Matematică pentru jocuri de masă: probabilitate, valoare așteptată și de ce Dice se simt nedrept

Fiecare mecanic de jocuri de societate are o identitate matematică. O aruncare de zaruri are o valoare așteptată și o variație. Tragerea unei cărți are o distribuție de probabilitate. Un comerț cu resurse are un curs de schimb care poate fi exprimat ca raport. Designerii care înțeleg această matematică iau decizii mai bune decât designerii care lucrează prin simțire – nu pentru că matematica înlocuiește intuiția, ci pentru că intuiția nu este de acord adesea cu realitatea în moduri pe care doar testarea este lent de corectat.

Acest articol acoperă conceptele matematice care contează cel mai mult pentru proiectarea și jocul jocurilor de societate: distribuțiile probabilităților, valoarea așteptată, varianța și decalajul psihologic dintre ceea ce spune matematica și ceea ce experimentează jucătorii. Indiferent dacă proiectați un joc sau doar încercați să înțelegeți de ce sesiunile dvs. de zaruri se simt atât de catastrofal de ghinion, cadrul de aici vă va schimba modul în care vă gândiți la aleatoriu în jocuri.

De ce contează matematica în designul jocurilor

Un designer de jocuri care nu a calculat valoarea așteptată a economiei de acțiune de bază a jocului său nu știe dacă jocul său funcționează. Acest lucru sună dur, dar este adevărat din punct de vedere funcțional. Dacă venitul așteptat din cea mai bună acțiune disponibilă este de 4 resurse pe rundă și costul acțiunii cu condiția de victorie este de 30 de resurse, designerul trebuie să știe dacă acea rată a venitului este realizabilă pe durata obișnuită a jocului - înainte de testarea jocului, nu după șase sesiuni întrebându-se de ce nimeni nu câștigă vreodată.

Matematica și testarea jocului sunt instrumente complementare, nu alternative. Matematica vă spune ce prezice teoria. Playtesting-ul vă spune dacă comportamentul uman se potrivește cu teoria. De cele mai multe ori, ele diferă – nu pentru că matematica este greșită, ci pentru că jucătorii nu aleg întotdeauna acțiunea optimă teoretic. Diferența dintre jocul optim teoretic și jocul uman real este în sine o variabilă de design: un joc în care doar jocul optim produce decizii interesante este un joc mai rău decât unul în care jocul suboptim creează și situații interesante.

Fiecare mecanic are o valoare așteptată, iar designerii trebuie să o cunoască. Când un jucător Neutronium: Parallel Wars câștigă venituri din porturile nucleare, primește o valoare estimată calculată cu precizie per port pe rundă. Când aleg să atace mai degrabă decât să construiască, ei iau o decizie care are rezultate estimate calculabile în diferite scenarii. Designerul care cunoaște aceste numere poate lua decizii semnificative de echilibru; designerul care nu ghiceste.

Asimetria critică este că aleatoria pare nedreaptă chiar și atunci când este echilibrată. O monedă de 50/50 produce capete de șase ori la rând aproximativ 1,6% din timp - rar, dar nu imposibil. Când acest lucru i se întâmplă unui jucător într-un joc, ei trăiesc ca jocul fiind întrerupt, nu ca un eveniment statistic normal. Înțelegerea de ce se întâmplă acest lucru – și modul în care designerii pot structura aleatoriu pentru a se simți mai puțin pedepsiți, păstrând în același timp aceleași probabilități de bază – este cea mai valoroasă aplicație practic a matematicii de proiectare a jocurilor.

Probabilitatea zarurilor 101

Singul d6 este cel mai comun instrument de randomizare în jocurile de societate și, de asemenea, unul dintre cele mai neînțelese. Un standard d6 produce o distribuție uniformă: fiecare față (de la 1 la 6) are o probabilitate de 1/6 de apariție, iar valoarea așteptată este 3,5. Jucătorii înțeleg acest lucru în mod intuitiv, dar adesea nu reușesc să înțeleagă ce înseamnă rulări repetate într-o sesiune.

