ریاضی بازی تخته ای: احتمال، ارزش مورد انتظار و چرا تاس احساس ناعادلانه می کند

هر مکانیک بازی روی تخته یک هویت ریاضی دارد. یک تاس ریز دارای یک مقدار مورد انتظار و یک واریانس است. قرعه کشی کارت دارای توزیع احتمال است. تجارت منابع دارای نرخ مبادله ای است که می تواند به صورت یک نسبت بیان شود. طراحانی که این ریاضیات را درک می‌کنند، تصمیمات بهتری نسبت به طراحانی می‌گیرند که با احساس کار می‌کنند - نه به این دلیل که ریاضی جایگزین شهود می‌شود، بلکه به این دلیل که شهود غالباً با واقعیت مخالف است، به گونه‌ای که آزمایش به تنهایی به آهستگی اصلاح می‌شود.

این مقاله مفاهیم ریاضی را پوشش می‌دهد که بیشترین اهمیت را برای طراحی و اجرای بازی‌های رومیزی دارند: توزیع‌های احتمال، مقدار مورد انتظار، واریانس، و شکاف روان‌شناختی بین آنچه که ریاضی می‌گوید و آنچه بازیکنان تجربه می‌کنند. چه در حال طراحی یک بازی باشید و چه فقط سعی می‌کنید بفهمید که چرا جلسات تاس‌هایتان به‌طور فاجعه‌باری بدشانسی است، چارچوب اینجا طرز فکر شما را درباره تصادفی بودن در بازی‌ها تغییر می‌دهد.

چرا ریاضی در طراحی بازی مهم است

یک طراح بازی که ارزش مورد انتظار اقتصاد اکشن اصلی بازی خود را محاسبه نکرده است، نمی داند که آیا بازی او کار می کند یا خیر. این خشن به نظر می رسد، اما از نظر عملکرد درست است. اگر درآمد مورد انتظار از بهترین اکشن موجود 4 منبع در هر دور باشد و هزینه اکشن شرط پیروزی 30 منبع باشد، طراح باید بداند که آیا این نرخ درآمد در طول مدت معمول بازی قابل دستیابی است - قبل از انجام آزمایش، نه بعد از شش جلسه که فکر کند چرا هیچ کس هرگز برنده نمی شود.

ریاضی و تست بازی ابزارهای مکمل هستند، نه جایگزین. ریاضی به شما می گوید که تئوری چه چیزی را پیش بینی می کند. Playtesting به شما می گوید که آیا رفتار انسان با این نظریه مطابقت دارد یا خیر. بیشتر اوقات، آنها از هم جدا می شوند - نه به این دلیل که ریاضیات اشتباه است، بلکه به این دلیل که بازیکنان همیشه اقدام از لحاظ نظری بهینه را انتخاب نمی کنند. شکاف بین بازی بهینه نظری و بازی واقعی انسان، خود یک متغیر طراحی است: بازی‌ای که در آن فقط بازی بهینه تصمیمات جالبی ایجاد می‌کند، بدتر از بازی‌ای است که بازی غیربهینه موقعیت‌های جالبی را نیز ایجاد می‌کند.

هر مکانیک ارزش مورد انتظاری دارد و طراحان باید آن را بدانند. وقتی بازیکن Neutronium: Parallel Wars از بندرهای هسته‌ای درآمد کسب می‌کند، ارزش مورد انتظار دقیقاً محاسبه‌شده در هر پورت را دریافت می‌کند. وقتی آنها حمله را به جای ساختن انتخاب می کنند، تصمیمی می گیرند که نتایج مورد انتظار قابل محاسبه را تحت سناریوهای مختلف دارد. طراح که این اعداد را می‌داند می‌تواند تصمیمات تعادل معناداری بگیرد. طراح که این کار را نمی کند، حدس می زند.

عدم تقارن بحرانی این است که تصادفی حتی زمانی که متعادل باشد احساس ناعادلانه می کند. چرخاندن سکه 50/50 تقریباً 1.6٪ مواقع شش بار پشت سر هم سر تولید می کند - به ندرت، اما نه غیرممکن. وقتی این اتفاق برای بازیکنی در بازی می افتد، آن را به عنوان شکست بازی تجربه می کنند، نه به عنوان یک رویداد آماری عادی. درک اینکه چرا این اتفاق می‌افتد - و اینکه چگونه طراحان می‌توانند تصادفی را ساختار دهند تا احساس تنبیه کمتری داشته باشند و در عین حال احتمالات اساسی را حفظ کنند - عملاً با ارزش‌ترین کاربرد ریاضی طراحی بازی است.

