Matematika u društvenim igrama: Vjerojatnost, očekivana vrijednost i zašto se kockica čini nepravednom

Svaki mehaničar društvenih igara ima matematički identitet. Bacanje kocke ima očekivanu vrijednost i varijancu. Izvlačenje karte ima distribuciju vjerojatnosti. Trgovina resursima ima tečaj koji se može izraziti kao omjer. Dizajneri koji razumiju ovu matematiku donose bolje odluke od dizajnera koji rade prema osjećaju - ne zato što matematika zamjenjuje intuiciju, već zato što se intuicija često ne slaže sa stvarnošću na načine na koje se samo testiranje sporo ispravlja.

Ovaj članak pokriva matematičke koncepte koji su najvažniji za dizajn i igranje društvenih igara: distribucije vjerojatnosti, očekivana vrijednost, varijanca i psihološki jaz između onoga što matematika kaže i onoga što igrači doživljavaju. Bilo da dizajnirate igru ili samo pokušavate razumjeti zašto se vaše sesije s kockicama čine tako katastrofalno nesretnima, okvir koji je ovdje će promijeniti vaše mišljenje o nasumičnosti u igrama.

Zašto je matematika važna u dizajnu igre

Dizajner igre koji nije izračunao očekivanu vrijednost ekonomije temeljne akcije svoje igre ne zna radi li njegova igra. Ovo zvuči grubo, ali je funkcionalno istinito. Ako je očekivani prihod od najbolje dostupne radnje 4 resursa po rundi, a trošak akcije uvjeta pobjede 30 resursa, dizajner mora znati je li ta stopa prihoda ostvariva tijekom tipičnog trajanja igre — prije testiranja, a ne nakon šest sesija pitajući se zašto nitko nikad ne pobjeđuje.

Matematika i testiranje igre komplementarni su alati, a ne alternativa. Matematika vam govori što teorija predviđa. Testiranje igre govori vam odgovara li ljudsko ponašanje teoriji. Većinu vremena se razilaze — ne zato što je matematika pogrešna, već zato što igrači ne biraju uvijek teoretski optimalnu akciju. Jaz između teorijske optimalne igre i stvarne ljudske igre sama je varijabla dizajna: igra u kojoj samo optimalna igra proizvodi zanimljive odluke lošija je od one u kojoj neoptimalna igra također stvara zanimljive situacije.

Svaka mehanika ima očekivanu vrijednost i dizajneri to moraju znati. Kada Neutronium: Parallel Wars igrač dobije prihod od Nuklearnih portova, on prima precizno izračunatu očekivanu vrijednost po portu po rundi. Kada odluče napadati umjesto graditi, donose odluku koja ima očekivane ishode koji se mogu izračunati prema različitim scenarijima. Dizajner koji poznaje te brojke može donijeti smislene odluke o ravnoteži; dizajner koji ne zna nagađa.

Kritična asimetrija je u tome što se slučajnost čini nepravednom čak i kada je uravnotežena. Bacanje novčića 50/50 daje glave šest puta zaredom u otprilike 1,6% slučajeva — rijetko, ali ne i nemoguće. Kada se to dogodi igraču u igri, on to doživljava kao kvar igre, a ne kao normalan statistički događaj. Razumijevanje zašto se to događa - i kako dizajneri mogu strukturirati slučajnost da se osjećaju manje kažnjavajuće, a da zadrže iste temeljne vjerojatnosti - najvrijednija je praktična primjena matematike dizajna igara.

Vjerojatnost kocke 101

Single d6 je najčešći alat za nasumično odabiranje u društvenim igrama i jedan od najčešće pogrešno shvaćenih. Standardni d6 daje jednoliku distribuciju: svako lice (1 do 6) ima 1/6 vjerojatnosti pojavljivanja, a očekivana vrijednost je 3,5. Igrači to intuitivno razumiju, ali često ne razumiju što to znači za ponovljena bacanja tijekom sesije.

Razlika jedan d6 u odnosu na 2d6 temelj je za razumijevanje zašto se različite mehanike kockica osjećaju drugačije. Jedan d6 ima ravnu distribuciju vjerojatnosti — svaki ishod od 1 do 6 jednako je vjerojatan. Dva zbrojena d6 daju zvonastu krivulju: 7 je najvjerojatniji rezultat (vjerojatnost 6/36 = 16,7%), dok 2 i 12 svaki imaju vjerojatnost 1/36 = 2,8%. Distribucija 2d6 koncentrira rezultate blizu sredine i čini ekstremne rezultate rijetkima. Zbog toga se Catan, koji koristi 2d6 za proizvodnju resursa, osjeća manje kažnjavajućim na pojedinačnim bacanjima od sustava s jednom kockicom — distribucija prirodno ograničava ekstremne rezultate.

