز أو يخسر في الجولة النهائية - هي نتائج التباين الأكثر ضررًا لرضا اللاعب. الحل لا يكمن في إزالة النرد، بل في هيكلة اللعبة المتأخرة بحيث تؤثر نتائج النرد على الطريق إلى النصر بدلاً من تحديده بشكل مباشر. عندما يكون لدى العديد من اللاعبين مراكز فائزة صالحة قبل الجولة النهائية، فإن قائمة الحظ مرضية للفائز ولكنها لا تبدو غير شرعية للخاسرين - لأن الخاسرين كان لديهم أيضًا طريق للفوز والذي كان من الممكن تحقيقه من خلال لفات الحظ الخاصة بهم.

اختبار التوازن مع الرياضيات

يوفر إطار عمل MEQA (قابلية القياس والمشاركة والجودة وإمكانية الوصول) أسلوبًا منظمًا لاختبار توازن اللعبة. ركيزة قابلية القياس — الحرف M في MEQA — هي المكان الذي تدخل فيه الرياضيات في عملية التصميم رسميًا: قبل بدء اختبار اللعب، يحدد المصمم ما تعنيه كلمة "متوازن" بمصطلحات قابلة للقياس.

بالنسبة للعبة ذات فصائل غير متماثلة مثل Neutronium: Parallel Wars، يعني التوازن القابل للقياس: يجب أن يحقق كل فصيل معدل فوز ضمن نطاق تسامح محدد عبر عينة كافية من الألعاب بمستويات مهارة قابلة للمقارنة. إذا كان الهدف هو معدل فوز بنسبة 50% (توازن خالص) مع نطاق مقبول ±10%، فإن الفصيل الذي يفوز بنسبة 42% من المباريات يكون في حدود التسامح بينما يفوز الفصيل بنسبة 63% ليس كذلك. لكن تحقيق هذا المعيار يتطلب معرفة الهدف قبل الاختبار - وليس الإعلان بعد ذلك عن أن معدلات الفوز الملحوظة "قريبة بدرجة كافية".

يؤدي تحديد المقاييس قبل اختبار اللعب إلى تغيير ما تلاحظه. إذا كنت تعلم أنك تقيس معدل الفوز لكل فصيل، فيمكنك تتبع تعيينات الفصيل ونتائجه عبر الجلسات. إذا كنت تعلم أنك تقيس متوسط ​​طول اللعبة، فستسجل الطوابع الزمنية. يجب اتخاذ هذه القرارات قبل جلسة اختبار اللعب الأولى، لأن المقاييس بأثر رجعي غير موثوقة - فالذاكرة انتقائية ويتذكر البشر بشكل طبيعي الجلسات التي تدعم المعتقدات الحالية.

غالبًا ما تكون متطلبات حجم العينة لاستنتاجات التوازن أكبر مما يتوقعه المصممون. بالنسبة للعبة مكونة من لاعبين مع فصيلين، توفر 30 لعبة بيانات أساسية لاكتشاف الاختلالات الأكبر من 15% بثقة 80%. بالنسبة للألعاب المكونة من 4 لاعبين مع 6 فصائل، تكون مساحة المجموعة أكبر بكثير: 30 لعبة تمنحك ما يقرب من 5 ألعاب لكل زوج من الفصائل - وهي بالكاد كافية لاكتشاف عدم التوازن الشديد، وغير كافية لاكتشاف المزايا الدقيقة. نادرًا ما يمتلك الناشرون المستقلون الموارد اللازمة للتحقق الإحصائي الدقيق؛ يتمثل النهج العملي في استخدام الرياضيات للتحقق من القيم المتوقعة، واختبار اللعب للتعرف على القيم المتطرفة، وتعليقات المجتمع بعد الإصدار لتحديد المشكلات المتبقية.

للاطلاع على الإطار الكامل - بما في ذلك كيفية تكامل إمكانية القياس مع ركائز MEQA الأخرى - راجع MEQA دليل إطار عمل توازن اللعبة، والذي يغطي المنهج الكامل لتحديد وقياس وتحقيق التوازن عبر أنظمة الألعاب.

