Lautapelien matematiikka: todennäköisyys, odotettu arvo ja miksi noppa tuntuu epäreilulta

Jokaisella lautapelimekaanikalla on matemaattinen identiteetti. Nopanheitolla on odotusarvo ja varianssi. Kortin vedolla on todennäköisyysjakauma. Resurssikaupalla on valuuttakurssi, joka voidaan ilmaista suhdelukuna. Suunnittelijat, jotka ymmärtävät tämän matematiikan, tekevät parempia päätöksiä kuin suunnittelijat, jotka työskentelevät tunteen mukaan – ei siksi, että matematiikka korvaa intuitiota, vaan koska intuitio on usein eri mieltä todellisuuden kanssa siten, että pelkkä testaus korjaantuu hitaasti.

Tämä artikkeli kattaa matemaattiset käsitteet, joilla on eniten merkitystä lautapelien suunnittelussa ja pelaamisessa: todennäköisyysjakaumat, odotusarvo, varianssi ja psykologinen ero matematiikan sanojen ja pelaajien kokemien välillä. Suunnitteletpa peliä tai yrität vain ymmärtää, miksi noppasessiot tuntuvat niin katastrofaalisen epäonnilta, tässä oleva kehys muuttaa sitä, miten ajattelet satunnaisuudesta peleissä.

Miksi matematiikalla on merkitystä pelisuunnittelussa

A Pelisuunnittelija, joka ei ole laskenut pelinsä ydintoimintatalouden odotettua arvoa, ei tiedä toimiiko hänen pelinsä. Tämä kuulostaa ankaralta, mutta se on toiminnallisesti totta. Jos odotetut tulot parhaasta käytettävissä olevasta toiminnasta ovat 4 resurssia per kierros ja voittoehtotoiminnon hinta on 30 resurssia, suunnittelijan on tiedettävä, onko tuo tuloprosentti saavutettavissa pelin tyypillisen keston aikana – ennen pelitestausta, ei kuuden istunnon jälkeen, kun mietitään, miksi kukaan ei koskaan voita.

Math ja pelitestaus ovat toisiaan täydentäviä työkaluja, eivät vaihtoehtoja. Matematiikka kertoo mitä teoria ennustaa. Playtesting kertoo, vastaako ihmisen käyttäytyminen teoriaa. Useimmiten ne eroavat toisistaan ​​- ei siksi, että matematiikka on väärä, vaan koska pelaajat eivät aina valitse teoreettisesti optimaalista toimintaa. Teoreettisen optimaalisen pelin ja todellisen ihmisen pelin välinen kuilu on itsessään suunnittelumuuttuja: peli, jossa vain optimaalinen peli tuottaa mielenkiintoisia päätöksiä, on huonompi peli kuin se, jossa myös epäoptimaalinen peli luo mielenkiintoisia tilanteita.

Jokaisella mekaanikolla on odotettu arvo, ja suunnittelijoiden on tiedettävä se. Kun Neutronium: Parallel Wars-soitin saa tuloja Nuclear Port-tuloista, he saavat tarkasti lasketun odotusarvon porttia kohden. Kun he päättävät hyökätä rakentamisen sijaan, he tekevät päätöksen, jolla on laskettavissa olevat odotetut tulokset eri skenaarioissa. Suunnittelija, joka tietää nämä numerot, voi tehdä mielekkäitä tasapainopäätöksiä; suunnittelija, joka ei, arvaa.

Kriittinen epäsymmetria on se, että satunnaisuus tuntuu epäoikeudenmukaiselta, vaikka se olisi tasapainossa. 50/50 kolikonheitto tuottaa päitä kuusi kertaa peräkkäin noin 1,6 % ajasta – harvoin, mutta ei mahdottomasti. Kun näin tapahtuu pelaajalle pelissä, hän kokee sen pelin katkeamisena, ei normaalina tilastollisena tapahtumana. Ymmärtäminen, miksi näin tapahtuu – ja kuinka suunnittelijat voivat jäsentää satunnaisuuden niin, että ne tuntevat olonsa vähemmän rankaiseviksi ja säilyttävät samat taustalla olevat todennäköisyydet – on pelisuunnittelun matematiikan käytännössä arvokkain sovellus.

