Matematika e lojës së bordit: probabiliteti, vlera e pritshme dhe pse zaret ndihen të padrejtë

Çdo mekanik i lojërave në tavolinë ka një identitet matematikor. Një hedhje zari ka një vlerë të pritur dhe një variancë. Një tërheqje letrash ka një shpërndarje probabiliteti. Një tregti me burime ka një kurs këmbimi që mund të shprehet si një raport. Dizajnerët që e kuptojnë këtë matematikë marrin vendime më të mira sesa dizajnerët që punojnë sipas ndjenjës - jo sepse matematika zëvendëson intuitën, por sepse intuita shpesh nuk pajtohet me realitetin në mënyra që vetëm testimi është i ngadalshëm për t'u korrigjuar.

Ky artikull mbulon konceptet matematikore që kanë më shumë rëndësi për hartimin dhe lojën e lojës në tavolinë: shpërndarjet e probabilitetit, vlerën e pritur, variancën dhe hendekun psikologjik midis asaj që thotë matematika dhe asaj që lojtarët përjetojnë. Pavarësisht nëse po hartoni një lojë ose thjesht po përpiqeni të kuptoni pse seancat tuaja me zare ndihen kaq katastrofike të pafat, korniza këtu do të ndryshojë mënyrën se si mendoni për rastësinë në lojëra.

Pse ka rëndësi matematika në dizajnin e lojës

Një projektues lojërash që nuk ka llogaritur vlerën e pritshme të ekonomisë bazë të veprimit të lojës së tij, nuk e di nëse loja e tyre funksionon. Kjo tingëllon e ashpër, por funksionalisht është e vërtetë. Nëse të ardhurat e pritura nga veprimi më i mirë i disponueshëm janë 4 burime për raund dhe kostoja e veprimit të kushtit të fitores është 30 burime, projektuesi duhet të dijë nëse kjo normë e të ardhurave është e arritshme gjatë kohëzgjatjes tipike të lojës - përpara se të luani testin, jo pas gjashtë seancave duke pyetur veten pse askush nuk fiton kurrë.

Matematika dhe testimi i lojës janë mjete plotësuese, jo alternativa. Matematika ju tregon se çfarë parashikon teoria. Playtesting ju tregon nëse sjellja njerëzore përputhet me teorinë. Shumicën e kohës, ato ndryshojnë - jo sepse matematika është e gabuar, por sepse lojtarët nuk zgjedhin gjithmonë veprimin teorikisht optimal. Hendeku midis lojës teorike optimale dhe lojës aktuale njerëzore është në vetvete një variabël projektimi: një lojë ku vetëm loja optimale prodhon vendime interesante është një lojë më e keqe se ajo ku loja jooptimale krijon gjithashtu situata interesante.

Çdo mekanik ka një vlerë të pritshme dhe projektuesit duhet ta dinë atë. Kur një lojtar Neutronium: Parallel Wars fiton të ardhura nga Portet Bërthamore, ata marrin një vlerë të pritshme të llogaritur saktësisht për port për raund. Kur ata zgjedhin të sulmojnë dhe jo të ndërtojnë, ata po marrin një vendim që ka rezultate të pritshme të llogaritshme në skenarë të ndryshëm. Dizajneri që i njeh këta numra mund të marrë vendime domethënëse të balancës; projektuesi që nuk e bën këtë po hamendje.

Asimetria kritike është se rastësia ndihet e padrejtë edhe kur është e balancuar. Një rrokullisje monedhe 50/50 prodhon koka gjashtë herë me radhë afërsisht 1.6% të rasteve - rrallë, por jo e pamundur. Kur kjo ndodh me një lojtar në një lojë, ata e përjetojnë atë si lojë duke u prishur, jo si një ngjarje normale statistikore. Të kuptuarit pse ndodh kjo - dhe se si projektuesit mund ta strukturojnë rastësinë për t'u ndjerë më pak ndëshkues duke ruajtur të njëjtat probabilitete themelore - është aplikimi praktikisht më i vlefshëm i matematikës së dizajnit të lojës.

