Mahai-jokoen matematika: probabilitatea, esperotako balioa eta zergatik sentitzen diren dadoak bidegabeak

Mahai-jokoen mekanikari bakoitzak identitate matematiko bat du. Dado jaurtiketak esperotako balioa eta bariantza ditu. Karta zozketa batek probabilitate banaketa du. Baliabideen merkataritza batek ratio gisa adieraz daitekeen truke-tasa du. Matematika hau ulertzen duten diseinatzaileek sentimenduaren arabera lan egiten duten diseinatzaileek baino erabaki hobeak hartzen dituzte, ez matematikak intuizioa ordezkatzen duelako, baizik eta intuizioa sarritan errealitatearekin bat ez datorrelako probak bakarrik zuzentzeko motelak diren moduan.

Artikulu honek mahai-jokoen diseinurako eta jolaserako gehien axola diren kontzeptu matematikoak biltzen ditu: probabilitate-banaketa, esperotako balioa, bariantza eta matematikak esaten duenaren eta jokalariek bizi dutenaren arteko hutsune psikologikoa. Joko bat diseinatzen ari zaren edo besterik gabe ulertzen saiatzen ari zaren zure dadoen saioak zergatik sentitzen diren hain zorte txarra, hemengo esparruak jokoetan ausazkotasunari buruz duzun iritzia aldatuko du.

Zergatik axola Matematikak jokoen diseinuan

Bere jokoaren oinarrizko ekintza-ekonomiaren espero den balioa kalkulatu ez duen joko-diseinatzaile batek ez daki bere jokoa funtzionatzen duen. Hau gogorra dirudi, baina funtzionalki egia da. Eskuragarri dagoen ekintza onenetik espero den diru-sarrerak txanda bakoitzeko 4 baliabide badira eta garaipen-baldintza ekintzaren kostua 30 baliabide badira, diseinatzaileak jakin behar du diru-sarrera-tasa hori jokoaren ohiko iraupenean lor daitekeen ala ez, jolastu aurretik, ez sei saioren ondoren inork zergatik ez duen irabazten galdetzen.

Matematika eta jolas-probak tresna osagarriak dira, ez alternatibak. Matematikak teoriak iragartzen duena esaten dizu. Playtesting-ek gizakien portaera teoriarekin bat datorren ala ez adierazten dizu. Gehienetan, alde egiten dute, ez matematika okerra delako, baizik eta jokalariek ez dutelako beti aukeratzen teoriako ekintza optimoa. Jolas optimo teorikoaren eta benetako giza jolasaren arteko aldea diseinu-aldagai bat da berez: jolas optimoak soilik erabaki interesgarriak sortzen dituen joko bat joko okerragoa da joko ez-optimoak egoera interesgarriak sortzen dituena baino.

Mekanikari bakoitzak espero duen balio bat du, eta diseinatzaileek hori ezagutu behar dute. Neutronium: Parallel Wars jokalari batek Nuklear Ports-en diru-sarrerak lortzen dituenean, txanda bakoitzeko portu bakoitzeko zehatz-mehatz kalkulatutako espero den balioa jasotzen ari da. Eraiki beharrean erasotzea aukeratzen dutenean, agertoki ezberdinetan espero diren emaitzak konputagarriak dituen erabakia hartzen ari dira. Zenbaki horiek ezagutzen dituen diseinatzaileak oreka erabaki esanguratsuak har ditzake; egiten ez duen diseinatzailea asmatzen ari da.

Asimetria kritikoa da ausazkotasuna bidegabea dela sentitzen dela orekatuta dagoenean ere. 50/50 txanpon-iraulketa batek sei aldiz jarraian ekoizten ditu buruak denboraren %1,6 gutxi gorabehera, gutxitan, baina ez ezinezkoa. Joko batean jokalari bati hori gertatzen zaionean, jokoa hausten ari den moduan bizitzen du, ez gertaera estatistiko arrunt gisa. Hori zergatik gertatzen den ulertzea —eta diseinatzaileek nola egitura dezaketen ausazkotasuna zigor gutxiago sentitzeko, azpiko probabilitate berdinak mantenduz— da jokoen diseinuaren matematikaren aplikaziorik baliotsuena.

