すべてのボード ゲーム メカニックには数学的同一性があります。サイコロの目には期待値と分散があります。カードのドローには確率分布があります。資源取引には比率で表すことができる為替レートがあります。この数学を理解しているデザイナーは、感覚に基づいて作業するデザイナーよりも優れた意思決定を下します。数学が直感に取って代わるからではなく、テストだけでは修正するのが遅いという点で直感が現実と一致しないことが多いからです。
この記事では、ボード ゲームのデザインとプレイにとって最も重要な数学的概念、つまり確率分布、期待値、分散、数学で示されることとプレイヤーが経験することの間の心理的ギャップについて説明します。ゲームをデザインしている場合でも、サイコロ セッションが壊滅的に不運に感じられる理由を理解しようとしているだけでも、ここでのフレームワークはゲームにおけるランダム性についての考え方を変えるでしょう。
ゲーム デザインで数学が重要な理由
A ゲームのコアとなるアクション エコノミーの期待値を計算していないゲーム デザイナーは、自分のゲームが機能するかどうかわかりません。これは厳しいように聞こえますが、機能的には真実です。利用可能な最高のアクションから期待される収入がラウンドあたり 4 リソースで、勝利条件のアクションのコストが 30 リソースである場合、デザイナーは、なぜ誰も勝てないのか疑問に思っている 6 つのセッションの後ではなく、プレイテストの前に、ゲームの通常の期間にわたってその収入率が達成可能かどうかを知る必要があります。
Math とプレイテストは補完的なツールであり、代替ツールではありません。数学は理論が予測することを教えてくれます。プレイテストでは、人間の行動が理論と一致するかどうかがわかります。ほとんどの場合、それらは分岐します。計算が間違っているからではなく、プレイヤーが理論的に最適なアクションを常に選択するとは限らないからです。理論上の最適なプレイと実際の人間のプレイとの間のギャップ自体が設計変数です。最適なプレイのみが興味深い決定を生み出すゲームは、最適ではないプレイが興味深い状況を生み出すゲームよりも悪いゲームです。
すべてのメカニックには期待値があり、デザイナーはそれを知っておく必要があります。 Neutronium: Parallel Wars プレイヤーが Nuclear Port から収入を得るとき、ラウンドごとにポートごとに正確に計算された期待値を受け取ることになります。彼らが建設ではなく攻撃を選択するとき、彼らはさまざまなシナリオの下で計算可能な期待される結果をもたらす決定を下していることになります。これらの数値を知っている設計者は、意味のあるバランスの決定を行うことができます。そうでないデザイナーは推測しています。
重要な非対称性は、たとえバランスが取れていても ランダム性が不公平に感じられることです。 50/50 のコイン投げでは、約 1.6% の確率で 6 回連続で表が生成されます。まれではありますが、不可能ではありません。ゲーム中にそれがプレイヤーに起こると、彼らはそれを通常の統計的な出来事としてではなく、ゲームが壊れたとして経験します。なぜこれが起こるのか、そして、基本的な確率を同じに保ちながら、デザイナーが罰を軽減するためにランダム性をどのように構築できるのかを理解することは、ゲーム デザイン数学の最も実践的に価値のある応用です。
サイコロの確率 101
シングル d6 はボード ゲームで最も一般的なランダム化ツールですが、最も誤解されているツールの 1 つでもあります。標準の d6 は一様な分布を生成します。各面 (1 ～ 6) の発生確率は 1/6 で、期待値は 3.5 です。プレイヤーはこれを直観的に理解していますが、セッション中に繰り返されるロールが何を意味するのか理解できないことがよくあります。
単一 d6 と 2d6 の区別 は、サイコロの仕組みが異なると感じられる理由を理解するための基礎となります。単一の d6 は平坦な確率分布を持ち、1 から 6 までのすべての結果の可能性が等しくなります。2 つの d6 を合計すると、釣鐘曲線が生成されます。7 が最も可能性の高い結果 (確率 6/36 = 16.7%) ですが、2 と 12 の確率はそれぞれ 1/36 = 2.8% です。 2d6 分布では結果が中央付近に集中し、極端な結果はまれになります。これが、リソース生産に 2d6 を使用する Catan が、シングル ダイ システムよりも個々のロールに対する罰則が少ない理由です。配布により極端な結果が自然に制限されます。