Prilagođene kockice s nestandardnom distribucijom lica daju dizajnerima preciznu kontrolu nad profilima vjerojatnosti koje standardne kockice ne mogu pružiti. Kocka s licima [0, 0, 0, 1, 1, 2] ima sasvim drugačiji karakter od d6: proizvodi nulu u 50% vremena, jednu u 33% vremena i dvije u 17% vremena, s očekivanom vrijednošću od 0,67. Neutronium: Parallel Wars koristi prilagođene D6 kockice s licima označenim bojama: plava lica predstavljaju standardne ishode borbe, crvena lica predstavljaju kritične rezultate, a zelena lica predstavljaju okidače posebnih sposobnosti. Distribucija tipova lica - ne samo broj lica - određuje vjerojatnost svakog ishoda. Kocka s tri plava lica, dva crvena lica i jednim zelenim licem daje plave rezultate u 50% slučajeva, crvene 33% i zelene 17%. Dizajner može prilagoditi ove omjere promjenom broja lica umjesto da stvara matematički složene sustave rezolucije.

Eksplodirajuće kocke su kockice koje se, kada se baci maksimalna vrijednost, ponovno bacaju i rezultati zbrajaju. D6 koji eksplodira na 6 ima očekivanu vrijednost (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × očekivana vrijednost d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Otvorena priroda stvara teoretski neograničene rezultate — sretan slijed eksplozija može proizvesti vrlo visoke ukupne rezultate — što proizvodi trenutke "osjećaja sreće" koje neke igre namjerno njeguju. Kompromis je visoka varijanca i povremeno bacanje sreće koje definira igru.

Ograničene kockice suprotna su filozofija: ograničavanje maksimalnog ishoda kako bi se ograničila varijanca. Sustavi skupa kockica gdje bacate više kockica i uzimate samo najboljih N rezultata (sustavi prednosti kao što je D&D 5E mehanika prednosti ili Gumshoeova višestruka kockica uzimaju najviše) matematički smanjuju varijancu uz zadržavanje probabilističkog osjećaja. Uzimanje višeg od dva bacanja d6 pomiče očekivanu vrijednost s 3,5 na 4,47 — poboljšanje od 28 % — dok se značajno smanjuje vjerojatnost loših ishoda.

Očekivana vrijednost u igrama resursa

Igre akumulacije resursa - euri, konstruktori motora, ekonomske strategije - izgrađene su na izračunima očekivane vrijednosti koje dizajner mora precizno razumjeti čak i ako se nikada eksplicitno ne pojavljuju u pravilniku. Kada igrač bira između dvije akcije, on (svjesno ili ne) uspoređuje očekivanu vrijednost tih radnji u relevantnom vremenskom horizontu.

Sustav prihoda tvrtke Nuclear Port Neutronium: Parallel Wars eksplicitan je primjer dizajnirane očekivane vrijednosti. Formula prihoda utvrđuje da igrač s N nuklearnih priključaka prima prihod po stopi koja se nelinearno mjeri s N. Specifična formula — 1 priključak daje 2 Neutronium jedinice po rundi; 10 priključaka daje 220 Nn po krugu - nije slučajno. Izričita je izjava dizajnera da bi akumulacija priključaka trebala proizvesti eksponencijalne, a ne linearne povrate, jer eksponencijalni povrati stvaraju koalicijski prag koji pokreće natjecateljsku dinamiku igre.

Ova formula je namjerni dizajn igre izražen kao matematika. Jaz između prihoda od 7 portova (42 Nn/runda) i prihoda od 10 portova (220 Nn/runda) ekonomski je argument zašto se koalicije formiraju na pragu od 7 portova umjesto da se čeka do 9 ili 10 portova. Na 7 portova, igrač ima dovoljno prihoda da prijeti — ali koalicijska akcija još uvijek može biti odlučujuća prije nego što prednost u prihodu postane matematički nepremostiva. Dizajner koji je došao do ovih brojki samo kroz playtesting mogao bi ih približno shvatiti; dizajner koji je od početka razumio eksponencijalnu funkciju mogao je precizno odrediti prag.

Šire načelo: kada je eksponencijalno skaliranje namjeran dizajn igre, dizajner mora dokumentirati funkciju skaliranja i potvrditi da su pragovi koje ona stvara tamo gdje ih žele. Ako koalicijski prag treba biti na 6 luka, a ne na 7, formulu prihoda treba prilagoditi — što zahtijeva poznavanje formule, a ne samo promatranje da se "igra čini uravnoteženom".

