Математика настільної гри: ймовірність, очікуване значення та чому кубики здаються несправедливими

Кожна механіка настільної гри має математичну ідентичність. Кидок кубика має очікуване значення та дисперсію. Розіграш карти має розподіл ймовірностей. Торгівля ресурсами має обмінний курс, який можна виразити як співвідношення. Дизайнери, які розуміють цю математику, приймають кращі рішення, ніж дизайнери, які працюють на відчуття — не тому, що математика замінює інтуїцію, а тому, що інтуїція часто розходиться з реальністю таким чином, що лише тестування повільно виправити.

Ця стаття охоплює математичні концепції, які є найбільш важливими для розробки та гри в настільні ігри: розподіли ймовірностей, очікуване значення, дисперсія та психологічний розрив між тим, що говорить математика, і тим, що відчувають гравці. Незалежно від того, чи ви розробляєте гру, чи просто намагаєтеся зрозуміти, чому ваші сеанси гри в кості здаються такими катастрофічно невдалими, ця структура змінить ваше уявлення про випадковість в іграх.

Чому математика важлива в дизайні гри

Розробник гри, який не розрахував очікувану вартість основної економіки дій своєї гри, не знає, чи працює його гра. Це звучить жорстко, але це функціонально вірно. Якщо очікуваний дохід від найкращої доступної дії становить 4 ресурси за раунд, а вартість дії умови перемоги становить 30 ресурсів, розробнику потрібно знати, чи досяжний цей рівень доходу протягом типової тривалості гри — перед тестуванням, а не після шести сеансів, які цікавляться, чому ніхто ніколи не виграє.

Математика та ігрове тестування є додатковими інструментами, а не альтернативою. Математика говорить вам те, що передбачає теорія. Ігрове тестування показує, чи відповідає поведінка людини теорії. У більшості випадків вони розходяться — не тому, що математика неправильна, а тому, що гравці не завжди обирають теоретично оптимальну дію. Розрив між теоретичною оптимальною грою та реальною грою людини сам по собі є змінною дизайну: гра, у якій лише оптимальна гра дає цікаві рішення, є гіршою, ніж та, де неоптимальна гра також створює цікаві ситуації.

Кожна механіка має очікувану вартість, і дизайнери повинні це знати. Коли гравець Neutronium: Parallel Wars отримує дохід від ядерних портів, він отримує точно розраховану очікувану вартість порту за раунд. Коли вони вирішують атакувати, а не будувати, вони приймають рішення, яке має обчислювані очікувані результати за різних сценаріїв. Дизайнер, який знає ці цифри, може приймати важливі рішення щодо балансу; дизайнер, який цього не знає, здогадується.

Критичною асиметрією є те, що випадковість здається несправедливою, навіть якщо вона збалансована. Підкидання монети 50/50 призводить до отримання голів шість разів поспіль приблизно в 1,6% випадків — рідко, але не виключено. Коли це трапляється з гравцем у грі, він сприймає це як поломку гри, а не як звичайну статистичну подію. Розуміння того, чому це відбувається — і як дизайнери можуть структурувати випадковість, щоб відчувати себе менш караючими, зберігаючи ті самі базові ймовірності — є найбільш практичним застосуванням математики ігрового дизайну.

Імовірність кубиків 101

Один d6 є найпоширенішим інструментом рандомізації в настільних іграх, а також одним із найбільш неправильно зрозумілих. Стандартний d6 створює рівномірний розподіл: кожна грань (від 1 до 6) має 1/6 ймовірності появи, а очікуване значення становить 3,5. Гравці інтуїтивно це розуміють, але часто не розуміють, що означають повторні кидки протягом сесії.

Розрізнення один d6 проти 2d6 є основою для розуміння того, чому різні механізми гральних кубиків відрізняються. Окремий d6 має плоский розподіл ймовірностей — кожен результат від 1 до 6 однаково ймовірний. Підсумовані два d6 дають дзвоноподібну криву: 7 є найбільш вірогідним результатом (ймовірність 6/36 = 16,7%), тоді як 2 і 12 мають ймовірність 1/36 = 2,8%. Розподіл 2d6 концентрує результати біля середини та робить екстремальні результати рідкісними. Ось чому Catan, який використовує 2d6 для виробництва ресурсів, відчуває себе менш караючим під час окремих кидків, ніж системи з одним кубиком — розподіл, природно, обмежує екстремальні результати.

