Matemáticas do xogo de mesa: probabilidade, valor esperado e por que os dados se senten inxustos

Cada mecánico de xogos de mesa ten unha identidade matemática. Unha tirada de dados ten un valor esperado e unha variación. Un sorteo de cartas ten unha distribución de probabilidade. Un comercio de recursos ten un tipo de cambio que se pode expresar como unha razón. Os deseñadores que entenden estas matemáticas toman mellores decisións que os deseñadores que traballan por sentir, non porque as matemáticas substitúan á intuición, senón porque a intuición adoita estar en desacordo coa realidade de maneira que só as probas son lentas de corrixir.

Este artigo abarca os conceptos matemáticos que máis importan para o deseño e o xogo de xogos de mesa: distribucións de probabilidade, valor esperado, varianza e a diferenza psicolóxica entre o que din as matemáticas e o que experimentan os xogadores. Se estás deseñando un xogo ou só intentas entender por que as túas sesións de dados se senten tan desafortunadas, o marco aquí cambiará a túa forma de pensar sobre a aleatoriedade nos xogos.

Por que importan as matemáticas no deseño de xogos

Un deseñador de xogos que non calculou o valor esperado da economía de acción principal do seu xogo non sabe se o seu xogo funciona. Isto parece duro, pero é funcionalmente certo. Se o ingreso esperado da mellor acción dispoñible é de 4 recursos por rolda e o custo da acción de condición de vitoria é de 30 recursos, o deseñador debe saber se esa taxa de ingresos é alcanzable durante a duración típica do xogo, antes de probar o xogo, non despois de seis sesións preguntándose por que ninguén gaña nunca.

As matemáticas e a proba son ferramentas complementarias, non alternativas. As matemáticas dinche o que predice a teoría. Playtesting diche se o comportamento humano coincide coa teoría. Na maioría das veces, diverxen, non porque as matemáticas estean incorrectas, senón porque os xogadores non sempre elixen a acción teoricamente óptima. A diferenza entre o xogo óptimo teórico e o xogo humano real é en si mesma unha variable de deseño: un xogo no que só o xogo óptimo produce decisións interesantes é un xogo peor que aquel no que un xogo subóptimo tamén crea situacións interesantes.

Cada mecánico ten un valor esperado, e os deseñadores deben coñecelo. Cando un xogador Neutronium: Parallel Wars obtén ingresos de Nuclear Ports, está a recibir un valor esperado calculado con precisión por porto por rolda. Cando optan por atacar en lugar de construír, están tomando unha decisión que ten resultados calculables esperados en diferentes escenarios. O deseñador que coñece estes números pode tomar decisións de equilibrio significativas; o deseñador que non está adiviñando.

A asimetría crítica é que a aleatoriedade parece inxusta mesmo cando está equilibrada. Un lanzamento de moedas 50/50 produce cabezas seis veces seguidas aproximadamente o 1,6% do tempo, raramente, pero non imposible. Cando iso lle ocorre a un xogador nun xogo, víveno como o xogo que se está a romper, non como un evento estatístico normal. Comprender por que ocorre isto, e como os deseñadores poden estruturar a aleatoriedade para sentirse menos castigados mantendo as mesmas probabilidades subxacentes, é a aplicación máis valiosa das matemáticas de deseño de xogos.

Probabilidade de dados 101

O único d6 é a ferramenta de aleatorización máis común nos xogos de mesa e tamén unha das máis mal entendidas. Un estándar d6 produce unha distribución uniforme: cada cara (1 a 6) ten unha probabilidade de 1/6 de ocorrer, e o valor esperado é 3,5. Os xogadores entenden isto de forma intuitiva, pero moitas veces non comprenden o que significan as roldas repetidas nunha sesión.

A distinción única d6 fronte a 2d6 é fundamental para entender por que os distintos mecanismos de dados se senten diferentes. Un só d6 ten unha distribución de probabilidade plana: todos os resultados do 1 ao 6 son igualmente probables. Dous d6 sumados producen unha curva de campá: 7 é o resultado máis probable (probabilidade 6/36 = 16,7%), mentres que 2 e 12 teñen cada unha probabilidade 1/36 = 2,8%. A distribución 2d6 concentra os resultados preto do medio e fai que os resultados extremos sexan raros. É por iso que Catan, que usa 2d6 para a produción de recursos, sente menos castigo en tiradas individuais que en sistemas de dado único: a distribución limita naturalmente os resultados extremos.

