Stærðfræði borðspila: Líkur, væntanlegt gildi og hvers vegna teningum finnst ósanngjarnt

Sérhver borðspilavirki hefur stærðfræðilega auðkenni. Teningarkast hefur væntanlegt gildi og dreifni. Kortadráttur hefur líkindadreifingu. Auðlindaviðskipti hafa gengi sem hægt er að gefa upp sem hlutfall. Hönnuðir sem skilja þessa stærðfræði taka betri ákvarðanir en hönnuðir sem vinna eftir tilfinningu - ekki vegna þess að stærðfræði kemur í stað innsæis heldur vegna þess að innsæi er oft ósammála raunveruleikanum á þann hátt sem hægt er að leiðrétta próf ein og sér.

Þessi grein fjallar um stærðfræðihugtökin sem skipta mestu máli fyrir borðspilahönnun og spilun: líkindadreifingu, væntanlegt gildi, dreifni og sálfræðilegt bil á milli þess sem stærðfræðin segir og þess sem leikmenn upplifa. Hvort sem þú ert að hanna leik eða bara að reyna að skilja hvers vegna teningaloturnar þínar eru svona hrikalega óheppnar, þá mun ramminn hér breyta því hvernig þú hugsar um tilviljun í leikjum.

Af hverju stærðfræði skiptir máli í leikjahönnun

Leikjahönnuður sem hefur ekki reiknað út væntanlegt gildi kjarnahagkerfis leikja sinna veit ekki hvort leikurinn hans virkar. Þetta hljómar harkalega, en það er virknilega satt. Ef áætlaðar tekjur af bestu fáanlegu aðgerðinni eru 4 úrræði í hverri lotu og kostnaður við sigurskilyrði aðgerðina er 30 úrræði, þarf hönnuður að vita hvort þessi tekjuhlutfall sé hægt að ná yfir venjulegan tíma leiksins - fyrir leikpróf, ekki eftir sex lotur sem veltir því fyrir sér hvers vegna enginn vinnur.

Stærðfræði og leikpróf eru viðbótarverkfæri, ekki valkostir. Stærðfræði segir þér hvað kenningin spáir fyrir um. Leikpróf segir þér hvort mannleg hegðun passar við kenninguna. Oftast fara þeir í sundur - ekki vegna þess að stærðfræðin er röng, heldur vegna þess að leikmenn velja ekki alltaf fræðilega bestu aðgerðina. Bilið á milli fræðilegs ákjósanlegs leiks og raunverulegs mannlegs leiks er sjálft hönnunarbreyta: leikur þar sem aðeins ákjósanlegur leikur framleiðir áhugaverðar ákvarðanir er verri leikur en þar sem óákjósanlegur leikur skapar líka áhugaverðar aðstæður.

Sérhver vélvirki hefur væntanlegt gildi og hönnuðir verða að vita það. Þegar Neutronium: Parallel Wars leikmaður fær tekjur frá Nuclear Ports, fá þeir nákvæmlega reiknað væntingargildi á hverja höfn í hverri umferð. Þegar þeir kjósa að ráðast á frekar en að byggja, eru þeir að taka ákvörðun sem hefur reiknanlegar væntanlegar niðurstöður við mismunandi aðstæður. Hönnuðurinn sem þekkir þessar tölur getur tekið mikilvægar jafnvægisákvarðanir; hönnuðurinn sem gerir það ekki er að giska.

Mikilvæga ósamhverfan er sú að tilviljun finnst ósanngjarnt, jafnvel þegar það er í jafnvægi. 50/50 myntsnúningur framleiðir höfuð sex sinnum í röð um það bil 1,6% tilvika - sjaldan, en ekki ómögulegt. Þegar það gerist hjá leikmanni í leik, upplifir hann það sem að leikurinn sé brotinn, ekki sem eðlilegur tölfræðilegur atburður. Að skilja hvers vegna þetta gerist – og hvernig hönnuðir geta byggt upp handahófi til að finnast þeir refsa minna á meðan þeir halda sömu undirliggjandi líkum – er nánast verðmætasta notkunin á stærðfræði leikjahönnunar.