Probabiliteti i zareve 101

D6 e vetme është mjeti më i zakonshëm i rastësisë në lojërat e tavolinës dhe gjithashtu një nga më të keqkuptuarit. Një standard d6 prodhon një shpërndarje uniforme: çdo faqe (1 deri në 6) ka një probabilitet 1/6 për të ndodhur dhe vlera e pritur është 3.5. Lojtarët e kuptojnë këtë në mënyrë intuitive, por ata shpesh nuk arrijnë të kuptojnë se çfarë do të thotë për rrotullime të përsëritura gjatë një seance.

dallimi i vetëm d6 kundrejt 2d6 është themelor për të kuptuar pse mekanikë të ndryshëm të zareve ndihen ndryshe. Një d6 e vetme ka një shpërndarje probabiliteti të sheshtë - çdo rezultat nga 1 në 6 është po aq i mundshëm. Dy d6 të mbledhura prodhojnë një kurbë zile: 7 është rezultati më i mundshëm (probabiliteti 6/36 = 16,7%), ndërsa 2 dhe 12 secila kanë probabilitet 1/36 = 2,8%. Shpërndarja 2d6 përqendron rezultatet afër mesit dhe i bën rezultatet ekstreme të rralla. Kjo është arsyeja pse Catan, i cili përdor 2d6 për prodhimin e burimeve, ndihet më pak ndëshkues në rrotulla individuale sesa sistemet me një vegël - shpërndarja natyrisht kufizon rezultatet ekstreme.

Zarët e personalizuar me shpërndarje jo standarde të fytyrës u japin projektuesve kontroll të saktë mbi profilet e probabilitetit që zari standard nuk mund t'i sigurojë. Një vegël me fytyrat [0, 0, 0, 1, 1, 2] ka një karakter shumë të ndryshëm nga një d6: prodhon zero 50% të kohës, një në 33% të kohës dhe dy 17% të kohës, me një vlerë të pritur prej 0.67. Neutronium: Parallel Wars përdor zare të personalizuar D6 me fytyra të koduara me ngjyra: fytyrat blu përfaqësojnë rezultate standarde të luftimit, fytyrat e kuqe përfaqësojnë rezultate kritike dhe fytyrat jeshile përfaqësojnë shkas të aftësive të veçanta. Shpërndarja e llojeve të fytyrave - jo vetëm numri i fytyrave - përcakton probabilitetin e secilit rezultat. Një ngordhje me tre fytyra blu, dy fytyra të kuqe dhe një fytyrë jeshile prodhon rezultate blu 50% të rasteve, e kuqe 33% dhe jeshile 17%. Dizenjuesi mund t'i rregullojë këto raporte duke ndryshuar numrin e fytyrave në vend që të krijojë sisteme rezolucioni matematikisht komplekse.

Zarët shpërthyes janë zare që, kur hedhin vlerën maksimale, hidhen përsëri dhe shtohen rezultatet. Një d6 që shpërthen në 6 ka një vlerë të pritur prej (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × vlerën e pritur të një d6) = 3.5 + (1/6 × 3.5) = 3.5 + 0.583 = 4.083. Natyra e hapur krijon rezultate teorikisht të pakufizuara - një sekuencë me fat shpërthimesh mund të prodhojë totale shumë të larta - gjë që prodhon momentet e "ndjenjës me fat" që disa lojëra kultivojnë qëllimisht. Kombinimi është varianca e lartë dhe rrotullimi i rastësishëm me fat që përcakton lojën.

Zarët e kufizuar janë filozofia e kundërt: kufizimi i rezultatit maksimal për të kufizuar variancën. Sistemet e grumbullimit të zareve ku hidhni shumë zare dhe merrni vetëm rezultatet më të mira N (sistemet e avantazhit si mekanika e avantazhit të D&D 5E ose zaret e shumëfishta të Gumshoe-së) reduktojnë matematikisht variancën duke ruajtur ndjesinë e probabilitetit. Marrja e më e madhes së dy rrotullave d6 e zhvendos vlerën e pritur nga 3,5 në 4,47 - një përmirësim 28% - duke ulur ndjeshëm probabilitetin e rezultateve të ulëta.

Vlera e pritshme në lojërat me burime

Lojërat e akumulimit të burimeve - euro, ndërtues motorësh, strategji ekonomike - janë ndërtuar mbi llogaritjet e vlerës së pritshme që projektuesi duhet t'i kuptojë saktësisht edhe nëse ato nuk shfaqen kurrë në mënyrë të qartë në rregullore. Kur një lojtar zgjedh midis dy veprimeve, ai (me vetëdije ose jo) po krahason vlerën e pritur të atyre veprimeve në horizontin kohor përkatës.

