Stalo žaidimų matematika: tikimybė, numatoma vertė ir kodėl kauliukai jaučiasi nesąžiningi

Kiekvienas stalo žaidimų mechanikas turi matematinį tapatumą. Kauliuko metimas turi numatomą vertę ir dispersiją. Kortų traukimas turi tikimybių pasiskirstymą. Prekyba ištekliais turi valiutos kursą, kurį galima išreikšti santykiu. Dizaineriai, kurie supranta šią matematiką, priima geresnius sprendimus nei dizaineriai, dirbantys pagal jausmus – ne todėl, kad matematika pakeičia intuiciją, o todėl, kad intuicija dažnai nesutampa su tikrove, todėl vien tik testavimas ištaisomas lėtai.

Šiame straipsnyje aptariamos matematinės sąvokos, kurios yra svarbiausios kuriant stalo žaidimus ir žaidžiant: tikimybių pasiskirstymas, numatoma vertė, dispersija ir psichologinis atotrūkis tarp to, ką sako matematika, ir to, ką patiria žaidėjai. Nesvarbu, ar kuriate žaidimą, ar tiesiog bandote suprasti, kodėl jūsų kauliukų sesijos taip katastrofiškai nesiseka, čia esanti sistema pakeis jūsų požiūrį į atsitiktinumą žaidimuose.

Kodėl matematika svarbi žaidimų dizaine

Žaidimų dizaineris, kuris neapskaičiavo numatomos savo žaidimo pagrindinės veiksmo ekonomikos vertės, nežino, ar jo žaidimas veikia. Tai skamba griežtai, bet funkcionaliai tai tiesa. Jei tikėtinos pajamos iš geriausio galimo veiksmo yra 4 ištekliai vienam raundui, o pergalės sąlygos veiksmo kaina yra 30 išteklių, dizaineris turi žinoti, ar tą pajamų lygį galima pasiekti per įprastą žaidimo trukmę – prieš žaidimo testavimą, o ne po šešių seansų, stebint, kodėl niekas niekada nelaimi.

Matematika ir žaidimų testavimas yra vienas kitą papildantys įrankiai, o ne alternatyvos. Matematika pasako, ką numato teorija. Žaidimo testavimas parodo, ar žmogaus elgesys atitinka teoriją. Dažniausiai jie skiriasi – ne todėl, kad neteisinga matematika, o todėl, kad žaidėjai ne visada pasirenka teoriškai optimalų veiksmą. Atotrūkis tarp teorinio optimalaus žaidimo ir tikrojo žmogaus žaidimo yra pats dizaino kintamasis: žaidimas, kuriame tik optimalus žaidimas priima įdomius sprendimus, yra prastesnis žaidimas nei tas, kuriame neoptimalus žaidimas taip pat sukuria įdomių situacijų.

Kiekvienas mechanikas turi tikėtiną vertę, o dizaineriai turi tai žinoti. Kai Neutronium: Parallel Wars žaidėjas gauna pajamų iš branduolinių uostų, jis gauna tiksliai apskaičiuotą numatomą kiekvieno prievado vertę per raundą. Kai jie pasirenka pulti, o ne kurti, jie priima sprendimą, kurio rezultatai yra apskaičiuojami pagal skirtingus scenarijus. Šiuos skaičius žinantis dizaineris gali priimti reikšmingus pusiausvyros sprendimus; nežinantis dizaineris spėlioja.

Svarbiausia asimetrija yra ta, kad atsitiktinumas atrodo nesąžiningas, net jei jis yra subalansuotas. 50/50 monetų vartymas šešis kartus iš eilės sukuria galvutes maždaug 1,6 % laiko – retai, bet neįmanomai. Kai taip nutinka žaidėjui žaidime, jie tai patiria kaip žaidimo nutraukimą, o ne kaip įprastą statistinį įvykį. Supratimas, kodėl taip nutinka – ir kaip dizaineriai gali susisteminti atsitiktinumą, kad jaustųsi mažiau bausmingi, išlaikant tas pačias pagrindines tikimybes – yra praktiškai vertingiausias žaidimo dizaino matematikos pritaikymas.

101 kauliuko tikimybė

Singlas d6 yra labiausiai paplitęs atsitiktinės atrankos įrankis stalo žaidimuose ir vienas iš labiausiai nesuprantamų. Standartinis d6 sukuria vienodą pasiskirstymą: kiekvieno paviršiaus (nuo 1 iki 6) tikimybė atsirasti yra 1/6, o numatoma vertė yra 3,5. Žaidėjai tai intuityviai supranta, bet dažnai nesupranta, ką reiškia pakartotinis permetimas per sesiją.