Tenningarlíkur 101

Einsta d6 er algengasta slembivalsverkfærið í borðspilum og einnig eitt það sem er misskilið. Staðall d6 framleiðir jafna dreifingu: hver flötur (1 til 6) hefur 1/6 líkur á að það gerist og væntanlegt gildi er 3,5. Leikmenn skilja þetta innsæi, en þeir skilja oft ekki hvað það þýðir fyrir endurtekið kast yfir lotu.

aðgreiningin á einum d6 á móti 2d6 er grundvallaratriði til að skilja hvers vegna mismunandi teningafræði finnst ólík. Einn d6 hefur flata líkindadreifingu - hver niðurstaða frá 1 til 6 er jafn líkleg. Tveir d6 samanlagðir gefa bjöllukúrfu: 7 er líklegasta niðurstaðan (líkur 6/36 = 16,7%), en 2 og 12 hafa hver um sig líkur 1/36 = 2,8%. 2d6 dreifingin einbeitir sér að niðurstöðum nálægt miðjunni og gerir öfgafullar niðurstöður sjaldgæfar. Þetta er ástæðan fyrir því að Catan, sem notar 2d6 til auðlindaframleiðslu, finnst minna refsandi fyrir einstakar rúllur en kerfi með einum teningi - dreifingin takmarkar náttúrulega öfgafullar niðurstöður.

Sérsniðnir teningar með óstöðluðum andlitsdreifingum veita hönnuðum nákvæma stjórn á líkindasniðum sem venjulegir teningar geta ekki veitt. Teningur með flötunum [0, 0, 0, 1, 1, 2] hefur allt annan karakter en d6: hann framleiðir núll 50% af tímanum, einn 33% af tímanum og tvær 17% af tímanum, með væntanlegt gildi 0,67. Neutronium: Parallel Wars notar sérsniðna D6 teninga með litakóðuðum andlitum: blá andlit tákna staðlaðan bardaga, rauð andlit tákna mikilvægar niðurstöður og grænir andlitir tákna sérstaka hæfileikakveikju. Dreifing andlitstegunda - ekki bara fjöldi andlita - ákvarðar líkurnar á hverri niðurstöðu. Teningur með þremur bláum andlitum, tveimur rauðum andlitum og einu grænu andliti gefur bláum útkomum 50% tilvika, rautt 33% og grænt 17%. Hönnuður getur breytt þessum hlutföllum með því að breyta andlitsfjölda frekar en að búa til stærðfræðilega flókin upplausnarkerfi.

Sprengandi teningar eru teningar sem, þegar hámarksgildi er kastað, er kastað aftur og niðurstöðunum bætt við. D6 sem springur á 6 hefur væntanlegt gildi (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × væntanlegt gildi d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Hið opna eðli skapar fræðilega ótakmarkaðar niðurstöður - heppileg röð sprenginga getur framleitt mjög háar heildartölur - sem framkallar „heppni“ augnablikin sem sumir leikir rækta vísvitandi. Viðskiptin eru mikil og einstaka leikskilgreina heppni.

Bounded teningar eru andstæða heimspeki: að setja þak á hámarksútkomu til að hefta dreifni. Teningapottarkerfi þar sem þú kastar mörgum teningum og tekur aðeins bestu N niðurstöðurnar (kostur kerfi eins og D&D 5E's forskot vélvirki, eða Gumshoe's margfalda teninga taka-hæsta) dregur stærðfræðilega úr dreifni en viðhalda líkindatilfinningu. Með því að taka hærra af tveimur d6 rúllum færist væntanlegt gildi úr 3,5 í 4,47 — 28% framför — en dregur verulega úr líkum á lágum útkomum.

Væntanlegt gildi í auðlindaleikjum

Auðlindasöfnunarleikir – evrur, vélasmiðir, hagrænar aðferðir – eru byggðar á væntanlegum verðmætaútreikningum sem hönnuðurinn verður að skilja nákvæmlega jafnvel þótt þeir komi aldrei beinlínis fram í reglubókinni. Þegar leikmaður velur á milli tveggja aðgerða er hann (meðvitað eða ekki) að bera saman væntanlegt gildi þessara aðgerða yfir viðkomandi tímatímabil.