Varijanca i percepcija igrača

Varijanca je mjera koliko se stvarni ishodi šire oko očekivane vrijednosti. Visoka varijanca znači da se pojedinačni rezultati mogu dramatično razlikovati od očekivanja; niska varijanca znači da su rezultati čvrsto grupirani oko prosjeka. Za dizajnere igara varijanca je kontrolna tipka koja utječe i na matematičku pravednost igre i na subjektivni doživljaj igranja.

Ključni psihološki uvid: velika varijanca je loša čak i kada je matematički uravnotežena. Bacanje novčića je savršeno pošteno — 50/50, očekivana vrijednost potpuno jednaka za oba igrača — ali igranje igre u kojoj se svaka odluka rješava bacanjem novčića čini se proizvoljnim i nezahvalnim. Igrači trebaju osjećati da su njihove odluke važne, što znači da im je potrebna uzročna veza između dobrih odluka i dobrih ishoda kako bi bila vidljiva unutar sesije igre. Visoka varijanca prekida tu vezu.

Problem 7 nasuprot 2 Catan hexa to jasno ilustrira. U Catanu je broj 7 ispisan na većini heksa jer ima najveću vjerojatnost s 2d6 (16,7%). Broj 2 otisnut je na najmanje heksa (2,8%). Iskusni igrači znaju dati prioritet resursima na 6s, 8s, 5s i 9s — hekseksi visoke vjerojatnosti. Ali u bilo kojoj danoj sesiji, igrač koji ispravno postavi svoja početna poravnanja na te heksove može i dalje biti znatno lošiji od igrača s nižim položajima ako stvarna bacanja kockica odstupaju od očekivanih vrijednosti. Ovo nije nepravedno - to je normalna statistička varijacija. No čini se nepravednim jer je odnos između odluke (dobar položaj) i ishoda (čest prihod od resursa) zamagljen varijacijom.

Rješenja dizajna za upravljanje uočenom nepravednošću zbog varijance uključuju: mehaniku ublažavanja (ponovno bacanje, banke resursa, mehanizmi za nadoknadu koji se aktiviraju pri nesreći), bodove odluke koji ostaju značajni čak i nakon loše sreće (tako da igrač koji loše baca i dalje ima zanimljive izbore) i varijancu koja favorizira igrače koji zaostaju (sustizanje putem varijance: vodeći igrač želi stabilan, predvidljiv prihod; igrači koji zaostaju imaju koristi od pristupa s visokom varijancom koji mogu brzo smanjiti jaz, čak iako je očekivana vrijednost ista).

Kingmaker trenuci iz kocke — gdje nasumično bacanje određuje koji igrač pobjeđuje ili gubi u finalnoj rundi — najštetniji su ishodi odstupanja za zadovoljstvo igrača. Rješenje nije eliminacija kockica, već strukturiranje kasne igre tako da ishodi kockica utječu na put do pobjede, a ne da ga izravno određuju. Kada više igrača ima održive pobjedničke pozicije u finalnom krugu, sretan bacanje je zadovoljavajuće za pobjednika, ali se ne čini nelegitimnim za gubitnike — jer su gubitnici također imali put do pobjede koji je mogao biti omogućen njihovim sretnim bacanjima.

Testiranje ravnoteže s matematikom

Okvir MEQA (mjerljivost, angažman, kvaliteta, pristupačnost) pruža strukturiran pristup testiranju ravnoteže igre. Stup mjerljivosti — M u MEQA — mjesto je gdje matematika formalno ulazi u proces dizajna: prije početka testiranja, dizajner definira što znači "uravnoteženo" u mjerljivim terminima.

Za igru s asimetričnim frakcijama kao što je Neutronium: Parallel Wars, mjerljiva ravnoteža znači: svaka frakcija treba postići stopu pobjede unutar definiranog raspona tolerancije na dovoljnom uzorku igara na usporedivim razinama vještina. Ako je cilj stopa pobjede od 50% (čista ravnoteža) s prihvatljivim rasponom od ±10%, tada je frakcija koja osvaja 42% igara unutar tolerancije, a frakcija koja osvaja 63% nije. Ali postizanje ovog standarda zahtijeva poznavanje cilja prije testiranja — a ne proglašavanje post-hoc da su opažene stope dobitka "dovoljno blizu".

