هر مکانیک بازی رومیزی یک هویت ریاضی دارد. یک تاس ریز دارای یک مقدار مورد انتظار و یک واریانس است. قرعه کشی کارت دارای توزیع احتمال است. تجارت منابع دارای نرخ مبادله ای است که می تواند به صورت یک نسبت بیان شود. طراحانی که این ریاضیات را درک میکنند بهتر از طراحانی که با احساس کار میکنند تصمیم میگیرند - نه به این دلیل که ریاضی جایگزین شهود میشود، بلکه به این دلیل که شهود غالباً با واقعیت مخالف است به گونهای که آزمایش به تنهایی به کندی اصلاح میشود.
این مقاله مفاهیم ریاضی را پوشش میدهد که برای طراحی و اجرای بازیهای رومیزی بیشترین اهمیت را دارند: توزیع احتمال، مقدار مورد انتظار، واریانس، و شکاف روانی بین آنچه ریاضی میگوید و آنچه بازیکنان تجربه میکنند. چه در حال طراحی یک بازی باشید و چه فقط سعی میکنید بفهمید چرا جلسات تاسهای شما بهطور فاجعهباری بدشانسی است، چارچوب اینجا طرز فکر شما را درباره تصادفی بودن در بازیها تغییر میدهد.
چرا ریاضی در طراحی بازی اهمیت دارد
طراح بازیA که ارزش مورد انتظار اقتصاد اکشن اصلی بازی خود را محاسبه نکرده است، نمی داند که آیا بازی آنها کار می کند یا خیر. این خشن به نظر می رسد، اما از نظر عملکرد درست است. اگر درآمد مورد انتظار از بهترین اکشن موجود 4 منبع در هر دور باشد و هزینه اکشن شرط پیروزی 30 منبع باشد، طراح باید بداند که آیا این نرخ درآمد در طول مدت معمول بازی قابل دستیابی است - قبل از انجام آزمایش، نه بعد از شش جلسه که فکر کند چرا هیچ کس هرگز برنده نمی شود.
.ریاضیات و تست بازی ابزارهای مکمل هستند، نه جایگزین. ریاضی به شما می گوید که تئوری چه چیزی را پیش بینی می کند. Playtesting به شما می گوید که آیا رفتار انسان با این نظریه مطابقت دارد یا خیر. بیشتر اوقات، آنها از هم جدا می شوند - نه به این دلیل که ریاضیات اشتباه است، بلکه به این دلیل که بازیکنان همیشه اقدام از لحاظ نظری بهینه را انتخاب نمی کنند. شکاف بین بازی بهینه نظری و بازی واقعی انسان، خود یک متغیر طراحی است: بازیای که در آن فقط بازی بهینه تصمیمهای جالبی ایجاد میکند، بازی بدتر از بازیای است که در آن بازی غیربهینه موقعیتهای جالبی نیز ایجاد میکند.
هر مکانیک مقدار مورد انتظاری دارد و طراحان باید آن را بدانند. وقتی بازیکن Neutronium: Parallel Wars از Nuclear Port درآمد کسب می کند، در هر پورت مقدار مورد انتظار دقیقا محاسبه شده را دریافت می کند. وقتی آنها حمله را به جای ساختن انتخاب می کنند، تصمیمی می گیرند که نتایج مورد انتظار قابل محاسبه را تحت سناریوهای مختلف دارد. طراح که این اعداد را میداند میتواند تصمیمات تعادل معناداری بگیرد. طراح که نمی کند حدس می زند.
عدم تقارن بحرانی این است که تصادفی بودن حتی زمانی که متعادل باشد، غیرمنصفانه است. چرخاندن سکه 50/50 تقریباً 1.6٪ مواقع شش بار پشت سر هم سر تولید می کند - به ندرت، اما نه غیرممکن. وقتی این اتفاق برای بازیکنی در بازی می افتد، آن را به عنوان شکست بازی تجربه می کنند، نه به عنوان یک رویداد آماری عادی. درک اینکه چرا این اتفاق میافتد - و اینکه چگونه طراحان میتوانند تصادفی را ساختار دهند تا در عین حال احتمالات زیربنایی مشابهی را حفظ کنند - عملاً با ارزشترین کاربرد ریاضی طراحی بازی است.