Neutronium: Parallel Wars's Nuclear Port er skýrt dæmi um hönnuð vænt verðmæti. Tekjuformúlan staðfestir að leikmaður með N kjarnorkuhafnir fái tekjur á hlutfalli sem skalast ólínulega með N. Sérstök formúla — 1 höfn gefur 2 Neutronium einingar í hverri umferð; 10 hafnir gefa 220 Nn í hverri umferð — er ekki tilviljun. Það er skýr staðhæfing hönnuðarins að höfnasöfnun ætti að skila veldisvísi frekar en línulegri ávöxtun, vegna þess að veldisávöxtun skapar samsteypuþröskuldinn sem knýr samkeppnisvirkni leiksins áfram.

Þessi formúla er viljandi leikjahönnun tjáð sem stærðfræði. Bilið á milli 7 hafna tekna (42 Nn/umferð) og 10 hafnatekna (220 Nn/umferð) er efnahagsleg rök fyrir því hvers vegna bandalag myndast við 7 hafna þröskuldinn frekar en að bíða þar til 9 eða 10 hafnir. Í 7 höfnum hefur spilarinn nægar tekjur til að vera ógnandi - en aðgerðir bandalagsins geta samt verið afgerandi áður en tekjuávinningurinn verður stærðfræðilega óyfirstíganlegur. Hönnuður sem komst að þessum tölum í gegnum leikpróf eingöngu gæti náð þeim nokkurn veginn rétt; hönnuður sem skildi veldisfallið frá upphafi gæti tilgreint þröskuldinn nákvæmlega.

Víðtækari meginreglan: þegar veldisstærð er viljandi leikhönnun verður hönnuðurinn að skjalfesta stærðaraðgerðina og sannreyna að þröskuldarnir sem hún skapar séu þar sem þeir vilja hafa þá. Ef bandalagsþröskuldurinn ætti að vera við 6 hafnir frekar en 7, þarf að laga tekjuformúluna - sem krefst þess að vita hver formúlan er, ekki bara að fylgjast með því að "leikurinn er í jafnvægi."

Frávik og skynjun leikmanna

Dreifni er mælikvarði á hversu mikið raunverulegar niðurstöður dreifast um væntanlegt gildi. Mikil frávik þýðir að einstakar niðurstöður geta verið verulega frábrugðnar væntingum; lágt dreifni þýðir að niðurstöður flokkast þétt í kringum meðaltalið. Fyrir leikjahönnuði er dreifni stjórnhnappur sem hefur áhrif á bæði stærðfræðilega sanngirni leiksins og huglæga upplifun af því að spila hann.

Sálfræðilega lykilinnsýn: mikil dreifni líður illa jafnvel þótt hún sé stærðfræðilega jafnvægi. Myntslepping er fullkomlega sanngjörn — 50/50, væntanlegt gildi nákvæmlega jafnt fyrir báða leikmennina — en að spila leik þar sem sérhver ákvörðun er leyst með því að snúa mynt er handahófskennd og óverðlaunandi. Leikmenn þurfa að finna að ákvarðanir þeirra skipta máli, sem þýðir að þeir þurfa orsakasamhengi milli góðra ákvarðana og góðra niðurstaðna til að sjást innan leikjalotunnar. High dreifni leysir þá tengingu.

Sjö á móti 2 Catan hex vandamálinu sýnir þetta vel. Í Catan er talan 7 prentuð á flestum álögunum vegna þess að hún hefur mestar líkur með 2d6 (16,7%). Talan 2 er prentuð á fæstum sexkantum (2,8%). Reyndir leikmenn vita að forgangsraða auðlindum á 6s, 8s, 5s og 9s - háar líkur á hexum. En í hvaða lotu sem er, getur leikmaður sem setur upphafsuppgjör sitt rétt á þessum hexum enn verið verulega vanhæfur af leikmanni með lægri líkur ef raunveruleg teningakast víkur frá væntanlegum gildum. Þetta er ekki ósanngjarnt - þetta er eðlilegur tölfræðilegur munur. En það finnst ósanngjarnt vegna þess að sambandið á milli ákvörðunar (góðrar staðsetningar) og niðurstöðunnar (tíðar auðlindatekjur) er hulið af fráviki.

