Toán trò chơi board: Xác suất, Giá trị kỳ vọng và Tại sao viên xúc xắc cảm thấy không công bằng

Mỗi cơ chế trò chơi board game đều có một nhận dạng toán học. Một lần tung xúc xắc có một giá trị kỳ vọng và một phương sai. Việc rút bài có phân bố xác suất. Giao dịch tài nguyên có tỷ giá hối đoái có thể được biểu thị dưới dạng tỷ lệ. Những nhà thiết kế hiểu rõ phép toán này sẽ đưa ra quyết định tốt hơn những nhà thiết kế làm việc bằng cảm tính — không phải vì toán học thay thế trực giác mà vì trực giác thường không phù hợp với thực tế theo những cách mà chỉ thử nghiệm thôi thì việc sửa chữa sẽ chậm.

Bài viết này đề cập đến các khái niệm toán học quan trọng nhất đối với việc thiết kế và chơi trò chơi board game: phân bố xác suất, giá trị kỳ vọng, phương sai và khoảng cách tâm lý giữa những gì toán học nói lên và những gì người chơi trải nghiệm. Cho dù bạn đang thiết kế một trò chơi hay chỉ đang cố gắng tìm hiểu lý do tại sao các phiên chơi xúc xắc của bạn lại xui xẻo đến vậy, thì khuôn khổ ở đây sẽ thay đổi cách bạn nghĩ về tính ngẫu nhiên trong trò chơi.

Tại sao toán học lại quan trọng trong thiết kế trò chơi

Một nhà thiết kế trò chơi chưa tính toán giá trị kỳ vọng của nền kinh tế hành động cốt lõi trong trò chơi của họ sẽ không biết liệu trò chơi của họ có hoạt động hay không. Điều này nghe có vẻ khắc nghiệt, nhưng nó đúng về mặt chức năng. Nếu thu nhập dự kiến từ hành động sẵn có tốt nhất là 4 tài nguyên mỗi vòng và chi phí của hành động có điều kiện chiến thắng là 30 tài nguyên thì nhà thiết kế cần biết liệu tỷ lệ thu nhập đó có thể đạt được trong khoảng thời gian thông thường của trò chơi hay không — trước khi chơi thử chứ không phải sau sáu phiên tự hỏi tại sao không ai thắng.

Toán học và thử nghiệm là những công cụ bổ sung chứ không phải là những công cụ thay thế. Toán học cho bạn biết lý thuyết dự đoán điều gì. Playtesting cho bạn biết liệu hành vi của con người có phù hợp với lý thuyết hay không. Trong hầu hết các trường hợp, chúng khác nhau - không phải vì phép toán sai mà vì người chơi không phải lúc nào cũng chọn hành động tối ưu về mặt lý thuyết. Khoảng cách giữa cách chơi tối ưu về mặt lý thuyết và cách chơi thực tế của con người bản thân nó là một biến số thiết kế: một trò chơi mà chỉ cách chơi tối ưu mới đưa ra những quyết định thú vị là một trò chơi tệ hơn một trò chơi mà cách chơi dưới mức tối ưu cũng tạo ra những tình huống thú vị.

Mỗi thợ máy đều có một giá trị kỳ vọng và các nhà thiết kế phải biết điều đó. Khi người chơi Neutronium: Parallel Wars nhận được thu nhập từ Cổng hạt nhân, họ sẽ nhận được giá trị kỳ vọng được tính toán chính xác trên mỗi cổng mỗi vòng. Khi họ chọn tấn công thay vì xây dựng, họ đang đưa ra quyết định có kết quả mong đợi có thể tính toán được trong các tình huống khác nhau. Nhà thiết kế biết những con số này có thể đưa ra những quyết định cân bằng có ý nghĩa; nhà thiết kế không đoán mò.