Neutronium: Parallel Wars është një shembull i qartë i vlerës së pritshme të projektuar. Formula e të ardhurave përcakton që një lojtar me N Porte Bërthamore merr të ardhura me një normë që shkallëzohet në mënyrë jolineare me N. Formula specifike — 1 port jep 2 Neutronium njësi për raund; 10 porte japin 220 Nn për raund - nuk është e rastësishme. Është deklarata e qartë e projektuesit që akumulimi i portit duhet të prodhojë kthime eksponenciale dhe jo lineare, sepse kthimet eksponenciale krijojnë pragun e koalicionit që drejton dinamikën konkurruese të lojës.

Kjo formulë është dizajn i qëllimshëm i lojës i shprehur si matematikë. Hendeku midis të ardhurave me 7 porta (42 Nn/raund) dhe të ardhurave me 10 porta (220 Nn/raund) është argumenti ekonomik përse koalicionet formohen në pragun e 7 porteve në vend që të presin deri në 9 ose 10 porte. Në 7 porte, lojtari ka të ardhura të mjaftueshme për të qenë kërcënues - por veprimi i koalicionit mund të jetë ende vendimtar përpara se avantazhi i të ardhurave të bëhet matematikisht i pakapërcyeshëm. Një projektues që arriti në këto numra vetëm përmes testimit të lojës mund t'i marrë ato afërsisht të drejtë; një projektues që e kuptoi funksionin eksponencial që në fillim mund të specifikonte pragun me saktësi.

Parimi më i gjerë: kur shkallëzimi eksponencial është dizajn i qëllimshëm i lojës, projektuesi duhet të dokumentojë funksionin e shkallëzimit dhe të verifikojë që pragjet që krijon janë aty ku ai dëshiron. Nëse pragu i koalicionit duhet të jetë në 6 porte dhe jo në 7, formula e të ardhurave duhet të rregullohet — gjë që kërkon të dihet se cila është formula, jo vetëm të vëzhgosh se "loja ndihet e ekuilibruar".

Varianca dhe perceptimi i lojtarit

Varianca është matja se sa rezultate aktuale shpërndahen rreth vlerës së pritur. Varianca e lartë do të thotë se rezultatet individuale mund të ndryshojnë në mënyrë dramatike nga pritshmëria; varianca e ulët do të thotë se rezultatet grumbullohen ngushtë rreth mesatares. Për projektuesit e lojërave, varianca është një çelës kontrolli që ndikon si në drejtësinë matematikore të lojës, ashtu edhe në përvojën subjektive të luajtjes së saj.

Pikëpamja kryesore psikologjike: varësia e lartë ndihet keq edhe kur është e balancuar matematikisht. Një rrokullisje e monedhës është krejtësisht e drejtë - 50/50, vlera e pritshme saktësisht e barabartë për të dy lojtarët - por të luash një lojë ku çdo vendim zgjidhet nga rrokullisja e monedhës ndihet arbitrare dhe e pakuptimtë. Lojtarët duhet të ndiejnë se vendimet e tyre kanë rëndësi, që do të thotë se ata kanë nevojë që lidhja shkakësore midis vendimeve të mira dhe rezultateve të mira të jetë e perceptueshme brenda seancës së lojës. Varianca e lartë e ndërpret atë lidhje.

Problemi gjashtëkëndor 7 kundër 2 Catan e ilustron këtë qartë. Në Catan, numri 7 shtypet në shumicën e hekseve sepse ka probabilitetin më të lartë me 2d6 (16.7%). Numri 2 është shtypur në numrin më të vogël të hekseve (2,8%). Lojtarët me përvojë dinë t'i japin përparësi burimeve në 6-të, 8-at, 5-at dhe 9-të - hekse me probabilitet të lartë. Por në çdo seancë të caktuar, një lojtar që vendos saktë vendosjet e tij fillestare në këto hekse mund të jetë ende i dobët nga një lojtar me vendosje me probabilitet më të ulët nëse hedhjet aktuale të zareve devijojnë nga vlerat e pritura. Kjo nuk është e padrejtë - është një ndryshim normal statistikor. Por ndihet e padrejtë sepse marrëdhënia midis vendimit (vendosje e mirë) dhe rezultatit (të ardhura të shpeshta nga burimet) errësohet nga varianca.

