Matematika društvenih igara: Vjerovatnoća, očekivana vrijednost i zašto se kockice osjećaju nepravedno

Svaki mehaničar društvenih igara ima matematički identitet. Bacanje kockica ima očekivanu vrijednost i varijansu. Izvlačenje karte ima distribuciju vjerovatnoće. Trgovina resursima ima devizni kurs koji se može izraziti kao omjer. Dizajneri koji razumiju ovu matematiku donose bolje odluke od dizajnera koji rade po osjećaju – ne zato što matematika zamjenjuje intuiciju, već zato što se intuicija često ne slaže sa stvarnošću na način na koji se samo testiranje sporo ispravlja.

Ovaj članak pokriva matematičke koncepte koji su najvažniji za dizajn i igru društvenih igara: distribucije vjerovatnoće, očekivanu vrijednost, varijansu i psihološki jaz između onoga što matematika kaže i onoga što igrači doživljavaju. Bilo da osmišljavate igru ili samo pokušavate da shvatite zašto vaše sesije kockica izgledaju tako katastrofalno nesrećne, okvir ovde će promeniti način na koji razmišljate o nasumičnosti u igrama.

Zašto je matematika važna u dizajnu igara

Dizajner igara koji nije izračunao očekivanu vrijednost osnovne akcione ekonomije svoje igre ne zna funkcionira li njihova igra. Ovo zvuči grubo, ali je funkcionalno tačno. Ako je očekivani prihod od najbolje dostupne akcije 4 resursa po rundi, a cijena akcije uvjeta pobjede je 30 resursa, dizajner mora znati da li je ta stopa prihoda dostižna tokom uobičajenog trajanja igre - prije testiranja, a ne nakon šest sesija pitajući se zašto niko nikada ne pobjeđuje.

Matematika i testiranje igranja su komplementarni alati, a ne alternative. Matematika vam govori šta teorija predviđa. Playtesting vam govori da li ljudsko ponašanje odgovara teoriji. Većinu vremena se razlikuju - ne zato što je matematika pogrešna, već zato što igrači ne biraju uvijek teoretski optimalnu akciju. Jaz između teorijske optimalne igre i stvarne ljudske igre je sama po sebi varijabla dizajna: igra u kojoj samo optimalna igra donosi zanimljive odluke je gora igra od one u kojoj neoptimalna igra također stvara zanimljive situacije.

Svaki mehaničar ima očekivanu vrijednost, i dizajneri to moraju znati. Kada Neutronium: Parallel Wars igrač ostvari prihod od Nuclear Ports, on prima precizno izračunatu očekivanu vrijednost po portu po rundi. Kada odluče da napadnu, a ne da grade, oni donose odluku koja ima izračunljive očekivane ishode u različitim scenarijima. Dizajner koji zna ove brojeve može donijeti smislene odluke o ravnoteži; dizajner koji ne nagađa.

Kritična asimetrija je u tome što se nasumičnost čini nepravednom čak i kada je uravnotežena. Bacanje novčića 50/50 proizvodi glave šest puta zaredom otprilike 1,6% vremena - rijetko, ali nije nemoguće. Kada se to dogodi igraču u igri, oni to doživljavaju kao da je igra prekinuta, a ne kao normalan statistički događaj. Razumijevanje zašto se to događa – i kako dizajneri mogu strukturirati slučajnost kako bi se osjećali manje kažnjavajući, a da pritom zadrže iste osnovne vjerovatnoće – je najpraktičnija primjena matematike dizajna igara.

Vjerovatnoća kocke 101

Pojedinačni d6 je najčešći alat za randomizaciju u društvenim igrama i također jedan od najčešće pogrešno shvaćenih. Standardni d6 proizvodi uniformnu distribuciju: svako lice (1 do 6) ima 1/6 vjerovatnoće da će se pojaviti, a očekivana vrijednost je 3,5. Igrači to intuitivno razumiju, ali često ne razumiju šta znači ponovljena prevrtanja tokom sesije.

Razlika između jednog d6 i 2d6 je temeljna za razumijevanje zašto se različita mehanika kockica osjeća drugačije. Jedan d6 ima ravnu distribuciju vjerovatnoće - svaki ishod od 1 do 6 je jednako vjerojatan. Dva zbroja d6 daju zvonastu krivu: 7 je najvjerovatniji rezultat (vjerovatnoća 6/36 = 16,7%), dok 2 i 12 svaki imaju vjerovatnoću 1/36 = 2,8%. Distribucija 2d6 koncentriše ishode blizu sredine i čini ekstremne rezultate rijetkima. Zbog toga se Catan, koji koristi 2d6 za proizvodnju resursa, osjeća manje kažnjavajući pri pojedinačnim bacanjima nego sistemi s jednim kockicama — distribucija prirodno ograničava ekstremne rezultate.