Hönnunarlausnirnar til að stjórna skynjuðum ósanngirni frá fráviki eru meðal annars: aðlögunarkerfi (endurkast, auðlindabankar, upptökukerfi sem virkjast á óheppni), ákvörðunarpunktar sem halda áfram að vera þýðingarmiklir jafnvel eftir óheppni (þannig að leikmaður sem veltir illa hefur enn áhugaverða valmöguleika (breytileika) og valar í gegnum leikmann. dreifni: fremsti leikmaðurinn vill hafa stöðugar, fyrirsjáanlegar tekjur sem spilarar sem eru á eftir njóta góðs af nálgunum með mikla dreifni sem getur minnkað bilið fljótt, jafnvel þó að væntanlegt gildi sé það sama).

Kingmaker augnablik úr teningum - þar sem handahófskast ákvarðar hvaða leikmaður vinnur eða tapar í lokaumferðinni - eru skaðlegustu dreifingarniðurstöðurnar fyrir ánægju leikmanna. Lausnin er ekki að útrýma teningum heldur að skipuleggja seinni leikinn þannig að útkomur teninga hafi áhrif á leiðina til sigurs frekar en að ákvarða hana beinlínis. Þegar margir spilarar hafa raunhæfar vinningsstöður fyrir lokaumferðina, er heppniskast ánægjulegt fyrir sigurvegarann en finnst það ekki ólögmætt fyrir þá sem tapa – vegna þess að þeir sem tapa höfðu líka leið til að vinna sem hefði getað verið virkjað með þeirra eigin heppnu kasti.

Jafnvægispróf með stærðfræði

MEQA ramminn (Mælanleiki, þátttöku, gæði, aðgengi) veitir skipulega nálgun við jafnvægisprófun leikja. Mælanleikastoðin - M í MEQA - er þar sem stærðfræði fer formlega inn í hönnunarferlið: áður en leikpróf hefst skilgreinir hönnuðurinn hvað "jafnvægi" þýðir í mælanlegum skilmálum.

Fyrir leik með ósamhverfum fylkingum eins og Neutronium: Parallel Wars þýðir mælanlegt jafnvægi: hver flokkur ætti að ná vinningshlutfalli innan skilgreinds þolmarks yfir nægilegt úrtak af leikjum á sambærilegum færnistigum. Ef markmiðið er 50% vinningshlutfall (hreint jafnvægi) með ±10% ásættanlegt svið, þá er flokkur sem vinnur 42% leikja innan umburðarlyndis og flokkur sem vinnur 63% er það ekki. En til að ná þessum staðli þarf að þekkja markmiðið fyrir prófun – ekki lýsa því yfir eftir á að vinningshlutfall sé „nógu nærri“.

Að skilgreina mælikvarða fyrir leikpróf breytir því sem þú tekur eftir. Ef þú veist að þú ert að mæla vinningshlutfall á hverja fylkingu, fylgist þú með flokksverkefnum og niðurstöðum yfir lotur. Ef þú veist að þú ert að mæla meðallengd leiks, skráirðu tímastimpla. Þessar ákvarðanir verða að taka fyrir fyrstu leikprófunarlotuna, vegna þess að afturskyggn mæligildi eru óáreiðanleg - minni er sértækt og menn muna náttúrulega lotur sem styðja núverandi viðhorf.