Dice-todennäköisyys 101

Single d6 on yleisin satunnaistustyökalu lautapeleissä ja myös yksi väärinymmärretyimmistä. Standardi d6 tuottaa tasaisen jakauman: kunkin pinnan (1 - 6) esiintymistodennäköisyys on 1/6 ja odotusarvo on 3,5. Pelaajat ymmärtävät tämän intuitiivisesti, mutta he eivät usein ymmärrä, mitä se tarkoittaa toistuvilla kierroksilla istunnon aikana.

yksittäisen d6:n ja 2d6:n ero on perusta, jotta ymmärrät, miksi erilaiset noppamekaniikat tuntuvat erilaisilta. Yhdellä d6:lla on tasainen todennäköisyysjakauma – jokainen tulos 1-6 on yhtä todennäköinen.Kaksi summattua d6 tuottaa kellokäyrän: 7 on todennäköisin tulos (todennäköisyys 6/36 = 16,7 %), kun taas 2:lla ja 12:lla on kummankin todennäköisyys 1/36 = 2,8 %. 2d6-jakauma keskittää tulokset lähelle keskikohtaa ja tekee äärimmäisistä tuloksista harvinaisia. Tästä syystä Catan, joka käyttää resurssien tuotantoon 2d6:ta, tuntuu yksittäisillä rullilla vähemmän rankaisevalta kuin yksisuulakejärjestelmät – jakelu rajoittaa luonnollisesti äärimmäisiä tuloksia.

Mukautetut nopat epästandardeilla kasvojakaumilla antavat suunnittelijoille tarkan hallinnan todennäköisyysprofiileihin, joita tavalliset nopat eivät pysty tarjoamaan. Muotti, jonka pinnat ovat [0, 0, 0, 1, 1, 2], on luonteeltaan hyvin erilainen kuin d6: se tuottaa nollan 50 % ajasta, yhden 33 % ajasta ja kaksi 17 % ajasta, odotusarvolla 0,67. Neutronium: Parallel Wars käyttää mukautettuja D6-noppaa, joissa on värikoodatut kasvot: siniset kasvot edustavat tavallisia taistelutuloksia, punaiset kasvot kriittisiä tuloksia ja vihreät kasvot erityisiä kykyjen laukaisimia. Kasvotyyppien jakauma - ei vain kasvojen lukumäärä - määrittää kunkin tuloksen todennäköisyyden. Kolmella sinisellä, kahdella punaisella ja yhdellä vihreällä kasvolla on sininen tulos 50 % ajasta, punainen 33 % ja vihreä 17 % ajasta. Suunnittelija voi säätää näitä suhteita muuttamalla kasvojen lukumäärää sen sijaan, että loisi matemaattisesti monimutkaisia resoluutiojärjestelmiä.

Räjähtävät noppaa ovat noppaa, jotka heitettäessä maksimiarvoa heitetään uudelleen ja tulokset lisätään. d6:lla, joka räjähtää 6:lla, on odotusarvo (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6:n odotettu arvo) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Avoin luonne luo teoreettisesti rajattomia tuloksia – onnekas räjähdyssarja voi tuottaa erittäin korkeita kokonaistuloksia – mikä tuottaa "onnen tunteen" hetkiä, joita jotkut pelit tarkoituksella viljelevät. Kompromissi on suuri varianssi ja satunnainen pelin määräävä onnenheitto.

Rajoitettu noppaa on päinvastainen filosofia: enimmäistuloksen rajoittaminen varianssin rajoittamiseksi. Noppapoolijärjestelmät, joissa heitetään useita noppaa ja saavutetaan vain parhaat N tulokset (edujärjestelmät, kuten D&D 5E:n etumekaniikka tai Gumshoen useiden noppien otot korkeimmillaan), vähentävät matemaattisesti varianssia säilyttäen samalla todennäköisyyden tunteen. Kun otetaan suurempi kahdesta d6-rullasta, odotettu arvo siirtyy 3,5:stä 4,47:ään – 28 %:n parannus – samalla kun alhaisten tulosten todennäköisyys pienenee merkittävästi.

Odotettu arvo resurssipeleissä

Resurssien kertymispelit – eurot, moottorien rakentajat, taloudelliset strategiat – perustuvat odotusarvolaskelmiin, jotka suunnittelijan on ymmärrettävä tarkasti, vaikka niitä ei koskaan mainitakaan nimenomaisesti sääntökirjassa. Kun pelaaja valitsee kahdesta toiminnasta, hän (tietoisesti tai ei) vertaa näiden toimien odotettua arvoa asiaankuuluvalla aikahorisontilla.