Dados personalizados con distribucións de caras non estándar dan aos deseñadores un control preciso sobre os perfís de probabilidade que os dados estándar non poden proporcionar. Un dado coas caras [0, 0, 0, 1, 1, 2] ten un carácter moi diferente que un d6: produce cero o 50% das veces, un 33% das veces e dous o 17% das veces, cun valor esperado de 0,67. Neutronium: Parallel Wars usa dados D6 personalizados con caras codificadas por cores: as caras azuis representan resultados de combate estándar, as vermellas representan resultados críticos e as verdes representan activadores de habilidades especiais. A distribución dos tipos de caras, non só o número de caras, determina a probabilidade de cada resultado. Un dado con tres caras azuis, dúas caras vermellas e unha cara verde produce resultados azuis o 50% das veces, vermello o 33% e verde o 17%. O deseñador pode axustar estas proporcións cambiando o reconto de caras en lugar de crear sistemas de resolución matemáticamente complexos.

Dados explosivos son dados que, ao lanzar o valor máximo, lánzanse de novo e engádense os resultados. Un d6 que explota o 6 ten un valor esperado de (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × valor esperado dun d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. A natureza aberta crea resultados teoricamente ilimitados (unha secuencia afortunada de explosións pode producir totais moi altas), o que produce os momentos de "sentir sorte" que algúns xogos cultivan deliberadamente. A compensación é a alta variación e algunha que outra tirada de sorte que define o xogo.

Dados acotados son a filosofía oposta: limitar o resultado máximo para limitar a varianza. Os sistemas de agrupación de dados nos que tiras varios dados e tomas só os mellores resultados N (sistemas de vantaxes como o mecánico de vantaxes de D&D 5E ou o máximo de toma de dados de Gumshoe) reducen matemáticamente a varianza mantendo o sentimento probabilístico. Ao tomar o maior de dúas tiradas de d6 cambia o valor esperado de 3,5 a 4,47, unha mellora do 28 %, á vez que se reduce significativamente a probabilidade de resultados baixos.

Valor esperado nos xogos de recursos

Os xogos de acumulación de recursos (euros, creadores de motores, estratexias económicas) baséanse en cálculos de valor esperado que o deseñador debe comprender con precisión aínda que nunca aparezan explícitamente no libro de normas. Cando un xogador elixe entre dúas accións, está a comparar (conscientemente ou non) o valor esperado desas accións no horizonte temporal relevante.

Neutronium: Parallel Wars é un exemplo explícito do valor esperado deseñado. A fórmula de ingresos establece que un xogador con N Portos Nucleares recibe ingresos a un ritmo que se escala de forma non lineal con N. A fórmula específica — 1 porto produce 2 unidades Neutronium por rolda; 10 portos producen 220 Nn por rolda, non é accidental. É a declaración explícita do deseñador de que a acumulación de portos debería producir retornos exponenciais en lugar de lineais, porque os retornos exponenciais crean o limiar de coalición que impulsa a dinámica competitiva do xogo.

Esta fórmula é un deseño de xogos intencionado expresado como matemáticas. A diferenza entre os ingresos de 7 portos (42 Nn/ronda) e os ingresos de 10 portos (220 Nn/ronda) é o argumento económico de por que as coalicións se forman no limiar de 7 portos en lugar de esperar ata 9 ou 10 portos. En 7 portos, o xogador ten ingresos suficientes para ser ameazador, pero a acción da coalición aínda pode ser decisiva antes de que a vantaxe de ingresos se faga matematicamente insuperable. Un deseñador que chegou a estes números só a través da proba de xogo podería acertar aproximadamente; un deseñador que entendeu a función exponencial desde o principio podería especificar o limiar con precisión.

O principio máis amplo: cando a escala exponencial é un deseño de xogos intencionado, o deseñador debe documentar a función de escala e verificar que os limiares que crea están onde quere. Se o limiar da coalición debe estar en 6 portos en lugar de 7, a fórmula de ingresos debe ser axustada, o que require saber cal é a fórmula, non só observar que "o xogo se sente equilibrado".