احتمال تاس 101

تک d6 رایج‌ترین ابزار تصادفی‌سازی در بازی‌های رومیزی است و همچنین یکی از سوء تفاهم‌هاست. یک استاندارد d6 یک توزیع یکنواخت ایجاد می کند: هر وجه (1 تا 6) احتمال وقوع 1/6 دارد و مقدار مورد انتظار 3.5 است. بازیکنان به طور شهودی این را درک می‌کنند، اما اغلب نمی‌توانند معنی آن را برای رول‌های مکرر در یک جلسه درک کنند.

تمایز d6 در مقابل 2d6 برای درک اینکه چرا مکانیک های مختلف تاس احساس متفاوتی دارند، اساسی است. یک d6 منفرد دارای یک توزیع احتمال مسطح است - هر نتیجه از 1 تا 6 به یک اندازه محتمل است. دو d6 جمع شده یک منحنی زنگ تولید می کنند: 7 محتمل ترین نتیجه است (احتمال 6/36 = 16.7٪)، در حالی که 2 و 12 هر کدام احتمال 1/36 = 2.8٪ دارند. توزیع 2d6 نتایج را نزدیک به وسط متمرکز می کند و نتایج شدید را نادر می کند. به همین دلیل است که Catan، که از 2d6 برای تولید منابع استفاده می‌کند، نسبت به سیستم‌های تک دای، در رول‌های فردی کمتر احساس تنبیه می‌کند - توزیع به طور طبیعی نتایج شدید را محدود می‌کند.

تاس‌های سفارشی با توزیع‌های غیر استاندارد صورت به طراحان کنترل دقیقی بر پروفایل‌های احتمالی می‌دهد که تاس استاندارد نمی‌تواند ارائه دهد. یک قالب با چهره‌های [0، 0، 0، 1، 1، 2] دارای کاراکتر بسیار متفاوتی نسبت به d6 است: 50% مواقع صفر، 33% مواقع یکی و 17% مواقع دو را با مقدار مورد انتظار 0.67 تولید می‌کند. Neutronium: Parallel Wars از تاس های سفارشی D6 با چهره های دارای کد رنگی استفاده می کند: صورت های آبی نشان دهنده نتایج استاندارد نبرد، چهره های قرمز نشان دهنده نتایج حیاتی، و چهره های سبز نشان دهنده محرک های توانایی ویژه هستند. توزیع انواع چهره - نه فقط تعداد چهره ها - احتمال هر نتیجه را تعیین می کند. یک قالب با سه صورت آبی، دو صورت قرمز و یک صورت سبز در 50٪ موارد آبی، قرمز 33٪ و سبز در 17٪ نتایج حاصل می شود. طراح می تواند این نسبت ها را با تغییر شمارش چهره به جای ایجاد سیستم های تفکیک پیچیده ریاضی تنظیم کند.

تاس انفجاری تاس هایی هستند که هنگام ریختن حداکثر مقدار، دوباره ریخته می شوند و نتایج اضافه می شوند. d6 که روی 6 منفجر می شود دارای مقدار مورد انتظار (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × مقدار مورد انتظار d6) = 3.5 + (1/6 × 3.5) = 3.5 + 0.583 = 4.083 است. طبیعت باز، از نظر تئوری نتایج نامحدودی ایجاد می کند - یک توالی خوش شانس از انفجارها می تواند مجموع بسیار بالایی ایجاد کند - که لحظات "احساس خوش شانسی" را ایجاد می کند که برخی بازی ها عمداً پرورش می دهند. مبادله واریانس بالا و گاه به گاه رول خوش شانسی است که تعیین کننده بازی است.

تاس محدود فلسفه مخالف است: حداکثر کردن نتیجه برای محدود کردن واریانس. سیستم‌های جمع تاس که در آن چندین تاس می‌اندازید و فقط بهترین N نتیجه را می‌گیرید (سیستم‌های مزیتی مانند مزیت مکانیک D&D 5E یا تاس‌های چندگانه Gumshoe که بیشترین مقدار را می‌گیرند) واریانس را به‌طور ریاضی کاهش می‌دهند و در عین حال احساس احتمالی را حفظ می‌کنند. گرفتن بالاتر از دو رول d6، مقدار مورد انتظار را از 3.5 به 4.47 تغییر می دهد - یک بهبود 28٪ - در حالی که احتمال نتایج کم را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

مقدار مورد انتظار در بازی های منبع

بازی‌های انباشت منابع - یورو، سازندگان موتور، استراتژی‌های اقتصادی - بر اساس محاسبات ارزش مورد انتظار ساخته شده‌اند که طراح باید آن‌ها را دقیقاً درک کند، حتی اگر هرگز به صراحت در کتاب قوانین ظاهر نشوند. هنگامی که یک بازیکن بین دو اقدام انتخاب می کند، آنها (آگاهانه یا نه) ارزش مورد انتظار آن اقدامات را در افق زمانی مربوطه مقایسه می کنند.