Prilagođene kockice s nestandardnom raspodjelom lica daju dizajnerima preciznu kontrolu nad profilima vjerovatnoće koju standardne kockice ne mogu pružiti. Kocka s licima [0, 0, 0, 1, 1, 2] ima vrlo drugačiji karakter od d6: proizvodi nula u 50% vremena, jedan u 33% vremena i dva u 17% vremena, sa očekivanom vrijednošću od 0,67. Neutronium: Parallel Wars koristi prilagođene D6 kockice sa bojom označenim licima: plava lica predstavljaju standardne rezultate borbe, crvena predstavljaju kritične rezultate, a zelena lica predstavljaju pokretače posebnih sposobnosti. Distribucija tipova lica – ne samo broj lica – određuje vjerovatnoću svakog ishoda. Kocka sa tri plava lica, dva crvena lica i jednim zelenim licem daje plave rezultate 50% vremena, crvena 33%, a zelena 17%. Dizajner može prilagoditi ove omjere mijenjajući broj lica umjesto kreiranjem matematički složenih sistema rezolucije.

Eksplodirajuće kockice su kockice koje se pri bacanju maksimalne vrijednosti ponovo bacaju i rezultati se dodaju. D6 koji eksplodira na 6 ima očekivanu vrijednost (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × očekivana vrijednost d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Otvorena priroda stvara teoretski neograničene rezultate - srećni niz eksplozija može proizvesti vrlo visoke ukupne vrijednosti - što proizvodi trenutke "osjećaja sreće" koje neke igre namjerno gaje. Kompromis je velika varijansa i povremeno bacanje sreće koje definiše igru.

Ograničene kockice su suprotna filozofija: ograničavanje maksimalnog ishoda kako bi se ograničila varijansa. Sistemi za prikupljanje kockica u kojima bacate više kockica i uzimate samo najbolje N rezultate (sistemi prednosti kao što je D&D 5E-ov mehaničar prednosti ili Gumshoe-ov višestruko uzimanje kockica) matematički smanjuju varijansu uz zadržavanje vjerovatnoće. Uzimanje većeg od dva bacanja d6 pomjera očekivanu vrijednost sa 3,5 na 4,47 — poboljšanje od 28% — dok značajno smanjuje vjerovatnoću niskih ishoda.

Očekivana vrijednost u igrama resursa

Igre akumulacije resursa — eura, graditelja motora, ekonomske strategije — izgrađene su na proračunima očekivane vrijednosti koje dizajner mora precizno razumjeti čak i ako se nikada ne pojavljuju eksplicitno u pravilniku. Kada igrač bira između dvije akcije, on (svjesno ili ne) upoređuje očekivanu vrijednost tih radnji u relevantnom vremenskom horizontu.

Neutronium: Parallel Wars je eksplicitan primjer dizajnirane očekivane vrijednosti. Formula prihoda utvrđuje da igrač sa N Nuclear Ports prima prihod po stopi koja se nelinearno povećava sa N. Specifična formula — 1 port daje 2 Neutronium jedinice po rundi; 10 portova daje 220 Nn po rundi — nije slučajno. Eksplicitna je izjava dizajnera da bi akumulacija portova trebala proizvoditi eksponencijalne, a ne linearne povrate, jer eksponencijalni prinosi stvaraju koalicioni prag koji pokreće konkurentsku dinamiku igre.

Ova formula je namjerni dizajn igre izražen kao matematika. Jaz između prihoda od 7 luka (42 Nn/runda) i prihoda od 10 luka (220 Nn/runda) je ekonomski argument zašto se koalicije formiraju na pragu od 7 luka umjesto da čekaju do 9 ili 10 luka. Na 7 portova, igrač ima dovoljno prihoda da bude prijetnja - ali koaliciona akcija i dalje može biti odlučujuća prije nego što prednost u prihodu postane matematički nepremostiva. Dizajner koji je do ovih brojeva došao samo putem testiranja, mogao bi ih približno ispraviti; dizajner koji je razumio eksponencijalnu funkciju od početka mogao bi precizno odrediti prag.

Širi princip: kada je eksponencijalno skaliranje namjerno dizajniranje igre, dizajner mora dokumentirati funkciju skaliranja i provjeriti jesu li pragovi koje stvara tamo gdje žele. Ako koalicioni prag treba da bude na 6 luka, a ne na 7, formula prihoda treba da se prilagodi — što zahteva da se zna šta je formula, a ne samo da se posmatra „da je igra uravnotežena“.