احتمال تاس 101
تک d6 رایج ترین ابزار تصادفی سازی در بازی های رومیزی است و همچنین یکی از سوء تفاهم هاست. یک استاندارد d6 یک توزیع یکنواخت ایجاد می کند: هر وجه (1 تا 6) احتمال وقوع 1/6 دارد و مقدار مورد انتظار 3.5 است. بازیکنان به طور شهودی این را درک میکنند، اما اغلب نمیتوانند معنی آن را برای رولهای مکرر در طول یک جلسه درک کنند.
تمایز Single d6 در مقابل 2d6 برای درک اینکه چرا مکانیک های مختلف تاس احساس متفاوتی دارند، اساسی است. یک d6 منفرد دارای یک توزیع احتمال مسطح است - هر نتیجه از 1 تا 6 به یک اندازه محتمل است.دو d6 جمع شده یک منحنی زنگ تولید می کنند: 7 محتمل ترین نتیجه است (احتمال 6/36 = 16.7٪)، در حالی که 2 و 12 هر کدام احتمال 1/36 = 2.8٪ دارند. توزیع 2d6 نتایج را نزدیک به وسط متمرکز می کند و نتایج شدید را نادر می کند. به همین دلیل است که Catan، که از 2d6 برای تولید منابع استفاده میکند، نسبت به سیستمهای تک قالبی، در رولهای فردی کمتر احساس تنبیه میکند - توزیع به طور طبیعی نتایج شدید را محدود میکند.
تاس های سفارشی با توزیع های غیر استاندارد صورت به طراحان کنترل دقیقی بر روی پروفایل های احتمالی می دهد که تاس های استاندارد نمی توانند ارائه دهند. یک قالب با چهرههای [0، 0، 0، 1، 1، 2] دارای کاراکتر بسیار متفاوتی نسبت به d6 است: 50% مواقع صفر، 33% مواقع یکی و 17% مواقع دو را با مقدار مورد انتظار 0.67 تولید میکند. Neutronium: Parallel Wars از تاس های سفارشی D6 با چهره های رنگی استفاده می کند: صورت های آبی نشان دهنده نتایج استاندارد نبرد، چهره های قرمز نشان دهنده نتایج حیاتی، و چهره های سبز نشان دهنده محرک های توانایی ویژه هستند. توزیع انواع چهره - نه فقط تعداد چهره ها - احتمال هر نتیجه را تعیین می کند. یک قالب با سه صورت آبی، دو صورت قرمز و یک صورت سبز در 50٪ موارد آبی، قرمز 33٪ و سبز در 17٪ نتایج حاصل می شود. طراح می تواند این نسبت ها را با تغییر تعداد چهره به جای ایجاد سیستم های تفکیک پیچیده ریاضی تنظیم کند.
تاس های انفجاری تاس هایی هستند که هنگام ریختن حداکثر مقدار، دوباره ریخته می شوند و نتایج اضافه می شوند. d6 که روی 6 منفجر می شود دارای مقدار مورد انتظار (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × مقدار مورد انتظار d6) = 3.5 + (1/6 × 3.5) = 3.5 + 0.583 = 4.083 است. طبیعت باز، از نظر تئوری نتایج نامحدودی ایجاد می کند - یک توالی خوش شانس از انفجارها می تواند مجموع بسیار بالایی ایجاد کند - که لحظات "احساس خوش شانسی" را ایجاد می کند که برخی بازی ها عمداً پرورش می دهند. معاوضه واریانس بالا و گاه به گاه نقش تعیین کننده بازی است.
تاس محدود فلسفه مخالف است: حداکثر کردن نتیجه برای محدود کردن واریانس. سیستمهای جمع تاس که در آن چندین تاس میاندازید و فقط بهترین N نتیجه را میگیرید (سیستمهای مزیتی مانند مزیت مکانیک D&D 5E یا تاسهای چندگانه Gumshoe که بیشترین مقدار را میگیرند) واریانس را بهطور ریاضی کاهش میدهند و در عین حال احساس احتمالی را حفظ میکنند. گرفتن بالاتر از دو رول d6 مقدار مورد انتظار را از 3.5 به 4.47 تغییر می دهد - بهبود 28٪ - در حالی که احتمال نتایج کم را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.
ارزش مورد انتظار در بازی های منبع
بازیهای جمعآوری منابع- یورو، سازندگان موتور، استراتژیهای اقتصادی - بر اساس محاسبات ارزش مورد انتظار ساخته شدهاند که طراح باید آنها را دقیقاً درک کند، حتی اگر هرگز به صراحت در کتاب قوانین ظاهر نشوند. هنگامی که یک بازیکن بین دو اقدام انتخاب می کند، آنها (آگاهانه یا نه) ارزش مورد انتظار آن اقدامات را در افق زمانی مربوطه مقایسه می کنند.