Sự bất đối xứng quan trọng là sự ngẫu nhiên có vẻ không công bằng ngay cả khi nó được cân bằng. Việc lật đồng xu 50/50 tạo ra mặt ngửa sáu lần liên tiếp với tỷ lệ khoảng 1,6% - hiếm khi xảy ra nhưng không phải là không thể. Khi điều đó xảy ra với người chơi trong trò chơi, họ coi đó là trò chơi bị hỏng chứ không phải là một sự kiện thống kê thông thường. Hiểu lý do tại sao điều này xảy ra — và cách các nhà thiết kế có thể cấu trúc tính ngẫu nhiên để cảm thấy ít bị trừng phạt hơn trong khi vẫn duy trì các xác suất cơ bản giống nhau — là ứng dụng có giá trị thực tế nhất của toán học thiết kế trò chơi.

Xác suất xúc xắc 101

D6 đơn là công cụ ngẫu nhiên hóa phổ biến nhất trong trò chơi board game và cũng là một trong những công cụ bị hiểu lầm nhiều nhất. Tiêu chuẩn d6 tạo ra sự phân bố đồng đều: mỗi mặt (1 đến 6) có xác suất xảy ra là 1/6 và giá trị kỳ vọng là 3,5. Người chơi hiểu điều này bằng trực giác, nhưng họ thường không hiểu ý nghĩa của việc quay vòng lặp lại trong một phiên.

Sự khác biệt giữa d6 đơn và 2d6 là nền tảng để hiểu lý do tại sao các cơ chế xúc xắc khác nhau lại có cảm giác khác nhau. Một d6 có phân bố xác suất bằng nhau - mọi kết quả từ 1 đến 6 đều có khả năng xảy ra như nhau. Tổng hai d6 tạo ra một đường cong hình chuông: 7 là kết quả có khả năng xảy ra cao nhất (xác suất 6/36 = 16,7%), trong khi 2 và 12 đều có xác suất 1/36 = 2,8%. Phân phối 2d6 tập trung các kết quả ở gần giữa và khiến cho các kết quả cực kỳ hiếm gặp. Đây là lý do tại sao Catan, sử dụng 2d6 để sản xuất tài nguyên, cảm thấy ít bị trừng phạt hơn trên các lượt lăn riêng lẻ so với các hệ thống chết đơn — việc phân phối đương nhiên hạn chế các kết quả cực đoan.

Xúc xắc tùy chỉnh với cách phân bố mặt không chuẩn giúp nhà thiết kế kiểm soát chính xác cấu hình xác suất mà xúc xắc tiêu chuẩn không thể cung cấp. Xúc xắc có các mặt [0, 0, 0, 1, 1, 2] có đặc điểm rất khác so với xúc xắc d6: nó tạo ra 0 50% thời gian, một 33% thời gian và hai 17% thời gian, với giá trị kỳ vọng là 0,67. Neutronium: Parallel Wars sử dụng xúc xắc D6 tùy chỉnh với các mặt được mã hóa màu: mặt màu xanh biểu thị kết quả chiến đấu tiêu chuẩn, mặt màu đỏ biểu thị kết quả quan trọng và mặt màu xanh lá cây biểu thị các yếu tố kích hoạt khả năng đặc biệt. Sự phân bổ các loại khuôn mặt - không chỉ số lượng khuôn mặt - xác định xác suất của từng kết quả. Một con súc sắc có ba mặt xanh, hai mặt đỏ và một mặt xanh lá cây tạo ra kết quả xanh lam 50%, đỏ 33% và xanh lục 17%. Nhà thiết kế có thể điều chỉnh các tỷ lệ này bằng cách thay đổi số lượng khuôn mặt thay vì tạo ra các hệ thống phân giải phức tạp về mặt toán học.