Neutronium: Parallel Wars:n tulojärjestelmä Nuclear Port on selkeä esimerkki suunnitellusta odotusarvosta. Tulokaava määrittää, että pelaaja, jolla on N Nuclear Ports, saa tuloja nopeudella, joka skaalautuu epälineaarisesti N:n kanssa. Erityinen kaava – 1 portti tuottaa 2 Neutronium yksikköä kierrosta kohti; 10 porttia tuottaa 220 Nn per kierros – ei ole sattumaa.Suunnittelijan nimenomainen lausunto on, että porttien kertymisen tulisi tuottaa eksponentiaalista tuottoa lineaarisen sijaan, koska eksponentiaaliset tuotot luovat koalitiokynnyksen, joka ohjaa pelin kilpailudynamiikkaa.

Tämä kaava on tarkoituksellinen pelin suunnittelu ilmaistuna matematiikassa. Ero 7 portin tulojen (42 Nn/kierros) ja 10 portin tulojen (220 Nn/kierros) välillä on taloudellinen argumentti sille, miksi liittoutumia muodostetaan 7 portin kynnyksellä sen sijaan, että odotettaisiin 9 tai 10 satamaan. 7 satamassa pelaajalla on tarpeeksi tuloja ollakseen uhkaavia – mutta liittoutuman toiminta voi silti olla ratkaisevaa, ennen kuin tuloetu muuttuu matemaattisesti ylitsepääsemättömäksi. Suunnittelija, joka päätyi näihin lukuihin pelkän pelitestauksen kautta, saattaa saada ne suunnilleen oikein; suunnittelija, joka ymmärsi eksponentiaalisen funktion alusta alkaen, voisi määrittää kynnyksen tarkasti.

Laajempi periaate: Kun eksponentiaalinen skaalaus on tarkoituksellista pelin suunnittelua, suunnittelijan on dokumentoitava skaalaustoiminto ja varmistettava, että sen luomat kynnykset ovat siellä, missä he haluavat ne. Jos koalitiokynnyksen pitäisi olla 6 porttia 7:n sijaan, tulokaavaa on mukautettava – mikä edellyttää kaavan tuntemista, ei pelkästään sen huomioimista, että "peli tuntuu tasapainoiselta".

Varianssi ja pelaajan havaitseminen

Varianssi on mitta siitä, kuinka paljon todelliset tulokset jakautuvat odotetun arvon ympärille. Suuri varianssi tarkoittaa, että yksittäiset tulokset voivat poiketa dramaattisesti odotuksista; pieni varianssi tarkoittaa, että tulokset klusterit tiukasti keskiarvon ympärille. Pelisuunnittelijoille varianssi on säätönuppi, joka vaikuttaa sekä pelin matemaattiseen oikeudenmukaisuuteen että sen pelaamisen subjektiiviseen kokemukseen.

Pyskologinen oivallus: Suuri varianssi tuntuu pahalta, vaikka se olisi matemaattisesti tasapainotettu. Kolikonheitto on täysin oikeudenmukainen – 50/50, odotusarvo täsmälleen sama molemmille pelaajille – mutta pelin pelaaminen, jossa jokainen päätös ratkaistaan ​​kolikonheitolla, tuntuu mielivaltaiselta ja epäpalkitsevalta. Pelaajien on tunnettava, että heidän päätöksillään on merkitystä, mikä tarkoittaa, että he tarvitsevat kausaalisen yhteyden hyvien päätösten ja hyvien tulosten välillä, jotta he ovat havaittavissa pelisession aikana. Suuri varianssi katkaisee yhteyden.

7 vs. 2 Catan hex -ongelma osoittaa tämän selvästi. Catanissa luku 7 on painettu useimpiin heksaan, koska sillä on suurin todennäköisyys 2d6:lla (16,7 %). Numero 2 on painettu vähiten heksaan (2,8 %). Kokeneet pelaajat tietävät priorisoida resurssit 6s, 8s, 5s ja 9s - suuren todennäköisyyden hexes. Mutta missä tahansa istunnossa pelaaja, joka sijoittaa alkulaskunsa oikein näille heksaille, voi silti jäädä huomattavasti heikommaksi pelaajalta, jolla on pienempi todennäköisyys, jos todelliset nopanheitot poikkeavat odotetuista arvoista. Tämä ei ole epäreilua – se on normaalia tilastollista vaihtelua.Mutta se tuntuu epäreilulta, koska päätöksen (hyvä sijoitus) ja tuloksen (usein resurssituotot) välistä suhdetta peittää vaihtelu.