Definiranje metrike prije testiranja reprodukcije mijenja ono što promatrate. Ako znate da mjerite stopu pobjede po frakciji, pratite dodjele frakcija i rezultate kroz sesije. Ako znate da mjerite prosječno trajanje igre, bilježite vremenske oznake. Ove se odluke moraju donijeti prije prve sesije testiranja, jer su retrospektivne metrike nepouzdane — pamćenje je selektivno i ljudi prirodno pamte sesije koje podržavaju postojeća uvjerenja.

Zahtjevi za veličinu uzorka za zaključke ravnoteže često su veći nego što dizajneri očekuju. Za igru ​​za 2 igrača s 2 frakcije, 30 igara pruža osnovne podatke za otkrivanje neravnoteža većih od 15% uz 80% pouzdanosti. Za igre za 4 igrača sa 6 frakcija, prostor za kombinacije je puno veći: 30 igara daje vam otprilike 5 igara po frakcijskom paru — jedva dovoljno za otkrivanje ekstremne neravnoteže, a nedovoljno za otkrivanje suptilnih prednosti. Nezavisni izdavači rijetko imaju resurse za rigoroznu statističku provjeru; praktičan pristup je korištenje matematike za provjeru očekivanih vrijednosti, testiranje igre za hvatanje odstupanja i povratne informacije zajednice nakon objavljivanja za prepoznavanje preostalih problema.

Za cjeloviti okvir — uključujući kako se mjerljivost integrira s ostalim stupovima MEQA — pogledajte MEQA okvirni vodič za ravnotežu igre, koji pokriva cjeloviti pristup definiranju, mjerenju i postizanju ravnoteže među sustavima igara.

Formula za skaliranje prihoda u Neutronium izravno se povezuje s detaljima mehanike na /mechanics/nuclear-port-scaling, gdje je eksponencijalna funkcija dokumentirana uz obrazloženje dizajna za svaku vrijednost praga.

Alati vjerojatnosti za dizajnere

Nekoliko alata čini matematiku dizajna igre pristupačnom bez potrebe za naprednom statističkom obukom. To su oni koji rade u praksi.

AnyDice (anydice.com) standardni je kalkulator vjerojatnosti kocke za dizajnere igara. Prihvaća notaciju kockica prirodnog jezika (2d6, d4+d8, 3d6 zadržava najviše 2) i vraća distribucije vjerojatnosti, očekivane vrijednosti i kumulativne vjerojatnosti. Za bilo kojeg mehaničara koji uključuje kockice, AnyDice bi trebao biti prvi alat kojeg bi trebali konzultirati. Njegovi izlazni grafikoni čine distribucije odmah čitljivima i usporedivima — zalijepite dva različita kockička izraza jedan do drugoga kako biste odmah vidjeli kako se njihove distribucije razlikuju.

Simulacije proračunskih tablica (Google tablice, Excel) obrađuju izračune koje AnyDice ne može: akumulacija resursa tijekom više rundi, prihod s više izvora, očekivana duljina igre pod različitim strateškim pretpostavkama. Osnovni model proračunske tablice ekonomije igre — sa stupcima za svaki potez, redcima za svaku vrstu resursa i formulama koje predstavljaju osnovne mehanike prihoda i potrošnje igre — potrebno je 2–3 sata da se izgradi i otkriva probleme ravnoteže za čije bi empirijski otkrivanje bilo potrebno 20+ testova igranja.

Monte Carlo simulacija je alat najveće preciznosti: pokretanje mehanike igre tisućama puta računalno radi dobivanja statističke distribucije u svim mogućim ishodima. Za dizajnere s programerskim iskustvom, Python s NumPy dovoljan je za većinu potreba simulacije igara. Za dizajnere bez predznanja programiranja, postoje vizualni Monte Carlo alati, pa čak i simulacije temeljene na proračunskim tablicama koje daju smislene rezultate uz ograničeno tehničko znanje. Monte Carlo je najvrjedniji za igre sa složenim međuovisnostima gdje je analitički izračun težak — kada višestruki slučajni događaji međusobno djeluju, simulacija proizvodi pouzdanije procjene distribucije nego ručni izračun.

Kada vjerovati matematici, a kada testirati igru: upotrijebite matematiku za provjeru teorijske ravnoteže i uhvatite očite pogreške u dizajnu prije ulaganja u testiranje igre. Upotrijebite testiranje igre kako biste otkrili kako ljudska psihologija stupa u interakciju s matematikom — mjesta gdje se optimalna strategija razlikuje od onoga što igrači zapravo rade i mjesta gdje matematika predviđa ravnotežu, ali se iskustvo čini nepravednim. Oba su neophodna. Nijedno nije dovoljno samo.

Često postavljana pitanja