非標準の面分布を持つカスタム ダイス により、デザイナーは標準のダイスでは提供できない確率プロファイルを正確に制御できます。 [0, 0, 0, 1, 1, 2] の面を持つサイコロは、d6 とは大きく異なる性質を持っています。50% の確率で 0、33% の確率で 1 つ、17% の確率で 2 つを生成し、期待値は 0.67 です。 Neutronium: Parallel Wars は、色分けされた面を持つカスタム D6 ダイスを使用します。青い面は標準的な戦闘結果を表し、赤い面は重要な結果を表し、緑の面は特別な能力のトリガーを表します。顔の数だけでなく、顔のタイプの分布によって、それぞれの結果の確率が決まります。青い面が 3 つ、赤い面が 2 つ、緑の面が 1 つあるサイコロは、50% の確率で青、33% の赤、17% の緑の結果を生成します。設計者は、数学的に複雑な解像度システムを作成するのではなく、面の数を変更することでこれらの比率を調整できます。
爆発サイコロ 最大値を振ったときに再度振って結果が加算されるサイコロです。 6 で爆発する d6 の期待値は、(1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6 の期待値) = 3.5 + (1/6 × 3.5) = 3.5 + 0.583 = 4.083 となります。オープンエンドの性質により、理論的には制限のない結果が生み出されます。幸運な爆発の連続により、非常に高い合計が得られる可能性があります。これにより、一部のゲームが意図的に醸成する「幸運を感じる」瞬間が生まれます。そのトレードオフは、高い分散と時折ゲームを決定づけるラッキーロールです。
境界ダイス は反対の哲学です。つまり、最大の結果に上限を設けて分散を抑制します。複数のサイコロを振って、最良の N 個の結果だけを獲得するサイコロ プール システム (D&D 5E のアドバンテージ メカニズムや、Gumshoe の複数のサイコロの最高値取得などのアドバンテージ システム) は、確率的な感覚を維持しながら数学的に分散を削減します。 2 つの d6 ロールのうち高い方を取ると、期待値が 3.5 から 4.47 にシフトし、28% 向上します。同時に、低い結果の確率が大幅に減少します。
リソース ゲームの期待値
資源蓄積ゲーム (ユーロ、エンジン ビルダー、経済戦略) は、ルールブックに明示的に登場しない場合でも、デザイナーが正確に理解しなければならない期待値の計算に基づいて構築されています。プレイヤーが 2 つのアクションのいずれかを選択するとき、(意識的かどうかにかかわらず) 関連する期間におけるそれらのアクションの期待値を比較します。
Neutronium: Parallel Wars の Nuclear Port 収入システムは、 設計期待値 の明示的な例です。収入の計算式は、N Nuclear Port を持つプレイヤーが N に応じて非線形にスケールされるレートで収入を受け取ることを確立します。特定の計算式では、ラウンドごとに 1 つのポートで 2 Neutronium ユニットが得られます。 10 ポートではラウンドごとに 220 Nn が得られますが、これは偶然ではありません。指数関数的な利益はゲームの競争力学を推進する連合のしきい値を生み出すため、ポートの蓄積は線形ではなく指数関数的な利益を生み出すべきであるという設計者の明示的な声明です。
この計算式は数学として表現された意図的なゲームデザインです。 7 ポートの収入 (42 Nn/ラウンド) と 10 ポートの収入 (220 Nn/ラウンド) の差が、なぜ 9 ポートまたは 10 ポートまで待たずに 7 ポートのしきい値で連合が形成されるのかについての経済的議論です。 7 つの港では、プレーヤーは脅威になるほどの十分な収入を持っていますが、収入の優位性が数学的に克服できなくなる前に、連合の行動が決定的なものになる可能性があります。プレイテストだけでこれらの数値に到達したデザイナーは、それらをほぼ正確に導き出すかもしれません。指数関数を最初から理解している設計者は、しきい値を正確に指定できます。
より広範な原則: 指数関数的スケーリングが意図的なゲーム設計である場合、デザイナーはスケーリング関数を文書化し、それが作成するしきい値が意図した場所にあることを検証する必要があります。連合のしきい値を 7 ポートではなく 6 ポートに設定する必要がある場合は、収入計算式を調整する必要があります。そのためには、単に「ゲームのバランスが取れていると感じる」ことを観察するだけでなく、計算式が何であるかを知る必要があります。
