Každý mechanik stolových hier má matematickú identitu. Hod kockou má očakávanú hodnotu a rozptyl. Ťahanie karty má rozdelenie pravdepodobnosti. Obchod so zdrojmi má výmenný kurz, ktorý možno vyjadriť ako pomer. Dizajnéri, ktorí rozumejú tejto matematike, robia lepšie rozhodnutia ako dizajnéri, ktorí pracujú na základe pocitov – nie preto, že matematika nahrádza intuíciu, ale preto, že intuícia často nesúhlasí s realitou tak, že samotné testovanie sa opravuje pomaly.
Tento článok sa zaoberá matematickými konceptmi, ktoré sú najdôležitejšie pre dizajn a hranie stolových hier: rozdelenia pravdepodobnosti, očakávaná hodnota, rozptyl a psychologická priepasť medzi tým, čo hovorí matematika a tým, čo hráči prežívajú. Či už navrhujete hru, alebo sa len snažíte pochopiť, prečo sú vaše kocky tak katastrofálne nešťastné, tu uvedený rámec zmení váš názor na náhodnosť v hrách.
Prečo je matematika dôležitá v dizajne hier
Herný dizajnér, ktorý nevypočítal očakávanú hodnotu ekonomiky hlavnej akcie svojej hry, nevie, či jeho hra funguje. Znie to drsne, ale funkčne je to pravda. Ak sú očakávaný príjem z najlepšej dostupnej akcie 4 zdroje na kolo a cena akcie s podmienkou víťazstva je 30 zdrojov, dizajnér potrebuje vedieť, či je táto miera príjmu dosiahnuteľná počas typického trvania hry – pred testovaním hry, nie po šiestich reláciách, keď sa bude pýtať, prečo nikto nikdy nevyhrá.
Matematika a testovanie hier sú doplnkové nástroje, nie alternatívy. Matematika vám povie, čo teória predpovedá. Playtesting vám povie, či ľudské správanie zodpovedá teórii. Väčšinou sa rozchádzajú – nie preto, že matematika je nesprávna, ale preto, že hráči si nie vždy vyberú teoreticky optimálnu akciu. Priepasť medzi teoretickou optimálnou hrou a skutočnou ľudskou hrou je sama osebe konštrukčnou premennou: hra, kde iba optimálna hra prináša zaujímavé rozhodnutia, je horšia hra ako hra, kde aj neoptimálna hra vytvára zaujímavé situácie.
Každý mechanik má očakávanú hodnotu a dizajnéri to musia vedieť. Keď hráč Neutronium: Parallel Wars získa príjem z jadrových prístavov, dostane presne vypočítanú očakávanú hodnotu za port za kolo. Keď sa rozhodnú útočiť a nie stavať, robia rozhodnutie, ktoré má vypočítateľné očakávané výsledky v rôznych scenároch. Dizajnér, ktorý pozná tieto čísla, môže robiť zmysluplné rozhodnutia o rovnováhe; dizajnér, ktorý nie, háda.
Kritická asymetria spočíva v tom, že náhodnosť je nespravodlivá, aj keď je vyvážená. Hod mincou 50/50 produkuje hlavy šesťkrát za sebou približne v 1,6 % prípadov – zriedka, ale nie nemožné. Keď sa to stane hráčovi v hre, vníma to ako prerušenie hry, nie ako normálnu štatistickú udalosť. Pochopenie toho, prečo sa to deje – a ako môžu dizajnéri štruktúrovať náhodnosť, aby sa cítili menej trestuhodní pri zachovaní rovnakých základných pravdepodobností – je prakticky najhodnotnejšou aplikáciou matematiky herného dizajnu.
Pravdepodobnosť kocky 101
Single d6 je najbežnejším náhodným nástrojom v stolových hrách a tiež jedným z najviac nepochopených. Štandardné d6 vytvára rovnomerné rozdelenie: každá plocha (1 až 6) má 1/6 pravdepodobnosť výskytu a očakávaná hodnota je 3,5. Hráči to intuitívne chápu, ale často nedokážu pochopiť, čo to znamená pre opakované rolovanie počas relácie.