101 dadoen probabilitatea

D6 bakarra da mahai-jokoetan ausazko aukeraketa-tresna ohikoena eta gaizki ulertuenetakoa ere bai. d6 estandar batek banaketa uniformea ​​sortzen du: aurpegi bakoitzak (1etik 6ra) gertatzeko 1/6 probabilitatea du, eta espero den balioa 3,5 da. Jokalariek intuizioz ulertzen dute hori, baina askotan ez dute ulertzen zer esan nahi duen saio batean behin eta berriz errepikatutako jaurtiketak.

d6 eta 2d6 bereizketa bakarra oinarrizkoa da dadoen mekanika desberdinak zergatik sentitzen diren desberdinak ulertzeko. D6 bakar batek probabilitate banaketa laua du; 1etik 6rako emaitza guztiak berdinak dira. Bi d6 batuketak kanpai-kurba sortzen dute: 7 da emaitzarik ziurrenena (probabilitatea 6/36 = % 16,7), 2 eta 12 bakoitzak 1/36 = % 2,8 probabilitatea dute. 2d6 banaketak erditik gertuko emaitzak kontzentratzen ditu eta muturreko emaitzak arraroak egiten ditu. Horregatik, Catanek, baliabideak ekoizteko 2d6 erabiltzen dituenak, jaurtiketa bakarreko sistemak baino zigor gutxiago sentitzen du; banaketak berez mugatzen ditu muturreko emaitzak.

Dado pertsonalizatuak aurpegi banaketa ez-estandarrarekin diseinatzaileei dado estandarrak eman ezin dituen probabilitate-profilen gaineko kontrol zehatza ematen die. [0, 0, 0, 1, 1, 2] aurpegiak dituen trokel batek d6 batek baino oso bestelako izaera du: denboraren %50ean zero sortzen du, denboraren %33 bat eta denboraren %17an bi, 0,67ko balio itxaropenarekin. Neutronium: Parallel Wars-k D6 dado pertsonalizatuak erabiltzen ditu kolorez kodetutako aurpegiekin: aurpegi urdinek borrokaren emaitza estandarrak adierazten dituzte, aurpegi gorriak emaitza kritikoak eta aurpegi berdeek gaitasun bereziak eragiten dituzte. Aurpegi moten banaketak, ez aurpegi kopuruak bakarrik, emaitza bakoitzaren probabilitatea zehazten du. Hiru aurpegi urdin, bi aurpegi gorri eta aurpegi berde batek emaitza urdinak sortzen ditu denboraren % 50, gorria % 33 eta berdea % 17. Diseinatzaileak ratio horiek doi ditzake aurpegien kopurua aldatuz, matematikoki bereizmen-sistema konplexuak sortu beharrean.

Lehertzen ari diren dadoak, gehienezko balioa botatzean, berriro jaurti eta emaitzak gehitzen diren dadoak dira. 6an lehertzen den d6 batek (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6 baten esperotako balioa) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083 balio du. Izaera irekiak teorikoki mugarik gabeko emaitzak sortzen ditu —leherketa sekuentzia zorte batek oso altuak sor ditzake— eta horrek joko batzuek nahita lantzen dituzten "zorte sentitzeko" uneak sortzen ditu. Konpromisoa aldakuntza handia eta noizean behin jokoa definitzen duen zortea da.

Dado mugatuak kontrako filosofia dira: gehienezko emaitza mugatzea bariantza mugatzeko. Dadoen multzoko sistemak, non dado bat baino gehiago jaurti eta N emaitza onenak bakarrik hartzen dituzun (D&D 5Eren abantaila mekanikoa bezalako abantaila-sistemak edo Gumshoe-ren dado anitz hartzeko altuena) matematikoki bariantza murrizten dute probabilitate-sentimendua mantenduz. Bi d6 jaurtiketa baino altuena hartuz gero, espero den balioa 3,5etik 4,47ra aldatzen da (% 28ko hobekuntza), emaitza baxuak izateko probabilitatea nabarmen murrizten duen bitartean.

Baliabide-jokoetan espero zen balioa

Baliabideak pilatzeko jokoak —euroak, motor-sortzaileak, estrategia ekonomikoak— diseinatzaileak zehatz-mehatz ulertu behar dituen esperotako balio-kalkuluetan eraikitzen dira, arau-liburuan esplizituki inoiz agertzen ez badira ere. Jokalari batek bi ekintzaren artean aukeratzen duenean, ekintza horien espero den balioa konparatzen ari da (kontzienteki edo ez) dagokion denbora-horizontean.