سیستم درآمدNeutronium: Parallel Wars Nuclear Port یک مثال صریح از ارزش مورد انتظار طراحی شده است. فرمول درآمد مشخص می کند که بازیکنی با N Nuclear Port درآمدی را با نرخی دریافت می کند که به صورت غیرخطی با N مقیاس می شود. 10 پورت در هر دور 220 Nn تولید می کند - تصادفی نیست.این بیانیه صریح طراح است که انباشت پورت باید بازدهی نمایی به جای خطی ایجاد کند، زیرا بازده های نمایی آستانه ائتلافی را ایجاد می کند که پویایی رقابتی بازی را هدایت می کند.
این فرمول طراحی بازی عمدی است که به صورت ریاضی بیان می شود. شکاف بین درآمد 7 پورت (42 Nn / دور) و درآمد 10 پورت (220 Nn / دور) استدلال اقتصادی برای اینکه چرا ائتلافها در آستانه 7 پورت تشکیل میشوند به جای انتظار تا 9 یا 10 پورت است. در 7 پورت، بازیکن درآمد کافی برای تهدید دارد - اما اقدامات ائتلافی هنوز می تواند تعیین کننده باشد قبل از اینکه مزیت درآمد از نظر ریاضی غیرقابل حل شود. طراحي كه به تنهايي از طريق تست بازي به اين اعداد رسيده است، ممكن است تقريباً آنها را درست به دست آورد. یک طراح که تابع نمایی را از ابتدا درک کرده باشد می تواند آستانه را دقیقاً مشخص کند.
اصل گسترده تر: وقتی مقیاس نمایی طراحی عمدی بازی است، طراح باید تابع مقیاس بندی را مستند کند و تأیید کند که آستانه هایی که ایجاد می کند در جایی هستند که می خواهند. اگر آستانه ائتلاف باید در 6 پورت باشد به جای 7، فرمول درآمد باید تنظیم شود - که مستلزم دانستن فرمول چیست، نه فقط مشاهده اینکه "بازی احساس تعادل می کند."
واریانس و درک بازیکن
Variance معیاری است که نشان می دهد چقدر نتایج واقعی حول مقدار مورد انتظار پخش می شود. واریانس بالا به این معنی است که نتایج فردی می تواند به طور چشمگیری با انتظارات متفاوت باشد. واریانس کم به این معنی است که نتایج به شدت در اطراف میانگین خوشه می شوند. برای طراحان بازی، واریانس یک دکمه کنترلی است که هم بر عادلانه بودن بازی و هم بر تجربه ذهنی بازی تأثیر می گذارد.
بینش روانشناختی کلیدی: واریانس بالا حتی زمانی که از نظر ریاضی متعادل باشد احساس بدی دارد. چرخاندن سکه کاملاً منصفانه است - 50/50، ارزش مورد انتظار دقیقاً برای هر دو بازیکن برابر است - اما انجام یک بازی که در آن هر تصمیمی با چرخاندن سکه حل می شود، خودسرانه و بی پاداش است. بازیکنان باید احساس کنند که تصمیمات آنها مهم است، به این معنی که آنها به ارتباط علی بین تصمیمات خوب و نتایج خوب نیاز دارند تا در جلسه بازی قابل درک باشد. واریانس بالا آن اتصال را قطع می کند.
مشکل هگز کاتان 7 در مقابل 2 این را به وضوح نشان می دهد. در Catan عدد 7 روی بیشترین هگز چاپ می شود زیرا بیشترین احتمال را با 2d6 (16.7%) دارد. عدد 2 بر روی کمترین هگز (2.8%) چاپ شده است. بازیکنان باتجربه میدانند که منابع را در 6s، 8s، 5s و 9s اولویتبندی کنند - هگزهای با احتمال بالا. اما در هر جلسه معین، بازیکنی که تسویه اولیه خود را به درستی روی این هگز ها قرار می دهد، همچنان می تواند به طور قابل توجهی توسط بازیکنی با احتمال کمتری قرار بگیرد، اگر تاس های واقعی از مقادیر مورد انتظار منحرف شوند. این ناعادلانه نیست - این یک تغییر آماری طبیعی است.اما این احساس ناعادلانه است زیرا رابطه بین تصمیم (جایگاه خوب) و نتیجه (درآمد منابع مکرر) توسط واریانس پنهان شده است.