Xúc xắc nổ là xúc xắc khi tung giá trị lớn nhất sẽ được tung lại và kết quả được cộng vào. Một d6 phát nổ trên 6 có giá trị kỳ vọng là (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × giá trị kỳ vọng của d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Bản chất mở tạo ra những kết quả không giới hạn về mặt lý thuyết - một chuỗi vụ nổ may mắn có thể tạo ra tổng số rất cao - tạo ra những khoảnh khắc "cảm giác may mắn" mà một số trò chơi cố tình nuôi dưỡng. Sự đánh đổi là sự khác biệt lớn và đôi khi là vòng quay may mắn mang tính quyết định trò chơi.

Xúc xắc giới hạn là triết lý ngược lại: giới hạn kết quả tối đa để hạn chế phương sai. Hệ thống nhóm xúc xắc trong đó bạn tung nhiều viên xúc xắc và chỉ nhận được kết quả N tốt nhất (các hệ thống lợi thế như cơ chế lợi thế của D&D 5E hoặc hệ thống lấy nhiều viên xúc xắc cao nhất của Gumshoe) giảm phương sai về mặt toán học trong khi vẫn duy trì cảm giác xác suất. Lấy giá trị cao hơn trong hai cuộn d6 sẽ làm thay đổi giá trị mong đợi từ 3,5 lên 4,47 — cải thiện 28% — đồng thời giảm đáng kể khả năng xảy ra kết quả thấp.

Giá trị mong đợi trong trò chơi tài nguyên

Trò chơi tích lũy tài nguyên — Euro, nhà chế tạo động cơ, chiến lược kinh tế — được xây dựng dựa trên các phép tính giá trị kỳ vọng mà nhà thiết kế phải hiểu chính xác ngay cả khi chúng không bao giờ xuất hiện rõ ràng trong sách quy tắc. Khi người chơi lựa chọn giữa hai hành động, họ (có ý thức hay không) so sánh giá trị mong đợi của những hành động đó trong khoảng thời gian liên quan.

Neutronium: Parallel Wars là một ví dụ rõ ràng về giá trị kỳ vọng được thiết kế. Công thức thu nhập xác định rằng người chơi có N Cổng hạt nhân nhận được thu nhập ở tỷ lệ phi tuyến tính với N. Công thức cụ thể - 1 cổng mang lại 2 Neutronium đơn vị mỗi vòng; 10 cổng mang lại 220 Nn mỗi vòng - không phải ngẫu nhiên. Tuyên bố rõ ràng của nhà thiết kế rằng việc tích lũy cổng sẽ tạo ra lợi nhuận theo cấp số nhân chứ không phải tuyến tính, bởi vì lợi nhuận theo cấp số nhân tạo ra ngưỡng liên minh thúc đẩy động lực cạnh tranh của trò chơi.

Công thức này là thiết kế trò chơi có chủ ý được thể hiện dưới dạng toán học. Khoảng cách giữa thu nhập 7 cổng (42 Nn/vòng) và thu nhập 10 cổng (220 Nn/vòng) là lập luận kinh tế giải thích tại sao liên minh hình thành ở ngưỡng 7 cổng thay vì đợi đến 9 hoặc 10 cổng. Tại 7 cổng, người chơi có đủ thu nhập để đe dọa - nhưng hành động của liên minh vẫn có thể mang tính quyết định trước khi lợi thế về thu nhập trở nên không thể vượt qua về mặt toán học. Một nhà thiết kế đạt được những con số này chỉ thông qua việc chơi thử có thể đưa ra kết quả gần đúng; một nhà thiết kế hiểu rõ hàm mũ ngay từ đầu có thể chỉ định ngưỡng một cách chính xác.

Nguyên tắc rộng hơn: khi chia tỷ lệ theo cấp số nhân là thiết kế trò chơi có chủ ý, nhà thiết kế phải ghi lại chức năng chia tỷ lệ và xác minh rằng các ngưỡng mà nó tạo ra ở đúng nơi họ mong muốn. Nếu ngưỡng liên minh phải ở 6 cổng thay vì 7, thì công thức thu nhập cần phải được điều chỉnh — điều này đòi hỏi phải biết công thức là gì chứ không chỉ quan sát rằng "trò chơi có cảm giác cân bằng".