Rozlíšenie medzi d6 a 2k6 je základom pre pochopenie toho, prečo sa rôzne mechaniky kociek líšia. Jedno d6 má ploché rozdelenie pravdepodobnosti – každý výsledok od 1 do 6 je rovnako pravdepodobný. Súčet dvoch d6 vytvára zvonovú krivku: 7 je najpravdepodobnejší výsledok (pravdepodobnosť 6/36 = 16,7 %), zatiaľ čo 2 a 12 majú každý pravdepodobnosť 1/36 = 2,8 %. Distribúcia 2k6 koncentruje výsledky blízko stredu a robí extrémne výsledky zriedkavými. To je dôvod, prečo sa Catan, ktorý používa 2k6 na výrobu zdrojov, cíti menej trestuhodný na jednotlivých hodoch ako systémy s jednou kockou – distribúcia prirodzene obmedzuje extrémne výsledky.
Vlastné kocky s neštandardným rozložením tvárí poskytujú dizajnérom presnú kontrolu nad profilmi pravdepodobnosti, ktoré štandardné kocky nedokážu poskytnúť. Kocka s tvárami [0, 0, 0, 1, 1, 2] má veľmi odlišný charakter ako d6: nula produkuje 50 % času, jedna 33 % času a dve 17 % času, s očakávanou hodnotou 0,67. Neutronium: Parallel Wars používa vlastné kocky D6 s farebne odlíšenými tvárami: modré tváre predstavujú štandardné výsledky boja, červené tváre predstavujú kritické výsledky a zelené tváre predstavujú spúšťače špeciálnych schopností. Rozdelenie typov tvárí – nielen počet tvárí – určuje pravdepodobnosť každého výsledku. Kocka s tromi modrými tvárami, dvoma červenými tvárami a jednou zelenou tvárou produkuje modré výsledky v 50 % prípadov, červené 33 % a zelené 17 %. Dizajnér môže upraviť tieto pomery zmenou počtu tvárí namiesto vytvárania matematicky zložitých systémov rozlíšenia.
Rozkladacie kocky sú kocky, ktoré sa pri hode s maximálnou hodnotou opäť hodia a výsledky sa sčítajú. D6, ktoré vybuchne na 6, má očakávanú hodnotu (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × očakávaná hodnota a d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Povaha s otvoreným koncom vytvára teoreticky neobmedzené výsledky – šťastná sekvencia výbuchov môže produkovať veľmi vysoké súčty – čo vytvára momenty „pocitu šťastia“, ktoré niektoré hry zámerne pestujú. Kompromisom je vysoká variabilita a občasné hodenie šťastia, ktoré určuje hru.
Ohraničené kocky predstavujú opačnú filozofiu: obmedzenie maximálneho výsledku, aby sa obmedzila odchýlka. Systémy s kockami, kde hádžete viacerými kockami a získavate len tie najlepšie N výsledky (výhodové systémy ako mechanik výhod D&D 5E alebo Gumshoe s viacerými kockami s najvyšším odberom) matematicky znižujú rozptyl pri zachovaní pravdepodobnosti. Použitie vyššieho z dvoch hodov d6 posúva očakávanú hodnotu z 3,5 na 4,47 – zlepšenie o 28 %, pričom sa výrazne zníži pravdepodobnosť nízkych výsledkov.
Očakávaná hodnota v hrách o zdroje
Hry na akumuláciu zdrojov – eurá, výrobcovia motorov, ekonomické stratégie – sú postavené na výpočtoch očakávaných hodnôt, ktorým musí dizajnér presne rozumieť, aj keď sa nikdy explicitne neobjavia v príručke. Keď si hráč vyberie medzi dvoma akciami, (vedome alebo nie) porovnáva očakávanú hodnotu týchto akcií v príslušnom časovom horizonte.