分散とプレイヤーの認識
Variance は、実際の結果が期待値の周りにどれだけ広がっているかを示す尺度です。分散が大きいということは、個々の結果が期待とは大きく異なる可能性があることを意味します。分散が低いということは、結果が平均の周囲に密に集まっていることを意味します。ゲーム デザイナーにとって、分散はゲームの数学的公平性とゲームをプレイする主観的なエクスペリエンスの両方に影響を与える制御ノブです。
重要な心理学的洞察: 高い分散は、たとえ数学的にバランスが取れていても不快に感じます。コイン投げは完全に公平です - 50/50、両方のプレイヤーの期待値はまったく同じです - しかし、すべての決定がコイン投げで解決されるゲームをプレイするのは恣意的でやりがいがないと感じます。プレイヤーは自分の決定が重要であると感じる必要があります。つまり、ゲーム セッション内で、良い決定と良い結果の間の因果関係が認識できる必要があります。差異が大きいと、その接続が切断されます。
7 対 2 カタン ヘックス問題 はこれを明確に示しています。カタンでは、2d6 (16.7%) の確率が最も高いため、数字の 7 が最も多くのヘクスに印刷されます。数字の 2 は最も少ないヘクス (2.8%) に印刷されます。経験豊富なプレイヤーは、6、8、5、9、つまり確率の高いヘクスにリソースを優先することを知っています。しかし、どのセッションでも、これらのヘクスに最初の入植地を正しく配置したプレイヤーでも、実際のサイコロの目が期待値から逸脱した場合、より低い確率で配置したプレイヤーよりも大幅にパフォーマンスが劣る可能性があります。これは不公平ではなく、正常な統計上の変動です。しかし、決定 (適切な配置) と結果 (頻繁なリソース収入) の関係が差異によって曖昧になっているため、不公平に感じられます。
分散による不公平感を管理するための設計ソリューションには、軽減メカニズム (リロール、リソースバンク、不運なランで有効になるキャッチアップメカニズム)、不運の後でも意味のある意思決定ポイント(したがって、ロールが不十分なプレイヤーにも興味深い選択肢が残る)、および後続のプレーヤーに有利な分散 (分散によるキャッチアップ: 先頭のプレーヤーは安定した予測可能な収入を望んでいます。後続のプレーヤーは、期待値が同じであっても、ギャップを迅速に埋めることができる高分散アプローチの恩恵を受けます)。
キングメーカー サイコロの瞬間 (ランダムな出目によって最終ラウンドでどのプレイヤーが勝つか負けるかが決まります) は、プレイヤーの満足度にとって最も有害な変動結果です。解決策は、サイコロを排除することではなく、サイコロの結果が勝利への道を完全に決定するのではなく、影響を与えるようにゲーム終盤を構成することです。複数のプレーヤーが最終ラウンドに勝ち残る可能性のあるポジションを持っている場合、ラッキー ロールは勝者にとって満足のいくものですが、敗者にとっては不当なものとは感じません。なぜなら、敗者にも自分のラッキー ロールによって可能になる可能性のある勝利への道があったからです。
数学によるバランステスト
MEQA フレームワーク (測定可能性、エンゲージメント、品質、アクセシビリティ) は、ゲーム バランス テストへの構造化されたアプローチを提供します。 測定可能性の柱 (MEQA の M) は、設計プロセスに数学が正式に入る場所です。プレイテストが始まる前に、デザイナーは「バランスのとれた」とは測定可能な用語で何を意味するかを定義します。
Neutronium: Parallel Wars のような非対称の陣営を含むゲームの場合、測定可能なバランスとは、同等のスキル レベルのゲームの十分なサンプル全体で、各陣営が定義された許容範囲内の勝率を達成することを意味します。目標が 50% の勝率 (純粋なバランス) で、±10% の許容範囲である場合、ゲームの 42% で勝利する陣営は許容範囲内ですが、63% で勝利する陣営は許容範囲外となります。しかし、この基準を達成するには、テスト前に目標を知る必要があります。観測された勝率が「十分に近い」と事後的に宣言するのではありません。
プレイテスト前のメトリクスの定義 により、観察される内容が変わります。派閥ごとの勝率を測定していることがわかっている場合は、セッション全体で派閥の割り当てと結果を追跡します。平均ゲーム時間を測定していることがわかっている場合は、タイムスタンプを記録します。これらの決定は、最初のプレイテスト セッションの前に行う必要があります。遡及的な指標は信頼できないためです。記憶は選択的であり、人間は既存の信念を裏付けるセッションを自然に覚えています。
