Masa Oyunu Matematiği: Olasılık, Beklenen Değer ve Zarların Neden Haksız Hissettirdiği

Her masa oyunu teknisyeninin matematiksel bir kimliği vardır. Bir zar atışının beklenen bir değeri ve varyansı vardır. Bir kart çekilişinin bir olasılık dağılımı vardır. Bir kaynak ticaretinin oran olarak ifade edilebilecek bir döviz kuru vardır. Bu matematiği anlayan tasarımcılar, hissederek çalışan tasarımcılardan daha iyi kararlar verirler. Bunun nedeni, matematiğin sezginin yerini alması değil, sezginin gerçeklikle sıklıkla çelişmesi ve tek başına testin düzeltilmesinin yavaş olmasıdır.

Bu makale, masa oyunu tasarımı ve oynanışı için en önemli matematik kavramlarını kapsar: olasılık dağılımları, beklenen değer, varyans ve matematiğin söyledikleri ile oyuncuların deneyimlediği arasındaki psikolojik boşluk. İster bir oyun tasarlıyor olun, ister sadece zar oturumlarınızın neden bu kadar felaket derecede şanssız hissettirdiğini anlamaya çalışıyor olun, buradaki çerçeve, oyunlardaki rastgelelik hakkındaki düşüncelerinizi değiştirecek.

Oyun Tasarımında Matematik Neden Önemlidir

Oyunun temel aksiyon ekonomisinin beklenen değerini hesaplamayan bir oyun tasarımcısı, oyununun çalışıp çalışmadığını bilmiyor. Bu kulağa sert gelebilir ama işlevsel olarak doğrudur. Mevcut en iyi aksiyondan beklenen gelir tur başına 4 kaynak ve zafer koşulu aksiyonunun maliyeti 30 kaynak ise, tasarımcının bu gelir oranına oyunun tipik süresi boyunca ulaşılıp ulaşılamayacağını bilmesi gerekir (oyun testinden önce, neden kimsenin kazanamayacağını merak eden altı oturumdan sonra değil).

Matematik ve oyun testi alternatif değil tamamlayıcı araçlardır. Matematik size teorinin ne öngördüğünü söyler. Oyun testi size insan davranışının teoriyle eşleşip eşleşmediğini söyler. Çoğu zaman birbirlerinden ayrılırlar; matematik yanlış olduğu için değil, oyuncular her zaman teorik olarak en uygun eylemi seçmedikleri için. Teorik optimal oyun ile gerçek insan oyunu arasındaki farkın kendisi de bir tasarım değişkenidir: Yalnızca optimal oyunun ilginç kararlar ürettiği bir oyun, optimalin altındaki oyunun da ilginç durumlar yarattığı bir oyundan daha kötü bir oyundur.

Her mekaniğin beklenen bir değeri vardır ve tasarımcıların bunu bilmesi gerekir. Bir Neutronium: Parallel Wars oyuncusu Nükleer Bağlantı Noktalarından gelir elde ettiğinde, tur başına bağlantı noktası başına tam olarak hesaplanmış bir beklenen değer alır. İnşa etmek yerine saldırmayı seçtiklerinde, farklı senaryolar altında hesaplanabilir beklenen sonuçları olan bir karar veriyorlar. Bu rakamları bilen tasarımcı anlamlı denge kararları verebilir; bunu yapmayan tasarımcı tahmin yürütüyordur.

Kritik asimetri, rastgeleliğin dengeli olduğunda bile adaletsiz hissettirmesidir. 50/50 yazı-tura atıldığında arka arkaya altı kez tura gelir (yaklaşık %1,6 oranında) - nadiren ama imkansız değil. Bir oyundaki bir oyuncunun başına bu durum geldiğinde, bunu normal bir istatistiksel olay olarak değil, oyunun bozulması olarak algılıyorlar. Bunun neden olduğunu anlamak ve tasarımcıların aynı temel olasılıkları korurken rastgeleliği daha az cezalandırıcı olacak şekilde nasıl yapılandırabileceklerini anlamak, oyun tasarımı matematiğinin pratik açıdan en değerli uygulamasıdır.