Спеціальні гральні кубики з нестандартним розподілом граней дають розробникам точний контроль над профілями ймовірностей, які стандартні кубики не можуть забезпечити. Кубик із гранями [0, 0, 0, 1, 1, 2] має зовсім інший характер, ніж d6: він створює нуль у 50% випадків, один у 33% випадків і два у 17% випадків із очікуваним значенням 0,67. Neutronium: Parallel Wars використовує спеціальні кубики D6 із кольоровими гранями: сині грані представляють стандартні результати бою, червоні грані представляють критичні результати, а зелені грані представляють тригери спеціальних здібностей. Розподіл типів облич, а не лише кількість облич, визначає ймовірність кожного результату. Кубик із трьома синіми гранями, двома червоними гранями та однією зеленою гранню дає сині результати в 50% випадків, червоні 33% і зелені 17%. Дизайнер може налаштувати ці співвідношення, змінюючи кількість облич, а не створюючи математично складні системи роздільної здатності.

Розривні кубики – це кубики, які після викидання максимального значення кидаються знову, а результати додаються. D6, який вибухає на 6, має очікуване значення (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × очікуване значення d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Відкрита природа створює теоретично необмежені результати — вдала послідовність вибухів може давати дуже високі суми — що породжує моменти «відчуття удачі», які деякі ігри навмисно культивують. Компромісом є висока дисперсія та час від часу вирішальний випадок удачі.

Обмежені кубики є протилежною філософією: обмеження максимального результату для обмеження дисперсії. Системи пулу кубиків, де ви кидаєте кілька кубиків і берете лише N найкращих результатів (системи переваг, як-от механіка переваги D&D 5E або найвище отримання кількох кубиків Gumshoe), математично зменшують дисперсію, зберігаючи ймовірнісне відчуття. Вибір більшого з двох кидків d6 змінює очікуване значення з 3,5 до 4,47 — покращення на 28 % — водночас значно зменшуючи ймовірність низьких результатів.

Очікувана цінність у Resource Games

Ігри з накопиченням ресурсів — євро, конструктори двигунів, економічні стратегії — побудовані на розрахунках очікуваної вартості, які розробник має чітко розуміти, навіть якщо вони ніколи не з’являються явно в збірці правил. Коли гравець обирає між двома діями, він (свідомо чи ні) порівнює очікувану цінність цих дій за відповідний часовий горизонт.

Система доходу Nuclear Port Neutronium: Parallel Wars є яскравим прикладом розрахованої очікуваної вартості. Формула доходу встановлює, що гравець із N ядерними портами отримує дохід за ставкою, яка нелінійно змінюється з N. Конкретна формула — 1 порт дає 2 Neutronium одиниць за раунд; 10 портів дає 220 Nn за раунд — не випадково. Розробник чітко стверджує, що накопичення портів має давати експоненціальну, а не лінійну віддачу, оскільки експоненціальна віддача створює поріг коаліції, який керує конкурентною динамікою гри.

Ця формула є навмисним ігровим дизайном, вираженим математикою. Розрив між 7-портовим доходом (42 Nn/раунд) і 10-портовим доходом (220 Nn/раунд) є економічним аргументом, чому коаліції формуються на порозі 7-портів, а не чекають до 9 або 10 портів. Маючи 7 портів, гравець має достатній дохід, щоб бути небезпечним, але дії коаліції все ще можуть мати вирішальне значення, перш ніж перевага в доході стане математично нездоланною. Дизайнер, який дійшов до цих чисел лише через ігрове тестування, може отримати їх приблизно правильно; дизайнер, який з самого початку розумів експоненціальну функцію, міг точно вказати порогове значення.

Ширший принцип: якщо експоненціальне масштабування є навмисним дизайном гри, розробник має задокументувати функцію масштабування та переконатися, що порогові значення, які вона створює, відповідають вимогам. Якщо поріг коаліції має становити 6 портів, а не 7, формулу доходу потрібно скоригувати — для цього потрібно знати, що таке формула, а не просто спостерігати, що «гра виглядає збалансованою».