راهحلهای طراحی برای مدیریت ناعادلانه درک شده از واریانس عبارتند از: مکانیکهای کاهشدهنده (بازگردانیها، بانکهای منابع، مکانیسمهای جبرانی که در اجراهای بدشانسی فعال میشوند)، ، امتیازات QZXA001 که حتی پس از اقبال بسیار معنیدار باقی میمانند. luck (بنابراین بازیکنی که ضعیف رول میکند هنوز هم انتخابهای جالبی دارد)، و واریانس که به نفع بازیکنان عقبنشین است (تقویت از طریق واریانس: بازیکن پیشرو میخواهد پایدار و قابل پیشبینی باشد؛ هر چند بازیکنان عقبنشینی میتوانند به سرعت از ارزش بالایی برخوردار باشند. همان).
لحظاتKingmaker از تاس - که در آن یک پرتاب تصادفی تعیین می کند کدام بازیکن در دور نهایی برنده یا بازنده می شود - مضرترین نتایج واریانس برای رضایت بازیکن است. راه حل حذف تاس نیست، بلکه ساختار بازی اواخر است تا نتایج تاس بر مسیر پیروزی تأثیر بگذارد تا اینکه مستقیماً آن را تعیین کند. وقتی چندین بازیکن موقعیتهای برنده قابل قبولی دارند که به دور نهایی میروند، یک رول شانس برای برنده رضایتبخش است، اما برای بازندهها غیرقانونی به نظر نمیرسد - زیرا بازندهها همچنین مسیری برای برنده شدن داشتند که میتوانست توسط رولهای خوش شانس خودشان فعال شود.
تست تعادل با Math
چارچوب MEQA (قابلیت اندازه گیری، تعامل، کیفیت، دسترسی) یک رویکرد ساختاریافته برای تست تعادل بازی ارائه می دهد. ستون اندازهگیری - M در MEQA - جایی است که ریاضیات بهطور رسمی وارد فرآیند طراحی میشود: قبل از شروع تست بازی، طراح معنای «متعادل» را در شرایط قابل اندازهگیری تعریف میکند.
QQZبرای یک بازی با جناحهای نامتقارن مانند Neutronium: Parallel Wars، تعادل قابل اندازهگیری به این معنی است: هر گروه باید در یک باند تحمل تعریفشده در بین نمونههای کافی از بازیها در سطوح مهارت قابل مقایسه، به نرخ بردی دست یابد. اگر هدف 50% نرخ برد (موازنه خالص) با محدوده قابل قبول 10% باشد، در این صورت یک جناح برنده 42% از بازی ها در محدوده تحمل است و جناحی که 63% برنده شده باشد، چنین نیست. اما دستیابی به این استاندارد مستلزم دانستن هدف قبل از آزمایش است – عدم اعلام پسهک که نرخهای برد مشاهدهشده به اندازه کافی نزدیک هستند.
تعریف معیارها قبل از تست بازی آنچه را که مشاهده می کنید تغییر می دهد. اگر میدانید که نرخ برد به ازای هر جناح را اندازهگیری میکنید، تکالیف جناحی و نتایج را در طول جلسات پیگیری میکنید. اگر میدانید که میانگین طول بازی را اندازه میگیرید، مُهرهای زمانی را ثبت میکنید. این تصمیمات باید قبل از اولین جلسه تست پخش گرفته شوند، زیرا معیارهای گذشته نگر غیرقابل اعتماد هستند - حافظه انتخابی است و انسان ها به طور طبیعی جلساتی را که از باورهای موجود پشتیبانی می کنند به خاطر می آورند.
الزامات اندازه نمونه برای نتیجه گیری تعادل اغلب بزرگتر از انتظار طراحان است. برای یک بازی 2 نفره با 2 جناح، 30 بازی داده های پایه را برای تشخیص عدم تعادل بزرگتر از 15 درصد با اطمینان 80 درصد ارائه می دهد. برای بازیهای 4 نفره با 6 جناح، فضای ترکیبی بسیار بزرگتر است: 30 بازی تقریباً 5 بازی در هر جفت جناحی به شما میدهند - برای تشخیص عدم تعادل شدید کافی نیست و برای تشخیص مزایای ظریف کافی نیست.ناشران مستقل به ندرت منابعی برای اعتبارسنجی آماری دقیق دارند. رویکرد عملی استفاده از ریاضی برای تأیید مقادیر مورد انتظار، آزمایش پخش برای گرفتن موارد پرت و بازخورد جامعه پس از انتشار برای شناسایی مشکلات باقی مانده است.