Vienas d6 ir 2d6 skirtumas yra esminis dalykas norint suprasti, kodėl skirtingi kauliukų mechanizmai skiriasi. Vieno d6 tikimybės pasiskirstymas yra vienodas – kiekvienas rezultatas nuo 1 iki 6 yra vienodai tikėtinas. Susumavus du d6 gaunama varpelio kreivė: 7 yra labiausiai tikėtinas rezultatas (tikimybė 6/36 = 16,7%), o 2 ir 12 tikimybė yra 1/36 = 2,8%. 2d6 pasiskirstymas sutelkia rezultatus arti vidurio, todėl ekstremalūs rezultatai tampa reti. Štai kodėl Catan, kuris naudoja 2d6 išteklių gamybai, jaučiasi mažiau bausmingas atskiriems ritiniams nei vieno kauliuko sistemos – paskirstymas natūraliai riboja kraštutinius rezultatus.

Pasirinktiniai kauliukai su nestandartiniu veidų paskirstymu leidžia dizaineriams tiksliai valdyti tikimybių profilius, kurių negali pateikti standartiniai kauliukai. Kauliukas, kurio veidai yra [0, 0, 0, 1, 1, 2], turi labai skirtingą pobūdį nei d6: jis sukuria nulį 50 % laiko, vienas 33 % laiko ir du 17 % laiko, o numatoma vertė yra 0,67. Neutronium: Parallel Wars naudoja pasirinktinius D6 kauliukus su spalvomis pažymėtais veidais: mėlyni veidai reiškia standartinius kovos rezultatus, raudoni veidai – svarbiausius rezultatus, o žali – specialius sugebėjimų paleidiklius. Veidų tipų pasiskirstymas – ne tik veidų skaičius – lemia kiekvieno rezultato tikimybę. Kabelis su trimis mėlynais, dviem raudonais ir vienu žaliu veidu 50 % atvejų duoda mėlyną, 33 % – raudoną, 17 % – žalią. Dizaineris gali koreguoti šiuos santykius keisdamas veidų skaičių, o ne kurdamas matematiškai sudėtingas skyros sistemas.

Sprogstantys kauliukai – tai kauliukai, kurie metant didžiausią vertę metami dar kartą ir pridedami rezultatai. D6, kuris sprogsta ant 6, numatoma vertė yra (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × numatoma d6 vertė) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Atviras pobūdis sukuria teoriškai neribotus rezultatus – sėkminga sprogimų seka gali duoti labai aukštus rezultatus – tai sukuria „sėkmingo jausmo“ akimirkas, kurias kai kurie žaidimai sąmoningai ugdo. Kompromisas yra didelė dispersija ir kartais žaidimą lemiantis laimingas metimas.

Apriboti kauliukai yra priešinga filosofija: maksimalaus rezultato apribojimas siekiant apriboti dispersiją. Kauliukų rinkimo sistemos, kuriose metate kelis kauliukus ir pasieksite tik geriausių N rezultatų (privalumo sistemos, pvz., D&D 5E pranašumų mechanikas arba Gumshoe kelių kauliukų paėmimas aukščiausias), matematiškai sumažina dispersiją, išlaikant tikimybę. Paėmus didesnę iš dviejų d6 metimų, laukiama vertė pasislenka nuo 3,5 iki 4,47 – pagerėjimas 28 % – ir žymiai sumažinama žemų rezultatų tikimybė.

Numatoma išteklių žaidimų vertė

Išteklių kaupimo žaidimai – eurai, variklių kūrėjai, ekonominės strategijos – yra pagrįsti numatomos vertės skaičiavimais, kuriuos dizaineris turi tiksliai suprasti, net jei taisyklėse jie niekada nėra aiškiai nurodyti. Kai žaidėjas pasirenka vieną iš dviejų veiksmų, jis (sąmoningai ar ne) lygina numatomą tų veiksmų vertę atitinkamu laiko horizontu.

Neutronium: Parallel Wars Branduolinio uosto pajamų sistema yra aiškus numatytos numatomos vertės pavyzdys. Pajamų formulė nustato, kad žaidėjas, turintis N branduolinių uostų, gauna pajamas netiesiškai su N. Specifinė formulė – 1 portas duoda 2 Neutronium vienetus per raundą; 10 prievadų duoda 220 Nn per raundą - neatsitiktinai. Tai yra aiškus dizainerio teiginys, kad prievadų kaupimas turėtų duoti eksponentinę, o ne linijinę grąžą, nes eksponentinė grąža sukuria koalicijos slenkstį, kuris lemia žaidimo konkurencinę dinamiką.