Neutronium: Parallel Wars-ren Portu Nuklearreko diru-sarreren sistema diseinatu espero den balioaren adibide esplizitua da. Diru-sarreren formulak ezartzen du N Portu Nuklearrak dituen jokalari batek errenta jasotzen duela N-rekin ez-linealki eskalatzen den tasa batean. Formula espezifikoak — 1 portu batek 2 Neutronium unitate ematen ditu txanda bakoitzeko; 10 atakek 220 Nn ematen dute txanda bakoitzeko - ez da ustekabekoa. Diseinatzailearen adierazpen esplizitua da portuen metaketak etekin esponentzialak sortu behar dituela eta ez linealak, itzulkin esponentzialak jokoaren lehia-dinamika gidatzen duen koalizioaren atalasea sortzen duelako.

Formula hau matematika gisa adierazitako joko-diseinua da. 7 portuetako diru-sarreren (42 Nn/boronda) eta 10 portuko errentaren (220 Nn/boronda) arteko aldea da koalizioak 7 portuen atarian 9 edo 10 portu arte itxaron beharrean koalizioak sortzearen arrazoi ekonomikoa. 7 portutan, jokalariak nahikoa diru-sarrera du mehatxua izateko, baina koalizioen ekintza erabakigarria izan daiteke oraindik, diru-sarreren abantaila matematikoki gaindiezina izan aurretik. Playtesting bidez bakarrik zenbaki horietara iritsi den diseinatzaile batek gutxi gorabehera ondo atera ditzake; Funtzio esponentziala hasieratik ulertu zuen diseinatzaile batek atalasea zehatz-mehatz zehaztu lezake.

Printzipio zabalagoa: eskala esponentziala nahita jokoaren diseinua denean, diseinatzaileak eskalatze-funtzioa dokumentatu behar du eta sortzen dituen atalaseak nahi dituen tokian daudela egiaztatu behar du. Koalizioaren atalasea 6 portuetan egon behar bada 7 baino, diru-sarreren formula egokitu egin behar da, eta horrek formula zein den jakitea eskatzen du, ez bakarrik "jokoa orekatua sentitzen dela" behatzea.

Aldaantza eta jokalarien pertzepzioa

Aldakuntza espero den balioaren inguruan benetako emaitzak zenbateraino hedatzen diren neurtzen du. Bariantza handiak esan nahi du banakako emaitzak itxaropenetik nabarmen desberdinak izan daitezkeela; bariantza baxuak esan nahi du emaitzak batez bestekoaren inguruan estu biltzen direla. Joko-diseinatzaileentzat, bariantza jokoaren zuzentasun matematikoan eta jolasteko esperientzia subjektiboan eragiten duen kontrol-botoia da.

Ikuspen psikologiko nagusia: bariantza handia gaizki sentitzen da matematikoki orekatuta egon arren. Txanpon-iraulketa guztiz bidezkoa da - 50/50, espero den balioa berdina da bi jokalarientzat - baina erabaki bakoitza txanpon-irauliz bidez ebazten den joko batean jokatzea arbitrarioa eta aberasgarria da. Jokalariek euren erabakiek garrantzia dutela sentitu behar dute, hau da, erabaki onen eta emaitza onen arteko lotura kausala behar dute joko saioan hauteman dadin. Bariantza handiak konexio hori hausten du.

7 versus 2 Catan hex arazoa argi erakusten du hori. Catan, 7 zenbakia hexaxero gehienetan inprimatzen da, probabilitate handiena duelako 2d6rekin (%16,7). 2 zenbakia hexaxero gutxienetan inprimatuta dago (% 2,8). Jokalari esperientziadunek badakite baliabideak lehenesten dituztela 6, 8, 5 eta 9etan - probabilitate handiko hexazoiak. Baina edozein saiotan, hasierako likidazioak hex hauetan behar bezala jartzen dituen jokalariak probabilitate baxuagoko kokapenak dituen jokalari batek errendimendu nabarmena izan dezake oraindik, benetako dadoen jaurtiketak espero diren balioetatik aldentzen badira. Hau ez da bidegabea; aldakuntza estatistiko normala da. Baina bidegabea iruditzen zaigu, erabakiaren (kokapen ona) eta emaitzaren (maiz baliabideen diru-sarrera) arteko erlazioa bariantzaz ezkutatzen delako.