Sự khác biệt và nhận thức của người chơi

Phương sai là thước đo mức độ chênh lệch của kết quả thực tế xung quanh giá trị kỳ vọng. Phương sai cao có nghĩa là các kết quả riêng lẻ có thể khác biệt đáng kể so với kỳ vọng; phương sai thấp có nghĩa là kết quả tập trung chặt chẽ xung quanh mức trung bình. Đối với các nhà thiết kế trò chơi, phương sai là một núm điều khiển ảnh hưởng đến cả tính công bằng về mặt toán học của trò chơi và trải nghiệm chủ quan khi chơi trò chơi đó.

Thông tin chi tiết về tâm lý quan trọng: phương sai cao mang lại cảm giác tồi tệ ngay cả khi nó được cân bằng về mặt toán học. Việc lật đồng xu là hoàn toàn công bằng - 50/50, giá trị kỳ vọng hoàn toàn bằng nhau cho cả hai người chơi - nhưng chơi một trò chơi mà mọi quyết định được giải quyết bằng cách lật đồng xu có cảm giác tùy tiện và không có lợi. Người chơi cần cảm thấy rằng các quyết định của họ có ý nghĩa quan trọng, điều đó có nghĩa là họ cần có mối liên hệ nhân quả giữa các quyết định đúng đắn và kết quả tốt để có thể nhận thấy được trong phiên chơi game. Phương sai cao sẽ cắt đứt kết nối đó.

Bài toán hex 7 đấu với 2 Catan minh họa rõ ràng điều này. Ở Catan, số 7 được in trên nhiều ô lục giác nhất vì nó có xác suất cao nhất với 2d6 (16,7%). Số 2 được in trên ít ô lục giác nhất (2,8%). Những người chơi có kinh nghiệm biết cách ưu tiên tài nguyên ở các ô 6, 8, 5 và 9 - các ô lục giác có xác suất cao. Nhưng trong bất kỳ phiên cụ thể nào, người chơi đặt đúng vị trí ban đầu của họ trên các ô này vẫn có thể bị đánh giá thấp hơn đáng kể so với người chơi có vị trí có xác suất thấp hơn nếu xúc xắc thực tế tung ra khác với giá trị mong đợi. Điều này không phải là không công bằng - đó là sự biến đổi thống kê bình thường. Nhưng điều đó có vẻ không công bằng vì mối quan hệ giữa quyết định (vị trí tốt) và kết quả (thu nhập tài nguyên thường xuyên) bị che khuất bởi sự khác biệt.

Các giải pháp thiết kế để quản lý sự không công bằng được nhận thấy từ sự khác biệt bao gồm: cơ chế giảm thiểu (lượt quay lại, ngân hàng tài nguyên, cơ chế bắt kịp kích hoạt khi gặp xui xẻo), các điểm quyết định vẫn có ý nghĩa ngay cả sau khi xui xẻo (vì vậy người chơi chơi kém vẫn có những lựa chọn thú vị) và sự khác biệt có lợi cho người chơi theo sau (bắt kịp thông qua phương sai: người chơi dẫn đầu muốn thu nhập ổn định, có thể dự đoán được; người chơi theo sau được hưởng lợi từ các phương pháp có phương pháp khác biệt cao có thể kết thúc khoảng cách nhanh chóng, mặc dù giá trị kỳ vọng là như nhau).