Distincția d6 unică față de 2d6 este fundamentală pentru a înțelege de ce mecanismele diferitelor zaruri se simt diferite. Un singur d6 are o distribuție de probabilitate plată - fiecare rezultat de la 1 la 6 este la fel de probabil. Două d6 însumate produc o curbă clopot: 7 este rezultatul cel mai probabil (probabilitatea 6/36 = 16,7%), în timp ce 2 și 12 au fiecare probabilitate 1/36 = 2,8%. Distribuția 2d6 concentrează rezultatele aproape de mijloc și face ca rezultatele extreme să fie rare. Acesta este motivul pentru care Catan, care folosește 2d6 pentru producția de resurse, se simte mai puțin pedepsitor la aruncările individuale decât sistemele cu o singură zară — distribuția limitează în mod natural rezultatele extreme.

Zarurile personalizate cu distribuții non-standard ale feței oferă designerilor un control precis asupra profilurilor de probabilitate pe care zarurile standard nu le pot oferi. Un zar cu fețele [0, 0, 0, 1, 1, 2] are un caracter foarte diferit față de un d6: produce zero 50% din timp, unul 33% din timp și două 17% din timp, cu o valoare așteptată de 0,67. Neutronium: Parallel Wars folosește zaruri D6 personalizate cu fețe codate în culori: fețele albastre reprezintă rezultate standard de luptă, fețele roșii reprezintă rezultate critice, iar fețele verzi reprezintă declanșatoare de abilități speciale. Distribuția tipurilor de fețe - nu doar numărul de fețe - determină probabilitatea fiecărui rezultat. Un zar cu trei fețe albastre, două fețe roșii și o față verde produce rezultate albastre 50% din timp, roșu 33% și verde 17%. Proiectantul poate ajusta aceste rapoarte schimbând numărul de fețe, mai degrabă decât creând sisteme de rezoluție complexe din punct de vedere matematic.

Zarurile care explodează sunt zaruri care, atunci când se aruncă valoarea maximă, sunt aruncate din nou și rezultatele adăugate. Un d6 care explodează pe 6 are o valoare așteptată de (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × valoarea așteptată a unui d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Natura deschisă creează rezultate nelimitate teoretic - o succesiune norocoasă de explozii poate produce totaluri foarte mari - ceea ce produce momentele de „sentiment norocos” pe care unele jocuri le cultivă în mod deliberat. Compartimentul este variația mare și ocazional aruncare norocoasă care definește jocul.

Zarurile mărginite sunt filozofia opusă: limitarea rezultatului maxim pentru a limita variația. Sistemele de grup de zaruri în care aruncați mai multe zaruri și obțineți doar cele mai bune rezultate N (sisteme avantajoase, cum ar fi mecanicul de avantaj al lui D&D 5E sau zarurile multiple de la Gumshoe), reduc din punct de vedere matematic varianța, menținând simțul probabilistic. Dacă luați cea mai mare dintre două aruncări d6, valoarea așteptată de la 3,5 la 4,47 — o îmbunătățire cu 28% — reduce în același timp probabilitatea unor rezultate scăzute în mod semnificativ.

Valoarea așteptată în jocurile cu resurse

Jocurile de acumulare de resurse — euro, constructori de motoare, strategii economice — sunt construite pe calcule ale valorii așteptate pe care proiectantul trebuie să le înțeleagă exact, chiar dacă nu apar niciodată în mod explicit în regulamentul. Când un jucător alege între două acțiuni, el compară (conștient sau nu) valoarea așteptată a acelor acțiuni pe orizontul de timp relevant.

Sistemul de venit al portului nuclear al

Neutronium: Parallel Wars este un exemplu explicit de valoare estimată proiectată. Formula de venit stabilește că un jucător cu N Porturi Nucleare primește venituri la o rată care crește neliniar cu N. Formula specifică — 1 port produce 2 unități Neutronium pe rundă; 10 porturi produc 220 Nn pe rundă - nu este întâmplător. Este afirmația explicită a designerului că acumularea de porturi ar trebui să producă randamente exponențiale mai degrabă decât liniare, deoarece randamentele exponențiale creează pragul de coaliție care conduce dinamica competitivă a jocului.