برای چارچوب کامل - از جمله نحوه ادغام قابلیت اندازهگیری با دیگر ستونهای MEQA - راهنمای چارچوب تعادل بازی MEQA را ببینید، که رویکرد تعادلی کامل برای تعریف و تعریف یک بازی را پوشش میدهد. Systems.
فرمول مقیاسبندی درآمد در Neutronium مستقیماً به جزئیات مکانیک در /mechanics/Nuclear-port-scaling متصل میشود، که در آن تابع نمایی در کنار هر یکم مقدار Q1QZresh برای استدلال طراحی Q1Q1 برای استدلال طراحی شده است.
ابزارهای احتمال برای طراحان
چندین ابزار، ریاضیات طراحی بازی را بدون نیاز به آموزش آماری پیشرفته در دسترس قرار می دهند. اینها هستند که در عمل کار می کنند.
AnyDice (anydice.com) ماشین حساب احتمال تاس استاندارد برای طراحان بازی است. نماد تاس زبان طبیعی را میپذیرد (2d6، d4+d8، 3d6 بالاترین عدد 2 را نگه میدارد) و توزیعهای احتمال، مقادیر مورد انتظار و احتمالات تجمعی را برمیگرداند. برای هر مکانیکی که شامل تاس می شود، AnyDice باید اولین ابزاری باشد که از آن استفاده می شود. نمودارهای خروجی آن توزیع ها را بلافاصله خوانا و قابل مقایسه می کند — دو عبارت مختلف تاس را در کنار هم قرار دهید تا فوراً تفاوت توزیع آنها را ببینید.
شبیهسازی صفحه گسترده (برگهای Google، اکسل) محاسباتی را انجام دهد که AnyDice نمیتواند: انباشت منابع در چندین دور، درآمد با منابع متعدد، طول بازی با مجموع بازیهای مختلف. یک مدل صفحهگسترده پایه از اقتصاد یک بازی - با ستونهایی برای هر نوبت، ردیفهایی برای هر نوع منبع، و فرمولهایی که نشاندهنده درآمد اصلی و مکانیزم هزینههای بازی هستند - ساخت آن 2 تا 3 ساعت طول میکشد و مشکلات تعادلی را نشان میدهد که برای کشف تجربی آنها بیش از 20 تست بازی طول میکشد.
Monte Carlo شبیه سازی با بالاترین دقت ابزار است: اجرای مکانیک یک بازی هزاران بار به صورت محاسباتی برای تولید توزیع های آماری در تمام نتایج ممکن. برای طراحانی که پس زمینه برنامه نویسی دارند، پایتون با NumPy برای اکثر نیازهای شبیه سازی بازی کافی است. برای طراحان بدون پیش زمینه برنامه نویسی، ابزارهای بصری مونت کارلو و حتی شبیه سازی های مبتنی بر صفحه گسترده وجود دارد که با دانش فنی محدود نتایج معنی داری ایجاد می کند. مونت کارلو برای بازیهایی با وابستگیهای متقابل پیچیده که در آنها محاسبه تحلیلی دشوار است، بسیار ارزشمند است - زمانی که چندین رویداد تصادفی با هم تعامل دارند، شبیهسازی تخمینهای توزیع قابل اعتمادتری نسبت به محاسبه دستی ایجاد میکند.
زمانی که باید به ریاضیات در مقابل زمان پخش تست اعتماد کرد: از ریاضی برای تأیید تعادل نظری و گرفتن خطاهای آشکار طراحی قبل از سرمایه گذاری در تست بازی استفاده کنید. از تست بازی برای کشف نحوه تعامل روانشناسی انسان با ریاضیات استفاده کنید - مکانهایی که استراتژی بهینه با آنچه بازیکنان واقعا انجام میدهند متفاوت است، و مکانهایی که ریاضی تعادل را پیشبینی میکند اما تجربه احساس ناعادلانه میکند. هر دو لازم است. هیچکدام به تنهایی کافی نیست.
سوالات متداول
A که در آن ریاضیات به گونه ای طراحی شده است که قابل مشاهده باشد
مقیاسبندی درآمدNeutronium: Parallel Wars، آستانههای ائتلافی و سیستم تاس بر اساس ریاضیات احتمال صریح ساخته شدهاند. به لیست انتظار برای راه اندازی به روز بپیوندید.
به فهرست انتظار بپیوندید →