ترتبط صيغة قياس الدخل في Neutronium مباشرة بالتفاصيل الميكانيكية في /mechanics/nuclear-port-scaling، حيث يتم توثيق الدالة الأسية جنبًا إلى جنب مع منطق التصميم لكل قيمة عتبة.

أدوات الاحتمالية للمصممين

تتيح العديد من الأدوات إمكانية الوصول إلى رياضيات تصميم الألعاب دون الحاجة إلى تدريب إحصائي متقدم. هذه هي تلك التي تعمل في الممارسة العملية.

AnyDice (anydice.com) هي الآلة الحاسبة القياسية لاحتمالات النرد لمصممي الألعاب. يقبل تدوين النرد باللغة الطبيعية (2d6، d4+d8، 3d6 يحتفظ بأعلى 2) ويعيد التوزيعات الاحتمالية والقيم المتوقعة والاحتمالات التراكمية. بالنسبة لأي ميكانيكي يستخدم النرد، يجب أن تكون AnyDice هي الأداة الأولى التي يتم الرجوع إليها. تجعل الرسوم البيانية الناتجة التوزيعات واضحة ومقروءة على الفور وقابلة للمقارنة — الصق تعبيرين مختلفين من النرد جنبًا إلى جنب لترى على الفور كيف تختلف توزيعاتهما.

محاكاة جداول البيانات (جداول بيانات Google وExcel) تتعامل مع الحسابات التي لا يستطيع AnyDice التعامل معها: تراكم الموارد على مدار جولات متعددة، والدخل من مصادر متعددة، ومدة اللعبة المتوقعة في ظل افتراضات استراتيجية مختلفة. يستغرق نموذج جدول البيانات الأساسي لاقتصاد اللعبة - مع أعمدة لكل دور، وصفوف لكل نوع من الموارد، وصيغ تمثل الدخل الأساسي للعبة وآليات الإنفاق - من 2 إلى 3 ساعات للبناء والكشف عن مشكلات التوازن التي قد تتطلب أكثر من 20 اختبار لعب لاكتشافها تجريبيًا.

محاكاة مونت كارلو هي الأداة الأعلى دقة: حيث يتم تشغيل آليات اللعبة آلاف المرات حسابيًا لإنتاج توزيعات إحصائية عبر جميع النتائج المحتملة. بالنسبة للمصممين ذوي الخلفية البرمجية، فإن لغة Python مع NumPy كافية لمعظم احتياجات محاكاة الألعاب. بالنسبة للمصممين الذين ليس لديهم خلفية برمجية، هناك أدوات مونت كارلو المرئية وحتى عمليات المحاكاة القائمة على جداول البيانات والتي تنتج نتائج ذات معنى مع معرفة تقنية محدودة. تعد لعبة مونت كارلو أكثر قيمة بالنسبة للألعاب ذات الترابطات المعقدة حيث يكون الحساب التحليلي صعبًا - عندما تتفاعل أحداث عشوائية متعددة، تنتج المحاكاة تقديرات توزيع أكثر موثوقية من الحساب اليدوي.

متى يجب الثقة في الرياضيات مقابل متى يجب إجراء اختبار اللعب: استخدم الرياضيات للتحقق من التوازن النظري ورصد أخطاء التصميم الواضحة قبل الاستثمار في اختبار اللعب. استخدم اختبار اللعب لاكتشاف كيفية تفاعل علم النفس البشري مع الرياضيات - الأماكن التي تختلف فيها الإستراتيجية المثالية عما يفعله اللاعبون فعليًا، والأماكن التي تتنبأ فيها الرياضيات بالتوازن ولكن التجربة تبدو غير عادلة. كلاهما ضروري. ولا يكفي أي منهما بمفرده.

الأسئلة الشائعة

لعبة حيث تم تصميم الرياضيات لتكون مرئية

Neutronium: Parallel Wars يعتمد مقياس الدخل وحدود التحالف ونظام النرد على حسابات احتمالية واضحة. انضم إلى قائمة الانتظار للحصول على تحديثات الإطلاق.