Systém príjmu jadrového prístavuNeutronium: Parallel Wars je jasným príkladom navrhnutej očakávanej hodnoty. Vzorec príjmu stanovuje, že hráč s N jadrovými prístavmi dostáva príjem v sadzbe, ktorá sa nelineárne mení s N. Špecifický vzorec — 1 port dáva 2 Neutronium jednotky za kolo; 10 portov dáva 220 Nn na kolo — nie je to náhodné. Je to výslovné vyhlásenie dizajnéra, že akumulácia portov by mala produkovať skôr exponenciálne než lineárne výnosy, pretože exponenciálne výnosy vytvárajú prah koalície, ktorý riadi konkurenčnú dynamiku hry.
Tento vzorec je zámerný herný dizajn vyjadrený ako matematika. Rozdiel medzi 7-portovým príjmom (42 Nn/kolo) a 10-portovým príjmom (220 Nn/kolo) je ekonomickým argumentom, prečo sa koalície vytvárajú na hranici 7-portov a nie čakať na 9 alebo 10 portov. Na 7 portoch má hráč dostatočný príjem na to, aby mohol ohroziť – ale koaličná akcia môže byť stále rozhodujúca, kým sa výhoda príjmu stane matematicky neprekonateľnou. Dizajnér, ktorý dospel k týmto číslam iba prostredníctvom testovania hry, by ich mohol dostať približne správne; dizajnér, ktorý od začiatku pochopil exponenciálnu funkciu, mohol presne špecifikovať prah.
Širší princíp: keď je exponenciálne škálovanie zámerným návrhom hry, dizajnér musí zdokumentovať funkciu škálovania a overiť, či prahové hodnoty, ktoré vytvára, sú tam, kde ich chcú mať. Ak by mal byť koaličný prah na úrovni 6 portov namiesto 7, je potrebné upraviť vzorec príjmu – čo si vyžaduje vedieť, o aký vzorec ide, nielen pozorovať, že „hra je vyvážená.“
Variancia a vnímanie hráča
Odchýlka je miera toho, do akej miery sa skutočné výsledky rozprestierajú okolo očakávanej hodnoty. Vysoký rozptyl znamená, že jednotlivé výsledky sa môžu dramaticky líšiť od očakávaní; nízky rozptyl znamená, že výsledky sa zhlukujú tesne okolo priemeru. Pre herných dizajnérov je variancia ovládacím gombíkom, ktorý ovplyvňuje matematickú spravodlivosť hry aj subjektívny zážitok z jej hrania.
Kľúčový psychologický pohľad: vysoký rozptyl pôsobí zle, aj keď je matematicky vyvážený. Hod mincou je úplne spravodlivý – 50/50, očakávaná hodnota presne rovnaká pre oboch hráčov – ale hrať hru, v ktorej sa každé rozhodnutie rieši hodením mincou, je svojvoľné a nepriaznivé. Hráči musia cítiť, že na ich rozhodnutiach záleží, čo znamená, že potrebujú, aby bolo možné v rámci hry vnímať kauzálne spojenie medzi dobrými rozhodnutiami a dobrými výsledkami. Vysoká odchýlka preruší toto spojenie.
Problém 7 versus 2 Catan hex to jasne ilustruje. V Catane je číslo 7 vytlačené na najviac hexoch, pretože má najvyššiu pravdepodobnosť s 2k6 (16,7%). Číslo 2 je vytlačené na najmenej hexoch (2,8 %). Skúsení hráči vedia uprednostniť zdroje na 6., 8., 5. a 9. s. – hexy s vysokou pravdepodobnosťou. Ale v ktorejkoľvek relácii môže byť hráč, ktorý správne umiestni svoje počiatočné osady na tieto hexy, stále výrazne nižší ako hráč s nižšou pravdepodobnosťou umiestnení, ak sa skutočný hod kockou odchyľuje od očakávaných hodnôt. Nie je to nespravodlivé – je to normálna štatistická odchýlka. Zdá sa to však nespravodlivé, pretože vzťah medzi rozhodnutím (dobré umiestnenie) a výsledkom (častý príjem zdrojov) je zakrytý odchýlkou.