Khoảnh khắc Kingmaker từ xúc xắc — trong đó việc tung xúc xắc ngẫu nhiên xác định người chơi nào thắng hay thua trong vòng cuối cùng — là những kết quả sai lệch có hại nhất đối với sự hài lòng của người chơi. Giải pháp không phải là loại bỏ xúc xắc mà là cấu trúc trò chơi muộn để kết quả của xúc xắc ảnh hưởng đến con đường dẫn đến chiến thắng hơn là xác định nó một cách hoàn toàn. Khi nhiều người chơi có vị trí chiến thắng khả thi để bước vào vòng cuối cùng, vòng quay may mắn sẽ làm hài lòng người chiến thắng nhưng không mang lại cảm giác bất hợp pháp đối với những người thua cuộc — bởi vì những người thua cuộc cũng có một con đường để giành chiến thắng mà lẽ ra họ có thể tạo ra bằng vòng quay may mắn của chính họ.

Kiểm tra cân bằng với môn Toán

Khung MEQA (Khả năng đo lường, Mức độ tương tác, Chất lượng, Khả năng tiếp cận) cung cấp cách tiếp cận có cấu trúc để kiểm tra sự cân bằng của trò chơi. Trụ cột về khả năng đo lường — chữ M trong MEQA — là nơi toán học chính thức bước vào quá trình thiết kế: trước khi bắt đầu chơi thử, nhà thiết kế xác định "cân bằng" nghĩa là gì theo thuật ngữ có thể đo lường được.

Đối với trò chơi có các phe phái bất đối xứng như Neutronium: Parallel Wars, mức cân bằng có thể đo lường được có nghĩa là: mỗi phe phải đạt được tỷ lệ thắng trong một phạm vi chấp nhận xác định trên đủ mẫu trò chơi ở các cấp độ kỹ năng tương đương. Nếu mục tiêu là tỷ lệ thắng 50% (cân bằng thuần túy) với phạm vi chấp nhận được là ±10% thì phe nào thắng 42% số trận là nằm trong mức cho phép còn phe nào thắng 63% thì không. Nhưng để đạt được tiêu chuẩn này đòi hỏi phải biết mục tiêu trước khi thử nghiệm — không tuyên bố hậu kỳ rằng tỷ lệ thắng được quan sát là "đủ gần".

Việc xác định các chỉ số trước khi chơi thử sẽ thay đổi những gì bạn quan sát được. Nếu bạn biết mình đang đo tỷ lệ thắng cho mỗi phe, thì bạn sẽ theo dõi sự phân công và kết quả của phe trong các phiên. Nếu bạn biết mình đang đo độ dài trung bình của trò chơi, bạn sẽ ghi lại dấu thời gian. Những quyết định này phải được đưa ra trước phiên chơi thử đầu tiên vì các số liệu hồi cứu không đáng tin cậy — trí nhớ có tính chọn lọc và con người ghi nhớ một cách tự nhiên các phiên hỗ trợ niềm tin hiện có.

Yêu cầu về kích thước mẫu để đưa ra kết luận cân bằng thường lớn hơn mong đợi của các nhà thiết kế. Đối với trò chơi 2 người chơi với 2 phe phái, 30 trò chơi cung cấp dữ liệu cơ bản để phát hiện sự mất cân bằng lớn hơn 15% với độ tin cậy 80%. Đối với trò chơi 4 người với 6 phe, không gian kết hợp lớn hơn nhiều: 30 trò chơi mang lại cho bạn khoảng 5 trò chơi cho mỗi cặp phe — vừa đủ để phát hiện sự mất cân bằng cực độ và không đủ để phát hiện những lợi thế tinh tế. Các nhà xuất bản độc lập hiếm khi có đủ nguồn lực để xác thực số liệu thống kê một cách nghiêm ngặt; phương pháp thực tế là sử dụng toán học để xác minh các giá trị kỳ vọng, thử nghiệm để tìm ra các giá trị ngoại lệ và phản hồi của cộng đồng sau khi phát hành để xác định các vấn đề còn tồn tại.

Để biết toàn bộ khuôn khổ — bao gồm cả cách Khả năng đo lường tích hợp với các trụ cột MEQA khác — hãy xem MEQA hướng dẫn về khung cân bằng trò chơi, bao gồm cách tiếp cận hoàn chỉnh để xác định, đo lường và đạt được sự cân bằng trên các hệ thống trò chơi.