Suunnitteluratkaisuja epäreilun epäoikeudenmukaisuuden hallintaan varianssista ovat: lievennysmekaniikka (uudelleenrullaukset, resurssipankit, kiinniottomekanismit, jotka aktivoituvat huonon onnen juoksuissa), huonojen pisteiden jälkeenkin, jotka jäävät merkityksettömiksi. onnea (joten heikosti heittäneellä pelaajalla on edelleen mielenkiintoisia valintoja) ja varianssi, joka suosii perässä olevia pelaajia (kiinnittyminen varianssin kautta: johtava pelaaja haluaa vakaat, ennustettavat tulot; perässä olevat pelaajat hyötyvät nopeasti jopa suuren varianssin lähestymistavasta, vaikkakin suuren vaihtelun lähestymistavasta. sama).

Kingmaker-hetket nopasta – joissa satunnainen heitto määrittää, kumpi pelaaja voittaa tai häviää viimeisellä kierroksella – ovat vahingollisimpia varianssituloksia pelaajien tyytyväisyydelle. Ratkaisu ei ole noppien poistaminen, vaan myöhäisen pelin jäsentäminen niin, että nopan tulokset vaikuttavat voittopolkuun sen sijaan, että määrittäisivät sen suoraan. Kun useilla pelaajilla on elinkelpoisia voittopaikkoja viimeiselle kierrokselle, onnenheitto tyydyttää voittajaa, mutta se ei tunnu häviäjille laittomalta – koska myös häviäjillä oli tie voittoon, jonka heidän omat onnenheittonsa olisivat voineet mahdollistaa.

Tasapainotestaus matematiikassa

MEQA-kehys (mitattavuus, sitoutuminen, laatu, saavutettavuus) tarjoaa jäsennellyn lähestymistavan pelien tasapainotestaukseen. Measurability-pilari – M:ssä MEQA – on kohta, jossa matematiikka astuu suunnitteluprosessiin muodollisesti: ennen pelitestauksen alkamista suunnittelija määrittelee, mitä "tasapainoinen" tarkoittaa mitattavissa olevin ehdoin.

Peleissä, joissa on epäsymmetrisiä ryhmittymiä, kuten Neutronium: Parallel Wars, mitattavissa oleva tasapaino tarkoittaa: jokaisen ryhmän tulee saavuttaa voittoprosentti määritellyn toleranssialueen sisällä riittävän joukon pelejä vertailukelpoisilla taitotasoilla. Jos tavoite on 50 % voittoprosentti (puhdas saldo) ±10 % hyväksyttävällä vaihteluvälillä, niin 42 % peleistä voittava ryhmä on toleranssin sisällä ja 63 % ei. Mutta tämän standardin saavuttaminen edellyttää tavoitteen tuntemista ennen testaamista – ei jälkikäteen julistamista, että havaitut voittoprosentit ovat "riittävän lähellä".

Mittareiden määrittäminen ennen toistotestausta muuttaa havaitsemaasi. Jos tiedät, että mittaat voittoprosenttia ryhmää kohden, voit seurata ryhmien tehtäviä ja tuloksia istuntojen aikana. Jos tiedät mittaavasi keskimääräisen pelin pituuden, tallennat aikaleimat. Nämä päätökset on tehtävä ennen ensimmäistä pelitestiistuntoa, koska retrospektiiviset mittarit ovat epäluotettavia – muisti on valikoiva ja ihmiset muistavat luonnollisesti istunnot, jotka tukevat olemassa olevia uskomuksia.

Tasapainopäätösten otoskokovaatimukset ovat usein suurempia kuin suunnittelijat odottavat. Kahden pelaajan pelissä, jossa on 2 ryhmää, 30 peliä tarjoaa perustiedot yli 15 %:n epätasapainon havaitsemiseksi 80 %:n varmuudella. Neljän pelaajan peleissä, joissa on 6 ryhmää, yhdistelmätila on paljon suurempi: 30 peliä antaa noin 5 peliä ryhmäparia kohden – tuskin riittää äärimmäisen epätasapainon havaitsemiseen ja ei riitä hienovaraisten etujen havaitsemiseen.Indie-julkaisijoilla on harvoin resursseja tiukkaan tilastolliseen validointiin. Käytännön lähestymistapa on käyttää matematiikkaa odotettujen arvojen tarkistamiseen, pelitestausta poikkeavien havaitsemiseksi ja yhteisön palautetta julkaisun jälkeen selviytyneiden ongelmien tunnistamiseen.