Konštrukčné riešenia na zvládanie vnímanej nespravodlivosti v dôsledku odchýlky zahŕňajú: mechaniku zmierňovania (opätovné hodenia, banky zdrojov, mechanizmy dobiehania, ktoré sa aktivujú pri nešťastných pokusoch), rozhodovacie body, ktoré zostávajú zmysluplné aj po nešťastí (takže hráč, ktorý hádže slabo, má stále zaujímavé možnosti) a variant, ktorý uprednostňuje hráčov s variáciou, stabilné, predlžujúce sa príjem; hráči na konci ťažia z prístupov s vysokou variabilitou, ktoré dokážu rýchlo vyplniť medzeru, aj keď je očakávaná hodnota rovnaká).
Kingmakerove momenty z kociek – kde náhodný hod určuje, ktorý hráč vyhrá alebo prehrá v poslednom kole – sú tými najškodlivejšími výsledkami rozptylu pre spokojnosť hráča. Riešením nie je eliminácia kociek, ale štruktúrovanie neskorej hry tak, aby výsledky kociek ovplyvňovali cestu k víťazstvu, a nie ju priamo určovali. Keď sa do posledného kola dostanú viacerí hráči na životaschopné víťazné pozície, šťastný hod je pre víťaza zadosťučinením, ale pre porazených sa nepovažuje za nelegitímny – pretože aj porazení mali cestu k víťazstvu, ktorú im umožnili ich vlastné hody.
Testovanie rovnováhy s matematikou
Rámec MEQA (merateľnosť, zapojenie, kvalita, dostupnosť) poskytuje štruktúrovaný prístup k testovaniu rovnováhy hry. Pilier merateľnosti – M v MEQA – je miestom, kde matematika formálne vstupuje do procesu navrhovania: pred začatím testovania hry dizajnér definuje, čo znamená „vyvážený“ v merateľných termínoch.
V prípade hry s asymetrickými frakciami, ako je Neutronium: Parallel Wars, merateľná rovnováha znamená: každá frakcia by mala dosiahnuť mieru výhry v rámci definovaného tolerančného pásma v dostatočnej vzorke hier na porovnateľných úrovniach zručností. Ak je cieľom 50% miera víťazstva (čistá rovnováha) s prijateľným rozsahom ±10%, potom frakcia, ktorá vyhrá 42% hier, je v rámci tolerancie a frakcia, ktorá vyhrá 63% nie. Dosiahnutie tohto štandardu si však vyžaduje poznať cieľ pred testovaním – nie post-hoc vyhlásiť, že pozorované miery výhier sú „dostatočne blízko“.
Definovanie metrík pred testovaním hry zmení to, čo pozorujete. Ak viete, že meriate mieru výhry na frakciu, sledujete priradenia frakcií a výsledky v rámci relácií. Ak viete, že meriate priemernú dĺžku hry, zaznamenáte si časové pečiatky. Tieto rozhodnutia je potrebné urobiť pred prvým testom prehrávania, pretože retrospektívne metriky sú nespoľahlivé – pamäť je selektívna a ľudia si prirodzene pamätajú relácie, ktoré podporujú existujúce presvedčenia.
Požiadavky na veľkosť vzorky pre závery vyváženia sú často väčšie, než dizajnéri očakávajú. V prípade hry pre 2 hráčov s 2 frakciami poskytuje 30 hier základné údaje na zisťovanie nerovnováh väčších ako 15 % pri 80 % spoľahlivosti. Pri hrách pre 4 hráčov so 6 frakciami je kombinačný priestor oveľa väčší: 30 hier vám dáva približne 5 hier na pár frakcií – sotva postačujúce na zistenie extrémnej nerovnováhy a nedostatočné na zistenie jemných výhod. Nezávislí vydavatelia majú len zriedka zdroje na dôslednú štatistickú validáciu; praktickým prístupom je použiť matematiku na overenie očakávaných hodnôt, testovanie hry na zachytenie odľahlých hodnôt a spätnú väzbu komunity po vydaní na identifikáciu pretrvávajúcich problémov.