Zgjidhjet e projektimit për menaxhimin e padrejtësisë së perceptuar nga varianca përfshijnë: mekanika zbutëse (përsëritjet, bankat e burimeve, mekanizmat e rimbushjes që aktivizohen në vrapimet e fatit të keq), pikat e vendimmarrjes që mbeten kuptimplote edhe pas fatit të keq (kështu që një lojtar që rrotullon dobët dhe lojtarët bën zgjedhje të dobëtaka ende opsione të forta të favorshme). (përmbushja nëpërmjet variancës: lojtari kryesor dëshiron të ardhura të qëndrueshme dhe të parashikueshme; lojtarët pasardhës përfitojnë nga qasjet me variancë të lartë që mund të mbyllin hendekun shpejt, edhe pse vlera e pritur është e njëjtë).

Momentet e Kingmaker nga zari - ku një hedhje e rastësishme përcakton se cili lojtar fiton ose humbet në raundin e fundit - janë rezultatet më të dëmshme të variancës për kënaqësinë e lojtarëve. Zgjidhja nuk është eliminimi i zareve, por strukturimi i lojës së vonë në mënyrë që rezultatet e zarit të ndikojnë në rrugën drejt fitores në vend që ta përcaktojnë atë drejtpërdrejt. Kur shumë lojtarë kanë pozicione fituese të qëndrueshme që shkojnë në raundin përfundimtar, një listë me fat është e kënaqshme për fituesin, por nuk ndihet e paligjshme për humbësit - sepse humbësit kishin gjithashtu një rrugë për të fituar që mund të ishte mundësuar nga listat e tyre me fat.

Testimi i bilancit me matematikë

Kuadri MEQA (Matja, Angazhimi, Cilësia, Aksesueshmëria) ofron një qasje të strukturuar për testimin e bilancit të lojës. Shtylla e matshmërisë — M në MEQA — është vendi ku matematika hyn zyrtarisht në procesin e projektimit: përpara se të fillojë testimi i lojës, projektuesi përcakton se çfarë do të thotë "i balancuar" në terma të matshëm.

Për një lojë me fraksione asimetrike si Neutronium: Parallel Wars, bilanc i matshëm do të thotë: çdo fraksion duhet të arrijë një normë fitimi brenda një brezi të caktuar tolerance në një kampion të mjaftueshëm lojërash në nivele të krahasueshme aftësish. Nëse objektivi është norma e fitores 50% (balanca e pastër) me një diapazon të pranueshëm ±10%, atëherë një fraksion që fiton 42% të lojërave është brenda tolerancës dhe një fraksion që fiton 63% jo. Por arritja e këtij standardi kërkon njohjen e objektivit përpara testimit - të mos deklarohet post-hoc se normat e vëzhguara të fitimeve janë "mjaft afër".

Përcaktimi i metrikës përpara testimit të lojës ndryshon atë që vëzhgon. Nëse e dini se po matni shkallën e fitimit për fraksion, ju gjurmoni detyrat dhe rezultatet e fraksioneve nëpër sesione. Nëse e dini se po matni gjatësinë mesatare të lojës, ju regjistroni vulat kohore. Këto vendime duhet të merren përpara seancës së parë të testit të luajtjes, sepse metrikat retrospektive nuk janë të besueshme - kujtesa është selektive dhe njerëzit natyrshëm kujtojnë seancat që mbështesin besimet ekzistuese.

Kërkesat për madhësinë e mostrës për konkluzionet e balancës janë shpesh më të mëdha se sa presin projektuesit. Për një lojë me 2 lojtarë me 2 fraksione, 30 lojëra ofrojnë të dhëna bazë për zbulimin e çekuilibrave më të mëdhenj se 15% me besim 80%. Për lojërat me 4 lojtarë me 6 fraksione, hapësira e kombinimit është shumë më e madhe: 30 lojëra ju japin afërsisht 5 lojëra për çift fraksionesh — mezi të mjaftueshme për zbulimin e çekuilibrit ekstrem dhe të pamjaftueshme për zbulimin e avantazheve delikate. Botuesit indie rrallë kanë burime për vërtetim rigoroz statistikor; qasja praktike është përdorimi i matematikës për të verifikuar vlerat e pritshme, testimi i luajtjes për të kapur vlerat e jashtme dhe reagimet e komunitetit pas publikimit për të identifikuar çështjet e mbijetuara.