Công thức chia tỷ lệ thu nhập trong Neutronium kết nối trực tiếp với chi tiết cơ học tại /mechanics/nuclear-port-scaling, trong đó hàm số mũ được ghi lại cùng với lý do thiết kế cho từng giá trị ngưỡng.

Công cụ xác suất dành cho nhà thiết kế

Một số công cụ giúp bạn có thể tiếp cận môn toán thiết kế trò chơi mà không cần đào tạo về thống kê nâng cao. Đây là những cái có hiệu quả trong thực tế.

AnyDice (anydice.com) là công cụ tính xác suất xúc xắc tiêu chuẩn dành cho các nhà thiết kế trò chơi. Nó chấp nhận ký hiệu xúc xắc ngôn ngữ tự nhiên (2d6, d4+d8, 3d6 giữ mức cao nhất 2) và trả về phân bố xác suất, giá trị kỳ vọng và xác suất tích lũy. Đối với bất kỳ thợ máy nào liên quan đến xúc xắc, AnyDice nên là công cụ được tư vấn đầu tiên. Các biểu đồ đầu ra của nó giúp cho các phép phân phối trở nên dễ đọc và có thể so sánh ngay lập tức — dán hai biểu thức xúc xắc khác nhau cạnh nhau để xem ngay cách phân phối của chúng khác nhau như thế nào.

Mô phỏng bảng tính (Google Trang tính, Excel) xử lý các phép tính mà AnyDice không thể: tích lũy tài nguyên qua nhiều vòng, thu nhập từ nhiều nguồn, thời lượng trò chơi dự kiến theo các giả định chiến lược khác nhau. Mô hình bảng tính cơ bản về hoạt động kinh tế của trò chơi — với các cột cho mỗi lượt, hàng cho từng loại tài nguyên và công thức biểu thị cơ chế chi tiêu và thu nhập cốt lõi của trò chơi — mất 2–3 giờ để xây dựng và tiết lộ các vấn đề về cân bằng mà phải mất hơn 20 lần chơi thử mới khám phá được theo kinh nghiệm.

Mô phỏng Monte Carlo là công cụ có độ chính xác cao nhất: chạy cơ chế của trò chơi hàng nghìn lần bằng máy tính để tạo ra các phân bố thống kê cho tất cả các kết quả có thể xảy ra. Với những nhà thiết kế có nền tảng lập trình thì Python với NumPy là đủ cho hầu hết các nhu cầu mô phỏng game. Đối với các nhà thiết kế không có nền tảng về lập trình, có các công cụ Monte Carlo trực quan và thậm chí cả các mô phỏng dựa trên bảng tính tạo ra kết quả có ý nghĩa với kiến ​​thức kỹ thuật hạn chế. Monte Carlo có giá trị nhất đối với những trò chơi có sự phụ thuộc lẫn nhau phức tạp, trong đó khó tính toán phân tích — khi nhiều sự kiện ngẫu nhiên tương tác với nhau, mô phỏng sẽ tạo ra ước tính phân bổ đáng tin cậy hơn so với tính toán thủ công.

Khi nào nên tin tưởng toán học so với khi nào nên chơi thử: sử dụng toán học để xác minh sự cân bằng về mặt lý thuyết và phát hiện các lỗi thiết kế rõ ràng trước khi đầu tư vào thử nghiệm chơi. Sử dụng thử nghiệm chơi để khám phá cách tâm lý con người tương tác với toán học — những chỗ mà chiến lược tối ưu khác với những gì người chơi thực sự làm và những chỗ mà toán học dự đoán sự cân bằng nhưng trải nghiệm có vẻ không công bằng. Cả hai đều cần thiết. Một mình cũng không đủ.

Câu hỏi thường gặp