Variancia e percepción do xogador

A varianza é a medida de canto se espallan os resultados reais arredor do valor esperado. A alta varianza significa que os resultados individuais poden diferir drasticamente da expectativa; a baixa varianza significa que os resultados se agrupan estreitamente arredor da media. Para os deseñadores de xogos, a varianza é un botón de control que afecta tanto á equidade matemática do xogo como á experiencia subxectiva de xogalo.

A idea psicolóxica clave: a a varianza alta non se sente mal mesmo cando está matemáticamente equilibrada. Un lanzamento de moedas é perfectamente xusto: 50/50, o valor esperado exactamente igual para ambos os xogadores, pero xogar a un xogo no que todas as decisións se resolvan mediante o lanzamento de moedas parece arbitrario e pouco gratificante. Os xogadores deben sentir que as súas decisións importan, o que significa que necesitan que a conexión causal entre as boas decisións e os bos resultados sexa perceptible dentro da sesión de xogo. A alta variación corta esa conexión.

O problema do hexágono de 7 contra 2 Catan ilustra isto claramente. En Catan, o número 7 está impreso na maioría dos hexágonos porque ten a maior probabilidade con 2d6 (16,7%). O número 2 está impreso no menor número de hexágonos (2,8%). Os xogadores experimentados saben que deben priorizar os recursos en 6s, 8s, 5s e 9s: hexágonos de alta probabilidade. Pero en calquera sesión, un xogador que coloca correctamente os seus asentamentos iniciais nestes hexágonos aínda pode ter un rendemento inferior significativo por parte dun xogador con colocacións de probabilidade máis baixa se as tiradas de dados reais se desvían dos valores esperados. Isto non é inxusto, é unha variación estatística normal. Pero parece inxusto porque a relación entre a decisión (boa colocación) e o resultado (ingresos por recursos frecuentes) está escurecida pola varianza.

As solucións de deseño para xestionar a inxustiza percibida pola varianza inclúen: mecánicas de mitigación (repeticións, bancos de recursos, mecanismos de recuperación que se activan nas carreiras de mala sorte), puntos de decisión que seguen sendo significativos mesmo despois de mala sorte (polo que un xogador que tira mal, aínda ten opcións interesantes) (Ponerse ao día mediante a varianza: o xogador líder quere ingresos estables e previsibles; os xogadores posteriores benefícianse de enfoques de alta varianza que poden pechar a brecha rapidamente, aínda que o valor esperado sexa o mesmo).

Os momentos de Kingmaker dos dados, onde unha tirada aleatoria determina que xogador gaña ou perde na rolda final, son os resultados de variación máis prexudiciais para a satisfacción do xogador. A solución non é eliminar os dados senón estruturar o final do xogo para que os resultados dos dados afecten o camiño cara á vitoria en lugar de determinalo directamente. Cando varios xogadores teñen posicións de vitoria viables para a rolda final, unha tirada da sorte é satisfactoria para o gañador, pero non se sente ilexítimo para os perdedores, porque os perdedores tamén tiñan un camiño para gañar que podería ser habilitado polas súas propias tiradas de sorte.

Equilibrar as probas coas matemáticas

O marco MEQA (medidabilidade, compromiso, calidade e accesibilidade) ofrece un enfoque estruturado para as probas de equilibrio do xogo. O Pilar da medición —a M en MEQA— é onde as matemáticas entran formalmente no proceso de deseño: antes de comezar a proba de xogo, o deseñador define o que significa "equilibrado" en termos medibles.

Para un xogo con faccións asimétricas como Neutronium: Parallel Wars, o equilibrio medible significa: cada facción debe acadar unha taxa de vitoria dentro dunha franxa de tolerancia definida nunha mostra suficiente de xogos con niveis de habilidade comparables. Se o obxectivo é unha taxa de vitoria do 50 % (saldo puro) cun intervalo aceptable de ± 10 %, entón unha facción que gaña o 42 % dos xogos está dentro da tolerancia e unha facción que gañe o 63 % non. Pero para acadar este estándar é necesario coñecer o obxectivo antes da proba; non declarar post-hoc que as taxas de vitorias observadas están "o suficientemente próximas".