Відхилення та сприйняття гравців

Відхилення – це міра того, наскільки фактичні результати розповсюджуються навколо очікуваного значення. Висока дисперсія означає, що індивідуальні результати можуть різко відрізнятися від очікуваних; низька дисперсія означає, що результати щільно групуються навколо середнього. Для розробників ігор дисперсія — це регулятор, який впливає як на математичну справедливість гри, так і на суб’єктивне враження від гри.

Ключове психологічне розуміння: висока дисперсія погана, навіть якщо вона математично збалансована. Підкидання монети цілком справедливе — 50/50, очікувана вартість абсолютно однакова для обох гравців, — але грати в гру, де кожне рішення вирішується шляхом підкидання монети, здається довільним і невигідним. Гравці повинні відчувати, що їхні рішення мають значення, а це означає, що їм потрібен причинно-наслідковий зв’язок між хорошими рішеннями та хорошими результатами, щоб бути помітним під час ігрової сесії. Висока дисперсія розриває цей зв’язок.

Шестнадцяткова проблема 7 проти 2 Катана це чітко ілюструє. У Catan число 7 друкується на більшості гексів, тому що воно має найвищу ймовірність з 2d6 (16,7%). Цифра 2 надрукована на найменшій кількості гексів (2,8%). Досвідчені гравці знають, як пріоритезувати ресурси на 6s, 8s, 5s і 9s — гексах з високою ймовірністю. Але в будь-якому конкретному сеансі гравець, який правильно розміщує свої початкові поселення на цих гексах, все одно може бути значно нижчим від гравця з меншою ймовірністю розташування, якщо фактичні кидки кубиків відрізняються від очікуваних значень. Це не несправедливо — це нормальна статистична варіація. Але це здається несправедливим, оскільки зв’язок між рішенням (гарне розміщення) і результатом (частий дохід ресурсів) затьмарюється дисперсією.

Рішення дизайну для керування сприйняттям несправедливості через дисперсію включають: механіку пом’якшення (повторні перекиди, банки ресурсів, механізми наздоганяння, які активуються під час невдалих пробігів), пункти прийняття рішень, які залишаються значущими навіть після невдачі (тому гравець, який погано викидає, все одно має цікаві варіанти) та дисперсію, яка надає перевагу відстаючим гравцям (наздоганяння через дисперсію: провідний гравець хоче стабільного, передбачуваного доходу; гравці, що відстають, виграють від підходів із високою дисперсією, які можуть швидко скоротити розрив, навіть якщо очікуване значення однакове).

Моменти Kingmaker із кубиків, коли випадковий кидок визначає, хто з гравців виграє чи програє в фінальному раунді, є найбільш руйнівними результатами для задоволення гравців. Рішення полягає не у виключенні кубиків, а в структуруванні пізньої гри так, щоб результати кубиків впливали на шлях до перемоги, а не визначали його безпосередньо. Коли кілька гравців мають життєздатні виграшні позиції до останнього раунду, щасливий кидок задовольняє переможця, але не здається неправомірним для тих, хто програв, оскільки програші також мали шлях до виграшу, який міг бути активований їхніми власними щасливими кидками.

Тестування балансу за допомогою математики

Фреймворк MEQA (вимірність, залученість, якість, доступність) забезпечує структурований підхід до тестування ігрового балансу. Стовп вимірювання — буква M у MEQA — це місце, де математика формально входить у процес проектування: перед початком тестування дизайнер визначає, що означає «збалансоване» у вимірних термінах.

Для гри з асиметричними фракціями, як-от Neutronium: Parallel Wars, вимірюваний баланс означає: кожна фракція має досягти показника виграшу в межах визначеного діапазону допустимих значень у достатній вибірці ігор із порівнянними рівнями навичок. Якщо ціль — 50% виграшів (чистий баланс) із прийнятним діапазоном ±10%, то фракція, яка виграє 42% ігор, є допустимою, а фракція, яка виграє 63% — ні. Але для досягнення цього стандарту потрібно знати ціль перед тестуванням, а не оголошувати постфактум, що спостережувані показники виграшу є «достатньо близькими».