Ši formulė yra apgalvotas žaidimo dizainas, išreikštas matematika. Atotrūkis tarp 7 uostų pajamų (42 Nn/raund) ir 10 uostų pajamų (220 Nn/raundo) yra ekonominis argumentas, kodėl koalicijos formuojasi ties 7 uostų slenksčiu, o ne laukti iki 9 ar 10 uostų. 7 uostuose žaidėjas turi pakankamai pajamų, kad būtų grėsmingas, tačiau koalicijos veiksmai vis tiek gali būti lemiami, kol pajamų pranašumas tampa matematiškai neįveikiamas. Dizaineris, kuris pasiekė šiuos skaičius vien atlikdamas testavimą, gali juos gauti maždaug teisingai; dizaineris, kuris nuo pat pradžių suprato eksponentinę funkciją, galėtų tiksliai nurodyti slenkstį.

Platesnis principas: kai eksponentinis mastelio keitimas yra apgalvotas žaidimo kūrimas, dizaineris turi dokumentuoti mastelio keitimo funkciją ir patikrinti, ar jos sukuriamos slenksčiai yra ten, kur jie nori. Jei koalicijos slenkstis turėtų būti 6, o ne 7, pajamų formulę reikia koreguoti – tam reikia žinoti, kokia formulė, o ne tik stebėti, kad „žaidimas jaučiasi subalansuotas“.

Variantas ir žaidėjų suvokimas

Variantas yra matas, nurodantis, kiek faktinių rezultatų pasiskirsto aplink tikėtiną vertę. Didelė dispersija reiškia, kad individualūs rezultatai gali labai skirtis nuo lūkesčių; maža dispersija reiškia, kad rezultatai yra glaudžiai susiję su vidurkiu. Žaidimų kūrėjams dispersija yra valdymo rankenėlė, kuri turi įtakos tiek matematiniam žaidimo teisingumui, tiek subjektyviam žaidimo patirčiai.

Pagrindinė psichologinė įžvalga: didelė dispersija jaučiasi blogai, net jei ji matematiškai subalansuota. Monetos vartymas yra visiškai teisingas – 50/50, tikėtina vertė yra lygiai tokia pati abiem žaidėjams, bet žaisti žaidimą, kuriame kiekvienas sprendimas išsprendžiamas monetos metimu, atrodo savavališkas ir neapdovanojamas. Žaidėjai turi jausti, kad jų sprendimai yra svarbūs, o tai reiškia, kad jiems reikalingas priežastinis ryšys tarp gerų sprendimų ir gerų rezultatų, kad būtų galima pastebėti žaidimo sesijos metu. Didelė dispersija nutraukia tą ryšį.

7 prieš 2 „Catan Hex“ problema tai aiškiai parodo. Katane skaičius 7 atspausdintas ant daugiausiai šešiakampių, nes jis turi didžiausią tikimybę su 2d6 (16,7%). Skaičius 2 atspausdintas ant mažiausiai šešiakampių (2,8%). Patyrę žaidėjai žino, kad pirmenybę teikia 6s, 8s, 5s ir 9s ištekliams – didelės tikimybės šešioliktainiams. Tačiau bet kurioje konkrečioje sesijoje žaidėjas, kuris teisingai nustato savo pradinius atsiskaitymus ant šių šešiakampių, vis tiek gali būti gerokai mažesnis už žaidėjo, kurio pozicijoje yra mažesnė tikimybė, jei faktiniai kauliukų metimai nukrypsta nuo laukiamų verčių. Tai nėra nesąžininga – tai įprastas statistinis skirtumas. Tačiau tai atrodo nesąžininga, nes ryšį tarp sprendimo (geros vietos) ir rezultato (dažnos išteklių gaunamos pajamos) užtemdo dispersija.

Dizaino sprendimai, skirti suvaldyti suvokiamą nesąžiningumą dėl dispersijos, apima: švelninimo mechaniką (peržaidimai, išteklių bankai, pasivijimo mechanizmai, kurie suaktyvinami nesėkmės metu), sprendimo taškai, kurie išlieka reikšmingi net ir nepasisekus (taigi, prastai metęs žaidėjas vis tiek turi įdomių pasirinkimų) ir variacija: pirmaujantis žaidėjas nori stabilių, nuspėjamų pajamų;

Kingmakerio momentai iš kauliukų – kai atsitiktinis metimas lemia, kuris žaidėjas laimi ar pralaimi paskutiniame raunde – yra žalingiausias žaidėjo pasitenkinimo rezultatas. Sprendimas yra ne kauliukų pašalinimas, o vėlyvojo žaidimo struktūrizavimas taip, kad kauliukų rezultatai paveiktų kelią į pergalę, o ne ją tiesiogiai nulemtų. Kai keli žaidėjai turi perspektyvias laimėtas pozicijas paskutiniame raunde, laimingas metimas patenkina laimėtoją, bet nesijaučia neteisėtas pralaimėjusiems – nes pralaimėtojai taip pat turėjo kelią laimėti, kurį galėjo sudaryti jų pačių laimingi metimai.