Neutronium: Parallel Wars نمونه‌ای واضح از ارزش مورد انتظار طراحی‌شده است. فرمول درآمد مشخص می‌کند که بازیکنی با N پورت هسته‌ای درآمدی با نرخی دریافت می‌کند که به صورت غیرخطی با N مقیاس می‌شود. 10 پورت 220 Nn در هر دور تولید می کنند - تصادفی نیست. این بیانیه صریح طراح است که انباشت پورت باید بازدهی نمایی به جای خطی ایجاد کند، زیرا بازده های نمایی آستانه ائتلافی را ایجاد می کند که پویایی رقابتی بازی را هدایت می کند.

این فرمول طراحی بازی عمدی است که به صورت ریاضی بیان شده است. شکاف بین درآمد 7 بندری (42 Nn / دور) و درآمد 10 بندری (220 Nn / دور) استدلال اقتصادی برای این است که چرا ائتلاف‌ها در آستانه 7 بندر به جای منتظر ماندن تا 9 یا 10 بندر شکل می‌گیرند. در 7 پورت، بازیکن درآمد کافی برای تهدید دارد - اما اقدامات ائتلافی هنوز می تواند تعیین کننده باشد قبل از اینکه مزیت درآمد از نظر ریاضی غیرقابل حل شود. طراحي كه به تنهايي از طريق تست بازي به اين اعداد رسيده است، ممكن است تقريباً آنها را درست به دست آورد. یک طراح که از ابتدا تابع نمایی را درک کرده باشد، می تواند آستانه را دقیقاً مشخص کند.

اصل گسترده‌تر: وقتی مقیاس‌گذاری نمایی طراحی عمدی بازی است، طراح باید تابع مقیاس‌بندی را مستند کند و تأیید کند که آستانه‌هایی که ایجاد می‌کند در جایی است که می‌خواهد. اگر آستانه ائتلاف باید در 6 پورت باشد نه 7، فرمول درآمد باید تنظیم شود - که مستلزم دانستن فرمول چیست، نه فقط مشاهده این که "بازی احساس تعادل می کند."

واریانس و درک بازیکن

واریانس اندازه گیری میزان انتشار نتایج واقعی حول مقدار مورد انتظار است. واریانس بالا به این معنی است که نتایج فردی می تواند به طور چشمگیری با انتظارات متفاوت باشد. واریانس کم به این معنی است که نتایج به شدت در اطراف میانگین خوشه می شوند. برای طراحان بازی، واریانس یک دکمه کنترلی است که هم بر انصاف ریاضی بازی و هم بر تجربه ذهنی بازی تأثیر می گذارد.

بینش روانشناختی کلیدی: واریانس بالا حتی زمانی که از نظر ریاضی متعادل باشد احساس بدی دارد. چرخاندن سکه کاملاً منصفانه است - 50/50، ارزش مورد انتظار دقیقاً برای هر دو بازیکن برابر است - اما انجام یک بازی که در آن هر تصمیمی با چرخاندن سکه حل می شود، خودسرانه و بی پاداش است. بازیکنان باید احساس کنند که تصمیمات آنها مهم است، به این معنی که آنها به ارتباط علی بین تصمیمات خوب و نتایج خوب نیاز دارند تا در جلسه بازی قابل درک باشد. واریانس بالا آن ارتباط را قطع می کند.

مسئله هگز 7 در مقابل 2 Catan این را به وضوح نشان می دهد. در Catan عدد 7 روی بیشترین هگز چاپ می شود زیرا بیشترین احتمال را با 2d6 (16.7%) دارد. عدد 2 بر روی کمترین هگز (2.8%) چاپ شده است. بازیکنان باتجربه می‌دانند که منابع را در 6s، 8s، 5s و 9s اولویت‌بندی کنند - هگز‌های با احتمال بالا. اما در هر جلسه معین، بازیکنی که تسویه اولیه خود را به درستی روی این هگز ها قرار می دهد، همچنان می تواند به طور قابل توجهی توسط بازیکنی با احتمال کمتری قرار بگیرد، اگر تاس های واقعی از مقادیر مورد انتظار منحرف شوند. این ناعادلانه نیست - این یک تغییر آماری طبیعی است. اما این احساس ناعادلانه است زیرا رابطه بین تصمیم (جایگاه خوب) و نتیجه (درآمد منابع مکرر) توسط واریانس پنهان شده است.