Kröfur um sýnishorn fyrir jafnvægisniðurstöður eru oft stærri en hönnuðir búast við. Fyrir 2-manna leik með 2 flokkum, veita 30 leikir grunnlínugögn til að greina ójafnvægi sem er stærra en 15% með 80% öryggi. Fyrir 4-manna leiki með 6 flokkum er samsetningarrýmið miklu stærra: 30 leikir gefa þér um það bil 5 leiki á hvert flokkapör - varla nóg til að greina gríðarlegt ójafnvægi og ófullnægjandi til að greina fíngerða kosti. Indie útgefendur hafa sjaldan úrræði til strangrar tölfræðilegrar sannprófunar; hagnýta nálgunin er að nota stærðfræði til að sannreyna væntanleg gildi, leikprófun til að ná útúrsnúningum og endurgjöf frá samfélaginu eftir útgáfu til að bera kennsl á vandamál sem lifa af.

Sjáðu MEQA leikjajafnvægisramma handbók til að sjá hvernig mælanleiki er samþættur öðrum MEQA stoðum.

Tekkjastærðarformúlan í Neutronium tengist beint við aflfræðiupplýsingarnar á /mechanics/nuclear-port-scaling, þar sem veldisfallsfallið er skjalfest samhliða hönnunarröksemdinni fyrir hvert viðmiðunargildi.

Líkindaverkfæri fyrir hönnuði

Nokkur verkfæri gera stærðfræði leikjahönnunar aðgengilega án þess að þurfa háþróaða tölfræðiþjálfun. Þetta eru þau sem virka í reynd.

AnyDice (anydice.com) er venjulegur teningalíkindareiknivél fyrir leikjahönnuði. Það tekur við náttúrulegum teningaskriftum (2d6, d4+d8, 3d6 halda hæstu 2) og skilar líkindadreifingu, væntanlegum gildum og uppsöfnuðum líkum. Fyrir hvaða vélvirkja sem tengist teningum ætti AnyDice að vera fyrsta verkfærið sem leitað er til. Úttakslínurit hennar gera dreifingar strax læsilegar og sambærilegar - límdu tvær mismunandi teningatjáningar hlið við hlið til að sjá strax hvernig dreifing þeirra er mismunandi.

Töflureiknislíkingar (Google Sheets, Excel) sjá um útreikninga sem AnyDice getur ekki: auðlindasöfnun yfir margar umferðir, tekjur með mörgum heimildum, áætluð leiklengd samkvæmt mismunandi stefnumótandi forsendum. Grunntöflulíkan af hagkerfi leiks – með dálkum fyrir hverja umferð, línum fyrir hverja auðlindategund og formúlum sem tákna grunntekjur og eyðslukerfi leiksins – tekur 2–3 klukkustundir að byggja upp og sýnir jafnvægisvandamál sem myndi taka 20+ leikpróf að uppgötva með reynslu.

Monte Carlo uppgerð er tólið með mestu nákvæmni: keyra vélfræði leiks þúsundir sinnum með útreikningum til að búa til tölfræðilega dreifingu yfir allar mögulegar niðurstöður. Fyrir hönnuði með forritunarbakgrunn dugar Python með NumPy fyrir flestar leikjahermunarþarfir. Fyrir hönnuði án forritunarbakgrunns eru til sjónræn Monte Carlo verkfæri og jafnvel töflureiknislíkingar sem gefa marktækar niðurstöður með takmarkaðri tækniþekkingu. Monte Carlo er dýrmætastur fyrir leiki með flókin innbyrðis háð þar sem greiningarútreikningar eru erfiðir - þegar margir tilviljanakenndir atburðir hafa samskipti, framleiðir uppgerð áreiðanlegri dreifingarmat en handvirkur útreikningur.

Hvenær á að treysta stærðfræði á móti hvenær á að spila próf: Notaðu stærðfræði til að sannreyna fræðilegt jafnvægi og ná augljósum hönnunarvillum áður en þú fjárfestir í leikprófum. Notaðu leikpróf til að uppgötva hvernig mannleg sálfræði hefur samskipti við stærðfræðina - staðirnir þar sem ákjósanlegasta stefnan er frábrugðin því sem leikmenn gera í raun, og staðirnir þar sem stærðfræðin spáir fyrir um jafnvægi en upplifunin finnst ósanngjarn. Hvort tveggja er nauðsynlegt. Hvorugt er nóg eitt og sér.

Algengar spurningar