Bariantzak hautematen den bidegabetasuna kudeatzeko diseinu-soluzioak honako hauek dira: arintze-mekanika (errebotaketak, baliabide-bankuak, zorte txarreko exekuzioetan aktibatzen diren harrapatzeko mekanismoak), zorte txarraren ondoren ere esanguratsuak izaten jarraitzen duten erabaki-puntuak (beraz, gaizki ateratzen den jokalari batek oraindik ere aukera interesgarriak ditu) eta aldagai interesgarriak ditu. (bariantza bidez harrapatzea: jokalari nagusiak diru-sarrera egonkorrak eta aurreikusgarriak nahi ditu; atzetik datozen jokalariek aldea azkar itxi dezaketen bariantza handiko planteamenduez baliatzen dira, nahiz eta espero den balioa berdina izan).

Kingmaker-eko uneak dadoetatik —non ausazko jaurtiketa batek erabakitzen du zein jokalarik irabazi edo galdu duen azken txandan— aldakuntza-emaitza kaltegarrienak dira jokalariak asetzeko. Irtenbidea ez da dadoak kentzea, berandu jokoaren egituratzea baizik, dadoen emaitzek garaipenaren bideari eragin diezaioten, zuzenean erabaki beharrean. Jokalari anitzek irabazteko posizio bideragarriak dituztenean azken txanpan sartuta, zorte handiko jaurtiketa bat pozgarria da irabazlearentzat, baina ez da galtzaileentzat zilegitasunik gabekoa sentitzen, galtzaileek euren zorte-errendak ahalbidetu zezakeen irabazteko bidea ere bai.

Orekatu probak matematikekin

MEQA esparruak (Neurgarritasuna, Engaiamendua, Kalitatea, Irisgarritasuna) ikuspegi egituratua eskaintzen du jokoaren oreka probak egiteko. Neurgarritasunaren zutabea — MEQA ataleko M — da matematika formalki diseinatzeko prozesuan sartzen den tokian: jolas-probak hasi baino lehen, diseinatzaileak "orekatuak" zer esan nahi duen definitzen du termino neurgarrietan.

Neutronium: Parallel Wars bezalako fakzio asimetrikoak dituen joko baterako, balantze neurgarriak esan nahi du: talde bakoitzak irabazi-tasa lortu behar du zehaztutako tolerantzia-banda batean, pareko gaitasun-mailako jokoen lagin nahiko batean. Helburua % 50eko irabazi-tasa (oreka hutsa) bada, % 10eko tarte onargarriarekin, jokoen % 42 irabazten duen fakzio bat tolerantziaren barruan dago eta % 63 irabazten duen fakzio bat ez. Baina estandar hori lortzeko helburuak probatu aurretik ezagutzea eskatzen du; ez deklaratzea post-hoc ikusitako garaipen tasak "nahikoa hurbil" direla.

Erreprodukzioa probatu aurretik neurketak definitzeak behatzen duzuna aldatzen du. Badakizu fakzio bakoitzeko garaipen tasa neurtzen ari zarela, fakzioen esleipenak eta emaitzen jarraipena egiten duzu saioetan zehar. Batez besteko jokoaren iraupena neurtzen ari zarela badakizu, denbora-zigiluak grabatzen dituzu. Erabaki horiek lehen playtest saioa baino lehen hartu behar dira, atzera begirako neurketak ez direlako fidagarriak — memoria selektiboa da eta gizakiak modu naturalean gogoratzen ditu lehendik dauden sinesmenak onartzen dituzten saioak.

Oreka-ondorioetarako lagin-tamaina-eskakizunak askotan diseinatzaileek espero baino handiagoak dira. 2 jokalariko 2 fakzioko jokorako, 30 jokoek oinarrizko datuak eskaintzen dituzte %15etik gorako desorekak detektatzeko %80ko konfiantzarekin. 6 fakzioko 4 jokalariko jokoetarako, konbinazio-espazioa askoz handiagoa da: 30 jokoek gutxi gorabehera 5 joko ematen dizkizute fakzio-bikote bakoitzeko - ozta-ozta nahikoa muturreko desoreka antzemateko eta ez da nahikoa abantaila sotilak detektatzeko. Indie argitaletxeek oso gutxitan dituzte baliozkotze estatistiko zorrotza egiteko baliabideak; ikuspegi praktikoa matematika erabiltzea da espero diren balioak egiaztatzeko, jolas-probak atzerrikoak harrapatzeko eta komunitatearen iritzia kaleratu osteko, bizirik dauden arazoak identifikatzeko.