راه‌حل‌های طراحی برای مدیریت ناعادلانه درک شده از واریانس عبارتند از: مکانیک‌های کاهش (بازگردان‌ها، بانک‌های منابع، مکانیسم‌های جبرانی که در اجراهای بدشانسی فعال می‌شوند)، نقاط تصمیم‌گیری که حتی پس از بدشانسی معنادار باقی می‌مانند (بنابراین بازیکنی که ضعیف بازی می‌کند و بازیکنی که امتیازات ضعیفی دارد و بازیکنانی که انتخاب‌های جالبی دارند، هنوز هم گزینه‌های جالبی دارد). (بررسی از طریق واریانس: بازیکن پیشرو درآمد پایدار و قابل پیش بینی می خواهد؛ بازیکنان عقب مانده از رویکردهای با واریانس بالا سود می برند که می تواند شکاف را به سرعت کاهش دهد، حتی اگر مقدار مورد انتظار یکسان باشد).

لحظات Kingmaker از تاس - که در آن پرتاب تصادفی تعیین می کند کدام بازیکن در دور نهایی برنده یا بازنده می شود - مضرترین نتایج واریانس برای رضایت بازیکن است. راه حل حذف تاس نیست، بلکه ساختار بازی اواخر است تا نتایج تاس بر مسیر پیروزی تأثیر بگذارد تا اینکه مستقیماً آن را تعیین کند. وقتی چندین بازیکن موقعیت‌های برنده قابل قبولی دارند که به دور نهایی می‌روند، یک رول شانس برای برنده رضایت‌بخش است، اما برای بازنده‌ها نامشروع به نظر نمی‌رسد - زیرا بازنده‌ها همچنین مسیری برای برنده شدن داشتند که می‌توانست توسط رول‌های شانس خودشان فعال شود.

تست کردن تعادل با ریاضی

چارچوب MEQA (قابلیت اندازه‌گیری، تعامل، کیفیت، دسترس‌پذیری) یک رویکرد ساختاریافته برای تست تعادل بازی ارائه می‌کند. ستون سنجش‌پذیری - M در MEQA - جایی است که ریاضیات به طور رسمی وارد فرآیند طراحی می‌شود: قبل از شروع تست بازی، طراح تعریف می‌کند که "متعادل" به معنای قابل اندازه‌گیری چیست.

برای بازی‌هایی با جناح‌های نامتقارن مانند Neutronium: Parallel Wars، تعادل قابل اندازه‌گیری به این معناست: هر گروه باید در یک باند تحمل تعریف‌شده در نمونه کافی از بازی‌ها در سطوح مهارتی قابل مقایسه، به نرخ بردی دست یابد. اگر هدف 50% نرخ برد (موازنه خالص) با محدوده قابل قبول 10% باشد، در این صورت یک جناح برنده 42% از بازی ها در محدوده تحمل است و جناحی که 63% برنده شده باشد، چنین نیست. اما دستیابی به این استاندارد مستلزم دانستن هدف قبل از آزمایش است - عدم اعلام اینکه نرخ برد مشاهده شده به اندازه کافی نزدیک است.

تعریف معیارها قبل از آزمایش بازی آنچه را که مشاهده می‌کنید تغییر می‌دهد. اگر می‌دانید که نرخ برد به ازای هر جناح را اندازه‌گیری می‌کنید، تکالیف جناحی و نتایج را در طول جلسات پیگیری می‌کنید. اگر می‌دانید که میانگین طول بازی را اندازه می‌گیرید، مُهرهای زمانی را ثبت می‌کنید. این تصمیمات باید قبل از اولین جلسه آزمون پخش گرفته شود، زیرا معیارهای گذشته نگر قابل اعتماد نیستند - حافظه انتخابی است و انسان ها به طور طبیعی جلساتی را که از باورهای موجود پشتیبانی می کنند، به خاطر می آورند.

الزامات اندازه نمونه برای نتیجه گیری تعادل اغلب بزرگتر از انتظار طراحان است. برای یک بازی 2 نفره با 2 جناح، 30 بازی داده های پایه را برای تشخیص عدم تعادل بزرگتر از 15 درصد با اطمینان 80 درصد ارائه می دهد. برای بازی‌های 4 نفره با 6 جناح، فضای ترکیبی بسیار بزرگ‌تر است: 30 بازی تقریباً 5 بازی در هر جفت جناحی به شما می‌دهند - برای تشخیص عدم تعادل شدید کافی نیست و برای تشخیص مزایای ظریف کافی نیست. ناشران مستقل به ندرت منابعی برای اعتبارسنجی آماری دقیق دارند. رویکرد عملی این است که از ریاضیات برای تأیید مقادیر مورد انتظار، آزمایش پخش برای گرفتن موارد پرت و بازخورد جامعه پس از انتشار برای شناسایی مشکلات باقی مانده استفاده شود.