Această formulă este un design de joc intenționat, exprimat ca matematică. Diferența dintre veniturile din 7 porturi (42 Nn/rundă) și veniturile din 10 porturi (220 Nn/rundă) este argumentul economic pentru care se formează coaliții la pragul celor 7 porturi, mai degrabă decât să aștepte până la 9 sau 10 porturi. La 7 porturi, jucătorul are suficiente venituri pentru a fi amenințător – dar acțiunea coaliției poate fi totuși decisivă înainte ca avantajul de venit să devină insurmontabil din punct de vedere matematic. Un designer care a ajuns la aceste numere doar prin playtesting ar putea să le facă aproximativ corect; un designer care a înțeles funcția exponențială de la început ar putea specifica pragul cu precizie.

Principiul mai larg: când scalarea exponențială este proiectarea intenționată a jocului, designerul trebuie să documenteze funcția de scalare și să verifice dacă pragurile pe care le creează sunt acolo unde le dorește. Dacă pragul de coaliție ar trebui să fie la 6 porturi, mai degrabă decât la 7, formula veniturilor trebuie ajustată - ceea ce presupune să cunoaștem care este formula, nu doar să observați că „jocul se simte echilibrat”.

Avaria și percepția jucătorului

Varianța este măsura în care rezultatele reale se răspândesc în jurul valorii așteptate. Varianta mare înseamnă că rezultatele individuale pot diferi în mod dramatic de așteptări; varianță scăzută înseamnă că rezultatele se grupează strâns în jurul mediei. Pentru designerii de jocuri, variația este un buton de control care afectează atât corectitudinea matematică a jocului, cât și experiența subiectivă a jocului.

Perspectiva psihologică cheie: varianța mare se simte rău chiar și atunci când este echilibrată din punct de vedere matematic. O întoarcere de monede este perfect corectă - 50/50, valoarea așteptată exact egală pentru ambii jucători - dar jocul unui joc în care fiecare decizie este rezolvată prin răsturnare de monede se simte arbitrar și nerecompensator. Jucătorii trebuie să simtă că deciziile lor contează, ceea ce înseamnă că au nevoie ca legătura cauzală dintre deciziile bune și rezultatele bune să fie perceptibile în cadrul sesiunii de joc. Varianta mare întrerupe această conexiune.

Problema hexului 7 versus 2 Catan ilustrează clar acest lucru. În Catan, numărul 7 este imprimat pe cele mai multe hexuri deoarece are cea mai mare probabilitate cu 2d6 (16,7%). Numărul 2 este imprimat pe cele mai puține hexagonale (2,8%). Jucătorii cu experiență știu să prioritizeze resursele pe 6s, 8s, 5s și 9s - hexuri cu mare probabilitate. Dar, în orice sesiune dată, un jucător care își plasează corect așezările inițiale pe aceste hexuri poate fi încă semnificativ subperformat de un jucător cu plasări cu probabilitate mai mică dacă aruncările reale de zaruri deviază de la valorile așteptate. Acest lucru nu este nedrept - este o variație statistică normală. Dar se simte nedrept, deoarece relația dintre decizie (plasare bună) și rezultat (venituri frecvente din resurse) este ascunsă de variație.

Soluțiile de proiectare pentru gestionarea inechitații percepute din variație includ: mecanici de atenuare (rerolluri, bănci de resurse, mecanisme de recuperare care se activează în caz de ghinion), puncte de decizie care rămân semnificative chiar și după ghinion (deci un jucător care are rezultate slabe), are în continuare alegeri interesante și aleși favorizante. (prinderea din urmă prin variație: jucătorul lider dorește venituri stabile, previzibile; jucătorii din urmă beneficiază de abordări cu variație mare care pot reduce rapid diferența, chiar dacă valoarea așteptată este aceeași).