Definir as métricas antes da proba de xogo cambia o que observas. Se sabes que estás a medir a taxa de vitorias por facción, fai un seguimento das asignacións e resultados das faccións nas sesións. Se sabes que estás a medir a duración media do xogo, rexistras marcas de tempo. Estas decisións deben tomarse antes da primeira sesión de proba de xogo, porque as métricas retrospectivas non son fiables: a memoria é selectiva e os humanos recordan naturalmente as sesións que apoian as crenzas existentes.

Os requisitos de tamaño da mostra para as conclusións de balance adoitan ser maiores do que os deseñadores esperan. Para un xogo de 2 xogadores con 2 faccións, 30 xogos proporcionan datos de referencia para detectar desequilibrios superiores ao 15 % cun 80 % de confianza. Para xogos de 4 xogadores con 6 faccións, o espazo de combinación é moito maior: 30 xogos ofrécenche aproximadamente 5 xogos por par de faccións, apenas suficientes para detectar un desequilibrio extremo e insuficientes para detectar vantaxes sutís. As editoriais independentes raramente teñen os recursos para unha validación estatística rigorosa; o enfoque práctico consiste en utilizar as matemáticas para verificar os valores esperados, probas de xogo para detectar valores atípicos e comentarios da comunidade despois do lanzamento para identificar os problemas que sobreviven.

Para coñecer o marco completo, incluída a forma en que Measurability se integra cos outros piares MEQA, consulta a MEQA guía do marco do equilibrio do xogo, que abarca o enfoque completo para definir, medir e conseguir o equilibrio entre os sistemas do xogo.

A fórmula de escala de ingresos en Neutronium conéctase directamente ao detalle da mecánica en /mechanics/nuclear-port-scaling, onde se documenta a función exponencial xunto co razoamento do deseño para cada valor limiar.

Ferramentas de probabilidade para deseñadores

Varias ferramentas fan que as matemáticas de deseño de xogos sexan accesibles sen necesidade de formación estatística avanzada. Estes son os que funcionan na práctica.

AnyDice (anydice.com) é a calculadora estándar de probabilidades de dados para deseñadores de xogos. Acepta a notación de dados en linguaxe natural (2d6, d4+d8, 3d6 mantén o 2 máis alto) e devolve distribucións de probabilidade, valores esperados e probabilidades acumuladas. Para calquera mecánico que implique dados, AnyDice debería ser a primeira ferramenta consultada. Os seus gráficos de saída fan que as distribucións sexan inmediatamente lexibles e comparables: pega dúas expresións de dados diferentes unha á beira para ver inmediatamente en que difiren as súas distribucións.

simulacións de follas de cálculo (Google Sheets, Excel) manexan cálculos que AnyDice non pode: acumulación de recursos en varias roldas, ingresos con varias fontes, duración prevista do xogo baixo diferentes supostos estratéxicos. Un modelo básico de folla de cálculo da economía dun xogo, con columnas para cada quenda, filas para cada tipo de recurso e fórmulas que representan os ingresos e os gastos básicos do xogo, leva entre 2 e 3 horas en construírse e revela problemas de saldo que necesitarían máis de 20 probas de xogo para descubrir empíricamente.

simulación de Monte Carlo é a ferramenta de maior precisión: executa a mecánica dun xogo miles de veces computacionalmente para producir distribucións estatísticas en todos os resultados posibles. Para os deseñadores con experiencia en programación, Python con NumPy é suficiente para a maioría das necesidades de simulación de xogos. Para os deseñadores sen formación en programación, hai ferramentas visuais de Monte Carlo e incluso simulacións baseadas en follas de cálculo que producen resultados significativos cun coñecemento técnico limitado. Monte Carlo é máis valioso para xogos con interdependencias complexas onde o cálculo analítico é difícil: cando interactúan varios eventos aleatorios, a simulación produce estimacións de distribución máis fiables que o cálculo manual.

Cando confiar nas matemáticas e cando probar a reprodución: utiliza as matemáticas para verificar o equilibrio teórico e detectar erros de deseño obvios antes de investir en probas de xogo. Usa probas de xogo para descubrir como a psicoloxía humana interactúa coas matemáticas: os lugares nos que a estratexia óptima difire da que fan os xogadores en realidade e os lugares nos que as matemáticas predicen o equilibrio pero a experiencia parece inxusta. Ambos son necesarios. Ningún dos dous é suficiente por si só.

Preguntas máis frecuentes