Varijanca i percepcija igrača

Varijanca je mjera koliko se stvarni ishodi šire oko očekivane vrijednosti. Velika varijansa znači da se pojedinačni rezultati mogu dramatično razlikovati od očekivanih; niska varijansa znači da se rezultati čvrsto grupišu oko prosjeka. Za dizajnere igara, varijansa je kontrolno dugme koje utiče i na matematičku pravednost igre i na subjektivno iskustvo igranja.

Ključni psihološki uvid: visoka varijansa je loša čak i kada je matematički uravnotežena. Bacanje novčića je savršeno pošteno – 50/50, očekivana vrijednost potpuno jednaka za oba igrača – ali igranje igre u kojoj se svaka odluka rješava bacanjem novčića čini se proizvoljnim i nenagrađujućim. Igrači moraju osjetiti da su njihove odluke bitne, što znači da im je potrebna uzročna veza između dobrih odluka i dobrih ishoda da bi bila uočljiva unutar sesije igre. Velika varijansa prekida tu vezu.

Problem 7 naspram 2 Catan hex problem to jasno ilustruje. U Katanu je broj 7 odštampan na najviše heksa jer ima najveću vjerovatnoću sa 2d6 (16,7%). Broj 2 je odštampan na najmanje heksa (2,8%). Iskusni igrači znaju da daju prioritet resursima na 6s, 8s, 5s i 9s — heksama velike vjerovatnoće. Ali u bilo kojoj sesiji, igrač koji ispravno postavi svoja početna poravnanja na ovim heksama i dalje može biti znatno lošiji od igrača sa nižom vjerovatnoćom plasmana ako stvarna bacanja kockica odstupa od očekivanih vrijednosti. Ovo nije nepravedno – to je normalna statistička varijacija. Ali čini se nepravednim jer je odnos između odluke (dobar plasman) i ishoda (česti prihod od resursa) zamagljen varijantama.

Dizajn rješenja za upravljanje uočenom nepravednošću iz varijance uključuju: mehaniku ublažavanja (ponovno bacanje, banke resursa, mehanizme sustizanja koji se aktiviraju pri trčenjima za lošu sreću), tačke odluke koje ostaju značajne čak i nakon nesreće (tako da igrač koji baca loše igrače), a i dalje ima prednost u interesu igrača koji ima interesantan izbor (nadoknađivanje preko varijanse: vodeći igrač želi stabilan, predvidljiv prihod; igrači u zaostatku imaju koristi od pristupa visoke varijanse koji mogu brzo zatvoriti jaz, iako je očekivana vrijednost ista).

Trenuci Kingmakera iz kockica — gdje nasumično bacanje određuje koji igrač pobjeđuje ili gubi u završnoj rundi — su najštetniji ishodi varijacije za zadovoljstvo igrača. Rješenje nije eliminiranje kockica, već strukturiranje kasne igre tako da ishodi kockica utječu na put do pobjede, a ne da ga direktno određuju. Kada više igrača ima održive pobjedničke pozicije u posljednjoj rundi, bacanje sreće zadovoljava pobjednika, ali se ne osjeća nelegitimno za gubitnike — jer su gubitnici također imali put do pobjede koji je mogao biti omogućen njihovim vlastitim sretnim bacanjima.

Testiranje ravnoteže s matematikom

Okvir MEQA (mjerljivost, angažman, kvalitet, pristupačnost) pruža strukturirani pristup testiranju balansa igre. Stub mjerljivosti — M u MEQA — je mjesto gdje matematika formalno ulazi u proces dizajna: prije početka testiranja, dizajner definira šta "uravnoteženo" znači u mjerljivim terminima.

Za igru s asimetričnim frakcijama kao što je Neutronium: Parallel Wars, mjerljiva ravnoteža znači: svaka frakcija treba postići stopu pobjede unutar definiranog raspona tolerancije u dovoljnom uzorku igara na uporedivim nivoima vještina. Ako je cilj 50% stope pobjede (čista ravnoteža) sa ±10% prihvatljivog raspona, tada je frakcija koja pobjeđuje u 42% igara unutar tolerancije, a frakcija koja pobjeđuje 63% nije. Ali postizanje ovog standarda zahtijeva poznavanje cilja prije testiranja — ne deklariranje post-hoc da su uočene stope pobjeda "dovoljno bliske."