برای اطلاع از چارچوب کامل - از جمله نحوه ادغام قابلیت اندازه‌گیری با سایر ستون‌های MEQA - به MEQA راهنمای چارچوب بازی مراجعه کنید، که رویکرد کامل برای تعریف، اندازه‌گیری، و دستیابی به تعادل در سیستم‌ها را پوشش می‌دهد.

فرمول مقیاس بندی درآمد در Neutronium مستقیماً به جزئیات مکانیک در /mechanics/nuclear-port-scaling متصل می شود، که در آن تابع نمایی در کنار استدلال طراحی برای هر مقدار آستانه ثبت می شود.

ابزارهای احتمالی برای طراحان

چند ابزار ریاضی طراحی بازی را بدون نیاز به آموزش آماری پیشرفته قابل دسترس می‌سازند. اینها مواردی هستند که در عمل کار می کنند.

AnyDice (anydice.com) محاسبه‌گر احتمال تاس استاندارد برای طراحان بازی است. نماد تاس زبان طبیعی را می‌پذیرد (2d6، d4+d8، 3d6 بالاترین عدد 2 را نگه می‌دارد) و توزیع‌های احتمال، مقادیر مورد انتظار و احتمالات تجمعی را برمی‌گرداند. برای هر مکانیکی که شامل تاس می شود، AnyDice باید اولین ابزاری باشد که از آن استفاده می شود. نمودارهای خروجی آن، توزیع‌ها را بلافاصله خوانا و قابل مقایسه می‌کند - دو عبارت مختلف تاس را در کنار هم قرار دهید تا فوراً تفاوت توزیع‌های آنها را ببینید.

شبیه‌سازی‌های صفحه گسترده (Google Sheets، Excel) محاسباتی را انجام می‌دهند که AnyDice نمی‌تواند: انباشت منابع در چندین دور، درآمد با منابع متعدد، طول بازی مورد انتظار تحت مفروضات استراتژیک مختلف. یک مدل صفحه‌گسترده پایه از اقتصاد یک بازی - با ستون‌هایی برای هر نوبت، ردیف‌هایی برای هر نوع منبع، و فرمول‌هایی که نشان‌دهنده درآمد اصلی بازی و مکانیزم هزینه‌ها هستند - ساخت آن 2 تا 3 ساعت طول می‌کشد و مشکلات تعادلی را نشان می‌دهد که برای کشف تجربی آن بیش از 20 تست بازی طول می‌کشد.

شبیه‌سازی مونت کارلو با بالاترین دقت ابزار است: هزاران بار مکانیک بازی را به‌صورت محاسباتی اجرا کنید تا توزیع‌های آماری را در تمام نتایج ممکن ایجاد کنید. برای طراحانی که پس زمینه برنامه نویسی دارند، پایتون با NumPy برای اکثر نیازهای شبیه سازی بازی کافی است. برای طراحان بدون پیش زمینه برنامه نویسی، ابزارهای بصری مونت کارلو و حتی شبیه سازی های مبتنی بر صفحه گسترده وجود دارد که با دانش فنی محدود نتایج معنی داری ایجاد می کند. مونت کارلو برای بازی‌هایی با وابستگی‌های متقابل پیچیده که در آن‌ها محاسبه تحلیلی دشوار است، بسیار ارزشمند است - وقتی چندین رویداد تصادفی با هم تعامل دارند، شبیه‌سازی تخمین‌های توزیع قابل اعتمادتری نسبت به محاسبه دستی ایجاد می‌کند.

چه زمانی باید به ریاضیات در مقابل زمان اجرای تست بازی اعتماد کرد: از ریاضیات برای تأیید تعادل نظری و گرفتن خطاهای آشکار طراحی قبل از سرمایه‌گذاری در تست بازی استفاده کنید. از تست بازی برای کشف نحوه تعامل روان‌شناسی انسان با ریاضیات استفاده کنید - مکان‌هایی که استراتژی بهینه با آنچه بازیکنان واقعا انجام می‌دهند متفاوت است، و مکان‌هایی که ریاضی تعادل را پیش‌بینی می‌کند اما تجربه احساس ناعادلانه می‌کند. هر دو لازم است. هیچکدام به تنهایی کافی نیست.

سوالات متداول