バランス結論のためのサンプル サイズ要件 は、多くの場合、設計者が予想するよりも大きくなります。 2 つの派閥による 2 プレイヤー ゲームの場合、30 ゲームで 80% の信頼度で 15% を超える不均衡を検出するためのベースライン データが提供されます。 6 つの派閥を含む 4 人用ゲームの場合、組み合わせスペースはさらに大きくなります。30 ゲームでは、派閥ペアごとに約 5 ゲームが得られます。これは、極端な不均衡を検出するにはかろうじて十分ですが、微妙な利点を検出するには不十分です。インディーパブリッシャーが厳密な統計検証のためのリソースを持っていることはほとんどありません。実際的なアプローチは、数学を使用して期待値を検証し、プレイテストを使用して外れ値を見つけ、リリース後のコミュニティからのフィードバックを使用して残っている問題を特定することです。
Measurability が他の MEQA 柱と統合する方法を含む完全なフレームワークについては、MEQA ゲーム バランス フレームワーク ガイド を参照してください。これには、ゲーム システム全体のバランスを定義、測定、達成するための完全なアプローチが記載されています。
Neutronium の収入スケーリング式は、/mechanics/nuclear-port-scaling にある機構の詳細に直接接続されており、指数関数が各しきい値の設計推論とともに文書化されています。
デザイナー向け確率ツール
いくつかのツールを使用すると、高度な統計トレーニングを必要とせずにゲーム設計の数学にアクセスできるようになります。これらは実際に機能するものです。
AnyDice (anydice.com) は、ゲーム デザイナー向けの標準的なサイコロ確率計算ツールです。自然言語のサイコロ表記 (2d6、d4+d8、3d6 は最高の 2 を維持) を受け入れ、確率分布、期待値、累積確率を返します。サイコロを使用するメカニズムの場合、最初に AnyDice を参照する必要があります。出力グラフにより、分布がすぐに読みやすく比較可能になります。2 つの異なるサイコロ式を並べて貼り付けると、分布がどのように異なるかをすぐに確認できます。
Spreadsheet シミュレーション (Google Sheets、Excel) は、AnyDice ができない計算を処理します: 複数のラウンドにわたるリソースの蓄積、複数のソースによる収入、さまざまな戦略的仮定の下での予想されるゲームの長さ。ゲームの経済の基本的なスプレッドシート モデル (各ターンの列、各リソース タイプの行、およびゲームの中核となる収入と支出の仕組みを表す式を含む) の構築には 2 ～ 3 時間を要し、経験的に発見するには 20 以上のプレイテストが必要なバランスの問題を明らかにします。
モンテカルロ シミュレーション は最高精度のツールです。ゲームのメカニクスを計算上何千回も実行して、考えられるすべての結果にわたる統計分布を生成します。プログラミングのバックグラウンドを持つデザイナーの場合、Python と NumPy でほとんどのゲーム シミュレーションのニーズに十分対応できます。プログラミングの経験のない設計者向けに、限られた技術知識でも有意義な結果を生み出すビジュアル モンテカルロ ツールやスプレッドシート ベースのシミュレーションもあります。モンテ カルロは、分析計算が困難な複雑な相互依存関係を持つゲームで最も価値があります。複数のランダム イベントが相互作用する場合、シミュレーションは手動計算よりも信頼性の高い分布推定値を生成します。
数学を信頼する場合とプレイテストを行う場合: 数学を使用して理論的なバランスを検証し、プレイテストに投資する前に明らかな設計エラーを見つけます。プレイテストを使用して、人間の心理が数学とどのように相互作用するかを発見します。最適な戦略がプレイヤーの実際の行動と異なる箇所や、数学がバランスを予測しているにもかかわらず体験が不公平に感じられる箇所などです。どちらも必要です。どちらか一方だけでは十分ではありません。
よくある質問
A 数学が見えるように設計されたゲーム
Neutronium: Parallel Wars の収入スケーリング、連合のしきい値、およびサイコロ システムは、明示的な確率数学に基づいて構築されています。発売アップデートの待機リストに参加してください。
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