Për kuadrin e plotë — duke përfshirë mënyrën se si Matja integrohet me shtyllat e tjera MEQA — shihni MEQA udhëzuesin e kornizës së bilancit të lojës, i cili mbulon qasjen e plotë për përcaktimin, matjen dhe arritjen e balancës në lojë.

Formula e shkallëzimit të të ardhurave në Neutronium lidhet drejtpërdrejt me detajin e mekanikës në /mechanics/nuclear-port-scaling, ku funksioni eksponencial dokumentohet së bashku me arsyetimin e projektimit për çdo vlerë pragu.

Mjetet e probabilitetit për projektuesit

Disa mjete e bëjnë matematikën e dizajnit të lojës të arritshme pa kërkuar trajnim të avancuar statistikor. Këto janë ato që funksionojnë në praktikë.

AnyDice (anydice.com) është kalkulatori standard i probabilitetit të zarit për projektuesit e lojërave. Ai pranon shënimin e zareve të gjuhës natyrore (2d6, d4+d8, 3d6 mbaj 2 më të lartë) dhe kthen shpërndarjet e probabilitetit, vlerat e pritura dhe probabilitetet kumulative. Për çdo mekanik që përfshin zare, AnyDice duhet të jetë mjeti i parë i konsultuar. Grafikët e tij të daljes i bëjnë shpërndarjet menjëherë të lexueshme dhe të krahasueshme — ngjitni dy shprehje të ndryshme zaresh krah për krah për të parë menjëherë se si ndryshojnë shpërndarjet e tyre.

Simulimet e fletëllogaritjes (Google Sheets, Excel) trajtojnë llogaritjet që AnyDice nuk mundet: grumbullimi i burimeve në raunde të shumta, të ardhura me burime të shumta, kohëzgjatja e pritur e lojës sipas supozimeve të ndryshme strategjike. Një model bazë i fletëllogaritës së ekonomisë së një loje - me kolona për çdo kthesë, rreshta për çdo lloj burimi dhe formula që përfaqësojnë të ardhurat bazë të lojës dhe mekanikën e shpenzimeve - duhen 2-3 orë për t'u ndërtuar dhe zbulon çështjet e balancës që do të duheshin mbi 20 teste luajtjeje për t'u zbuluar në mënyrë empirike.

Simulation Monte Carlo është mjeti me precizion më të lartë: ekzekutimi i mekanikës së lojës mijëra herë në mënyrë llogaritëse për të prodhuar shpërndarje statistikore në të gjitha rezultatet e mundshme. Për dizajnerët me sfond programimi, Python me NumPy është i mjaftueshëm për shumicën e nevojave të simulimit të lojërave. Për dizajnerët pa sfond programimi, ka mjete vizuale Monte Carlo dhe madje simulime të bazuara në fletëllogaritëse që prodhojnë rezultate kuptimplota me njohuri të kufizuara teknike. Monte Carlo është më i vlefshëm për lojërat me ndërvarësi komplekse ku llogaritja analitike është e vështirë - kur shumë ngjarje të rastësishme ndërveprojnë, simulimi prodhon vlerësime më të besueshme të shpërndarjes sesa llogaritjet manuale.

Kur t'i besoni matematikës kundrejt kohës kur duhet të luani testin: përdorni matematikën për të verifikuar ekuilibrin teorik dhe për të kapur gabimet e dukshme të dizajnit përpara se të investoni në testimin e lojës. Përdorni testimin e lojës për të zbuluar se si psikologjia njerëzore ndërvepron me matematikën - vendet ku strategjia optimale ndryshon nga ajo që bëjnë lojtarët në të vërtetë dhe vendet ku matematika parashikon ekuilibrin, por përvoja ndihet e padrejtë. Të dyja janë të nevojshme. Asnjëra nuk është e mjaftueshme vetëm.

Pyetjet e bëra më shpesh