Marko osoa ikusteko — Neurgarritasuna beste MEQA zutabeekin nola integratzen den barne— ikusi MEQA jokoaren oreka-esparruaren gidaliburua, joko-sistemen arteko oreka definitzeko, neurtzeko eta lortzeko ikuspegi osoa biltzen duena.

Neutronium-ko diru-sarrerak eskalatzeko formula zuzenean konektatzen da /mechanics/nuclear-port-scaling-ko mekanikari buruzko xehetasunarekin, non funtzio esponentziala atalase-balio bakoitzaren diseinuaren arrazoibidearekin batera dokumentatzen den.

Diseinatzaileentzako probabilitate-tresnak

Hainbat tresnek jokoen diseinuaren matematika erabilgarri egiten dute, estatistika-prestakuntza aurreratu beharrik gabe. Hauek dira praktikan funtzionatzen dutenak.

AnyDice (anydice.com) joko-diseinatzaileentzako dadoen probabilitate kalkulagailu estandarra da. Hizkuntza naturaleko dadoen notazioa onartzen du (2d6, d4+d8, 3d6 mantendu 2 altuena) eta probabilitate-banaketa, espero diren balioak eta probabilitate metatuak itzultzen ditu. Dadoak inplikatzen dituen edozein mekanikari dagokionez, AnyDice izan beharko litzateke kontsultatutako lehen tresna. Bere irteerako grafikoek banaketak berehala irakurgarriak eta konparagarriak egiten dituzte — itsatsi bi dado-adierazpen ezberdin elkarren ondoan, haien banaketak nola desberdinak diren berehala ikusteko.

Kalkulu-orrien simulazioak (Google Sheets, Excel) AnyDice-k ezin dituen kalkuluak kudeatzen ditu: baliabide metaketa hainbat txandatan, hainbat iturritako diru-sarrerak, espero den jokoaren iraupena hipotesi estrategiko ezberdinetan. Jokoaren ekonomiaren oinarrizko kalkulu-orri eredua — txanda bakoitzeko zutabeak, baliabide mota bakoitzeko errenkadak eta jokoaren oinarrizko diru-sarrerak eta gastu-mekanika adierazten duten formulak dituena — 2-3 ordu behar ditu eraikitzeko eta 20 joko-proba baino gehiago beharko liratekeen oreka-arazoak agerian uzten ditu enpirikoki ezagutzeko.

Monte Carlo simulazioa zehaztasun handieneko tresna da: joko baten mekanika milaka aldiz exekutatu konputazionalki emaitza posible guztietan banaketa estatistikoak sortzeko. Programazio atzeko planoa duten diseinatzaileentzat, NumPy-rekin Python nahikoa da jokoen simulazio-behar gehienetarako. Programazio atzeko planorik ez duten diseinatzaileentzat, badaude Monte Carlo tresna bisualak eta baita kalkulu-orrietan oinarritutako simulazioak ere, ezagutza tekniko mugatuekin emaitza esanguratsuak ematen dituztenak. Monte Carlo da baliotsuena kalkulu analitikoa zaila den elkarrekiko mendekotasun konplexuak dituzten jokoetarako; ausazko gertaera anitz elkarreragiten dutenean, simulazioak banaketa-kalkulu fidagarriagoak sortzen ditu eskuzko kalkuluak baino.

Noiz fidatu matematika eta noiz jokatu proban: erabili matematika oreka teorikoa egiaztatzeko eta ageriko diseinu-akatsak antzemateko jolas-proban inbertitu aurretik. Erabili playtest-ak giza psikologiak matematikarekin nola elkarreragiten duen ezagutzeko: estrategia optimoa jokalariek benetan egiten dutenaren desberdina den tokiak eta matematikak oreka iragartzen duen lekuak, baina esperientzia bidegabea iruditzen zaion tokietan. Biak dira beharrezkoak. Ezta bat ere ez da nahikoa bakarrik.

Ohiko galderak