Визначення показників перед тестуванням гри змінює те, що ви спостерігаєте. Якщо ви знаєте, що вимірюєте коефіцієнт перемог на фракцію, ви відстежуєте призначення фракцій і результати в сеансах. Якщо ви знаєте, що вимірюєте середню тривалість гри, ви записуєте позначки часу. Ці рішення потрібно приймати до першої сесії тестування, оскільки ретроспективні показники ненадійні — пам’ять є вибірковою, і люди природно запам’ятовують сесії, які підтверджують існуючі переконання.

Вимоги до розміру вибірки для балансових висновків часто більші, ніж очікують дизайнери. Для гри на 2 гравців із 2 фракціями 30 ігор надають базові дані для виявлення дисбалансу понад 15% із достовірністю 80%. Для ігор для чотирьох гравців із 6 фракціями простір для комбінацій значно більший: 30 ігор дають вам приблизно 5 ігор на пару фракцій — цього ледь достатньо для виявлення крайнього дисбалансу та недостатньо для виявлення незначних переваг. Незалежні видавці рідко мають ресурси для ретельної статистичної перевірки; практичний підхід полягає у використанні математики для перевірки очікуваних значень, ігрового тестування для виявлення викидів і відгуків спільноти після випуску для виявлення збережених проблем.

Щоб дізнатися про повну структуру, включно з тим, як Measurability інтегрується з іншими основами MEQA, перегляньте MEQA посібник зі структури ігрового балансу, який охоплює повний підхід до визначення, вимірювання та досягнення балансу між ігровими системами.

Формула масштабування доходу в Neutronium безпосередньо пов’язана з механічними деталями в /mechanics/nuclear-port-scaling, де експоненціальну функцію задокументовано разом із обґрунтуванням дизайну для кожного порогового значення.

Інструменти визначення ймовірностей для дизайнерів

Кілька інструментів роблять математику дизайну ігор доступною, не потребуючи поглибленої статистичної підготовки. Це ті, які працюють на практиці.

AnyDice (anydice.com) — стандартний калькулятор ймовірності кубиків для розробників ігор. Він приймає нотацію кубиків природною мовою (2d6, d4+d8, 3d6 зберігає найвище 2) і повертає розподіли ймовірностей, очікувані значення та кумулятивні ймовірності. Для будь-якого механіка, що використовує кубики, AnyDice має бути першим інструментом, до якого звертаються. Його вихідні графіки роблять розподіли миттєво зрозумілими та порівнянними — вставте два різні вирази кубиків поруч, щоб відразу побачити, чим відрізняються їхні розподіли.

Симуляції електронних таблиць (Google Sheets, Excel) обробляють обчислення, яких AnyDice не може: накопичення ресурсів протягом кількох раундів, дохід із кількох джерел, очікувана тривалість гри за різних стратегічних припущень. Базова модель електронної таблиці економіки гри — зі стовпцями для кожного ходу, рядками для кожного типу ресурсу та формулами, що представляють основні механізми доходів і витрат у грі — займає 2–3 години, щоб побудувати та виявляє проблеми з балансом, для емпіричного виявлення яких знадобилося б понад 20 ігрових тестів.

Симуляція за методом Монте-Карло є найточнішим інструментом: тисячі разів виконується обчислювальна робота механіки гри для отримання статистичних розподілів за всіма можливими результатами. Для дизайнерів із досвідом програмування Python із NumPy достатньо для більшості потреб симуляції ігор. Для дизайнерів, які не мають досвіду програмування, є візуальні інструменти Монте-Карло та навіть моделювання на основі електронних таблиць, які дають значні результати з обмеженими технічними знаннями. Монте-Карло є найбільш цінним для ігор зі складними взаємозалежностями, де складно провести аналітичні розрахунки — коли взаємодіють кілька випадкових подій, симуляція дає більш надійні оцінки розподілу, ніж обчислення вручну.

Коли довіряти математиці, а коли тестувати: використовуйте математику, щоб перевірити теоретичний баланс і виявити очевидні помилки дизайну, перш ніж інвестувати в тестування. Використовуйте ігрові тести, щоб дізнатися, як людська психологія взаємодіє з математикою — місця, де оптимальна стратегія відрізняється від того, що насправді роблять гравці, і місця, де математика передбачає баланс, але досвід здається несправедливим. Обидва необхідні. Ні того, ні іншого недостатньо.

Часті запитання