Úplný rámec – vrátane toho, ako sa merateľnosť integruje s ostatnými piliermi MEQA – nájdete v MEQA rámcovej príručke vyváženia hier, ktorá zahŕňa úplný prístup k definovaniu, meraniu a dosiahnutiu rovnováhy medzi hernými systémami.
Vzorec škálovania príjmu v Neutronium sa priamo pripája k detailom mechaniky na /mechanics/nuclear-port-scaling, kde je exponenciálna funkcia zdokumentovaná spolu s návrhovým zdôvodnením pre každú prahovú hodnotu.
Nástroje pravdepodobnosti pre dizajnérov
Niekoľko nástrojov sprístupňuje matematiku dizajnu hier bez potreby pokročilého štatistického školenia. Toto sú tie, ktoré fungujú v praxi.
AnyDice (anydice.com) je štandardná kalkulačka pravdepodobnosti kocky pre herných dizajnérov. Prijíma notáciu kockou v prirodzenom jazyku (2k6, d4+d8, 3d6 ponechajte najvyššie 2) a vracia rozdelenia pravdepodobnosti, očakávané hodnoty a kumulatívne pravdepodobnosti. Pre každého mechanika, ktorý používa kocky, by mal byť AnyDice prvým nástrojom, na ktorý by sa mali obrátiť. Jeho výstupné grafy robia rozdelenia okamžite čitateľné a porovnateľné – vložte dva rôzne výrazy kocky vedľa seba, aby ste okamžite videli, ako sa ich rozdelenia líšia.
Tabuľkové simulácie (Tabuľky Google, Excel) zvládajú výpočty, ktoré AnyDice nedokáže: akumulácia zdrojov počas viacerých kôl, príjem z viacerých zdrojov, očakávaná dĺžka hry pri rôznych strategických predpokladoch. Základný tabuľkový model ekonomiky hry – so stĺpcami pre každé kolo, riadkami pre každý typ zdroja a vzorcami reprezentujúcimi základný príjem a výdajovú mechaniku hry – trvá 2 až 3 hodiny, kým sa vytvorí a odhaľuje problémy s rovnováhou, ktoré by si empiricky vyžadovali viac ako 20 testov hry.
Simulácia Monte Carlo je najpresnejší nástroj: spustenie mechaniky hry tisíckrát výpočtovo, aby sa vytvorilo štatistické rozdelenie všetkých možných výsledkov. Pre dizajnérov s programátorskými skúsenosťami je Python s NumPy dostatočný pre väčšinu potrieb simulácie hier. Pre dizajnérov bez programátorských znalostí sú k dispozícii vizuálne nástroje Monte Carlo a dokonca aj tabuľkové simulácie, ktoré prinášajú zmysluplné výsledky s obmedzenými technickými znalosťami. Monte Carlo je najcennejšie pre hry so zložitými vzájomnými závislosťami, kde je analytický výpočet náročný – keď na seba vzájomne pôsobí viacero náhodných udalostí, simulácia vytvára spoľahlivejšie odhady distribúcie ako manuálny výpočet.
Kedy dôverovať matematike a kedy hrať test: použite matematiku na overenie teoretickej rovnováhy a odhalenie zjavných chýb v dizajne skôr, ako investujete do testovania hry. Pomocou testovania hry zistite, ako ľudská psychológia interaguje s matematikou – miesta, kde sa optimálna stratégia líši od toho, čo hráči v skutočnosti robia, a miesta, kde matematika predpovedá rovnováhu, ale zážitok je nespravodlivý. Oboje je potrebné. Ani jedno nestačí.