Katso koko kehys – mukaan lukien kuinka Measurability integroituu muihin MEQA-pilareihin – katso MEQA pelitasapainon puiteopas, joka kattaa täydellisen lähestymistavan tasapainoon, pelien määrittelyyn ja määrittelyyn. järjestelmät.

Tulojen skaalauskaava kohdassa Neutronium yhdistyy suoraan mekaniikkayksityiskohtiin osoitteessa /mechanics/nuclear-port-scaling, jossa eksponentiaalinen funktio dokumentoidaan kunkin arvon QZ01 suunnitteluperustelun ohellaQ301.

Todennäköisyystyökalut suunnittelijoille

Useita työkaluja mahdollistavat pelien suunnittelun matematiikin käytön ilman edistynyttä tilastokoulutusta. Nämä ovat ne, jotka toimivat käytännössä.

AnyDice (anydice.com) on pelisuunnittelijoiden tavallinen nopan todennäköisyyslaskin. Se hyväksyy luonnollisen kielen noppamerkinnät (2d6, d4+d8, 3d6 pitää korkein 2) ja palauttaa todennäköisyysjakaumat, odotusarvot ja kumulatiiviset todennäköisyydet. AnyDicen tulisi olla ensimmäinen työkalu kaikille noppia käyttäville mekaanikoille. Sen tuloskaaviot tekevät jakaumista välittömästi luettavissa ja vertailukelpoisia – liitä kaksi erilaista noppalauseketta vierekkäin nähdäksesi heti, kuinka niiden jakautumat eroavat.

Taulukkosimulaatiot (Google Sheets, Excel) käsittelee laskelmia, joita AnyDice ei pysty: resurssien kertyminen useilta kierroksilta, tulot useista lähteistä, odotettavissa olevat pelin pituudet eri strategisissa tavoitteissa. Pelin talouden peruslaskentataulukkomalli, jossa on sarakkeita kullekin kierrokselle, rivit kullekin resurssityypille ja kaavoja, jotka edustavat pelin ydintuloja ja kulutusmekaniikkaa – kestää 2–3 tuntia, ja se paljastaa tasapainoongelmia, joiden löytäminen empiirisesti vaatisi yli 20 pelitestiä.

Monte Carlo -simulaatio on tarkin työkalu: pelimekaniikka ajetaan tuhansia kertoja laskennallisesti tilastollisten jakaumien tuottamiseksi kaikista mahdollisista tuloksista. Suunnittelijoille, joilla on ohjelmointitausta, Python ja NumPy riittää useimpiin pelisimulaatiotarpeisiin. Suunnittelijoille, joilla ei ole ohjelmointitaustaa, on tarjolla visuaalisia Monte Carlo -työkaluja ja jopa taulukkopohjaisia ​​simulaatioita, jotka tuottavat merkityksellisiä tuloksia rajoitetulla teknisellä tiedolla. Monte Carlo on arvokkain peleissä, joissa on monimutkaisia keskinäisiä riippuvuuksia ja joissa analyyttinen laskeminen on vaikeaa – kun useat satunnaiset tapahtumat ovat vuorovaikutuksessa, simulointi tuottaa luotettavampia jakautumisestimaatteja kuin manuaalinen laskenta.

Milloin matematiikkaan luottaa verrattuna pelitestiin: käytä matematiikkaa teoreettisen tasapainon tarkistamiseen ja selvitä ilmeiset suunnitteluvirheet ennen kuin investoit pelitestaukseen. Pelitestauksen avulla voit selvittää, kuinka ihmisen psykologia on vuorovaikutuksessa matematiikan kanssa – paikkoja, joissa optimaalinen strategia eroaa pelaajien todellisista tekemisistä, ja paikkoja, joissa matematiikka ennustaa tasapainoa, mutta kokemus tuntuu epäreilulta. Molemmat ovat välttämättömiä. Kumpikaan ei riitä yksinään.

Usein kysytyt kysymykset