Definiranje metrike prije testiranja igranja mijenja ono što opažate. Ako znate da mjerite stopu pobjeda po frakcijama, pratite dodijeljene frakcije i rezultate kroz sesije. Ako znate da mjerite prosječnu dužinu igre, bilježite vremenske oznake. Ove odluke se moraju donijeti prije prve sesije playtest-a, jer su retrospektivni pokazatelji nepouzdani — pamćenje je selektivno i ljudi prirodno pamte sesije koje podržavaju postojeća uvjerenja.

Zahtjevi za veličinu uzorka za zaključke ravnoteže često su veći nego što dizajneri očekuju. Za igru ​​za 2 igrača sa 2 frakcije, 30 igara daje osnovne podatke za otkrivanje neravnoteže veće od 15% uz 80% pouzdanosti. Za igre za 4 igrača sa 6 frakcija, prostor kombinacija je mnogo veći: 30 igara vam daje otprilike 5 igara po paru frakcija — jedva dovoljno za otkrivanje ekstremne neravnoteže, a nedovoljno za otkrivanje suptilnih prednosti. Indie izdavači rijetko imaju resurse za rigoroznu statističku validaciju; praktičan pristup je korištenje matematike za provjeru očekivanih vrijednosti, testiranje igranja kako bi se uhvatili odstupanja i povratne informacije zajednice nakon objavljivanja kako bi se identificirali preživjeli problemi.

Za potpuni okvir — uključujući način na koji se mjerljivost integrira s drugim MEQA stubovima — pogledajte MEQA okvir za ravnotežu igre, koji pokriva kompletan pristup definiranju, mjerenju ravnoteže i chip sistemima.

Formula za skaliranje prihoda u Neutronium se direktno povezuje sa detaljima mehanike na /mechanics/nuclear-port-scaling, gdje je eksponencijalna funkcija dokumentirana zajedno sa obrazloženjem dizajna za svaku vrijednost praga.

Alati za vjerovatnoću za dizajnere

Nekoliko alata čini matematiku dizajna igara pristupačnom bez potrebe za naprednom statističkom obukom. To su oni koji rade u praksi.

AnyDice (anydice.com) je standardni kalkulator vjerovatnoće kockica za dizajnere igara. Prihvata notaciju kockica na prirodnom jeziku (2d6, d4+d8, 3d6 zadržava najveću 2) i vraća distribucije vjerovatnoće, očekivane vrijednosti i kumulativne vjerovatnoće. Za svakog mehaničara koji uključuje kockice, AnyDice bi trebao biti prvi konsultirani alat. Njegovi izlazni grafovi čine distribucije odmah čitljivim i uporedivim - zalijepite dva različita izraza kockica jedan pored drugog da biste odmah vidjeli kako se njihove distribucije razlikuju.

Spreadsheet simulacije (Google Sheets, Excel) obrađuju proračune koje AnyDice ne može: akumulacija resursa u više rundi, prihod iz više izvora, očekivana dužina igre pod različitim strateškim pretpostavkama. Osnovnom modelu proračunske tablice ekonomije igre — sa kolonama za svaki potez, redovima za svaki tip resursa i formulama koje predstavljaju osnovni prihod i mehaniku potrošnje igre — potrebno je 2–3 sata da se izgradi i otkriva probleme ravnoteže za koje bi bilo potrebno više od 20 testova da se empirijski otkriju.

Monte Carlo simulacija je alat najveće preciznosti: pokretanje mehanike igre hiljade puta kompjuterski da bi se proizvele statističke distribucije za sve moguće ishode. Za dizajnere sa pozadinom programiranja, Python sa NumPy je dovoljan za većinu potreba za simulacijom igara. Za dizajnere bez znanja programiranja, postoje vizuelni Monte Carlo alati, pa čak i simulacije zasnovane na tabelama koje daju značajne rezultate sa ograničenim tehničkim znanjem. Monte Carlo je najvredniji za igre sa složenim međuzavisnostima u kojima je analitičko izračunavanje teško — kada više slučajnih događaja interaguje, simulacija daje pouzdanije procjene distribucije od ručnog izračunavanja.

Kada vjerovati matematici u odnosu na vrijeme testiranja: koristite matematiku da provjerite teorijsku ravnotežu i uhvatite očigledne greške u dizajnu prije nego što uložite u testiranje. Koristite testiranje igranja da otkrijete kako ljudska psihologija stupa u interakciju s matematikom – mjesta na kojima se optimalna strategija razlikuje od onoga što igrači zapravo rade, i mjesta na kojima matematika predviđa ravnotežu, ali iskustvo se čini nepravednim. Oba su neophodna. Nije dovoljno ni jedno ni drugo.

Često postavljana pitanja