Zar Olasılığı 101

Tek d6, masa oyunlarında en yaygın rastgeleleştirme aracıdır ve aynı zamanda en yanlış anlaşılanlardan biridir. Standart bir d6 düzgün bir dağılım üretir: her yüzün (1'den 6'ya kadar) oluşma olasılığı 1/6'dır ve beklenen değer 3,5'tir. Oyuncular bunu sezgisel olarak anlar ancak genellikle bir oturumda tekrarlanan zar atmanın ne anlama geldiğini anlayamazlar.

Tek d6 ve 2d6 ayrımı, farklı zar mekaniklerinin neden farklı hissettirdiğini anlamanın temelini oluşturur. Tek bir d6'nın düz bir olasılık dağılımı vardır; 1'den 6'ya kadar her sonuç eşit derecede olasıdır. İki d6'nın toplamı bir çan eğrisi üretir: 7 en olası sonuçtur (olasılık 6/36 = %16,7), 2 ve 12'nin her birinin olasılığı ise 1/36 = %2,8'dir. 2d6 dağılımı ortadaki sonuçları yoğunlaştırır ve aşırı sonuçları nadir hale getirir. Kaynak üretimi için 2d6'yı kullanan Catan'ın tek kalıplı sistemlere göre bireysel atışlarda daha az cezalandırıcı olmasının nedeni budur; dağıtım doğal olarak aşırı sonuçları sınırlar.

Standart olmayan yüz dağılımlarına sahip özel zarlar, tasarımcılara standart zarların sağlayamayacağı olasılık profilleri üzerinde hassas kontrol sağlar. Yüzleri [0, 0, 0, 1, 1, 2] olan bir zar, d6'dan çok farklı bir karaktere sahiptir: zamanın %50'sinde sıfır, %33'ünde bir ve %17'sinde iki tane üretir ve beklenen değeri 0,67'dir. Neutronium: Parallel Wars, renk kodlu yüzlere sahip özel D6 zarlarını kullanır: mavi yüzler standart dövüş sonuçlarını, kırmızı yüzler kritik sonuçları ve yeşil yüzler özel yetenek tetikleyicilerini temsil eder. Yalnızca yüz sayısı değil, yüz türlerinin dağılımı da her sonucun olasılığını belirler. Üç mavi yüzü, iki kırmızı yüzü ve bir yeşil yüzü olan bir zar, zamanın %50'sinde mavi, %33'ünde kırmızı ve %17'sinde yeşil sonuçlar üretir. Tasarımcı, matematiksel açıdan karmaşık çözünürlük sistemleri oluşturmak yerine yüz sayısını değiştirerek bu oranları ayarlayabilir.

Patlayan zarlar, maksimum değer atıldığında tekrar atılan ve sonuçların eklendiği zarlardır. 6'da patlayan bir d6'nın beklenen değeri (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6'nın beklenen değeri) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Açık uçlu doğa teorik olarak sınırsız sonuçlar yaratır - şanslı bir patlama dizisi çok yüksek toplamlar üretebilir - bu da bazı oyunların kasıtlı olarak geliştirdiği "şanslı hissetme" anlarını üretir. Bunun karşılığında yüksek değişkenlik ve ara sıra oyunun belirleyicisi olan şanslı atışlar yapılır.

Sınırlı zar bunun tam tersi bir felsefedir: Varyansı sınırlamak için maksimum sonucu sınırlamak. Birden fazla zar attığınız ve yalnızca en iyi N sonuçlarını aldığınız zar havuzu sistemleri (D&D 5E'nin avantaj mekaniği veya Gumshoe'nun en yüksek çoklu zar alma sistemi gibi avantajlı sistemler), olasılık hissini korurken varyansı matematiksel olarak azaltır. İki d6 atışından yüksek olanı almak, beklenen değeri 3,5'tan 4,47'ye kaydırır; bu %28'lik bir iyileşmedir ve düşük sonuç olasılığını önemli ölçüde azaltır.

Kaynak Oyunlarında Beklenen Değer

Kaynak biriktirme oyunları (Euro, motor üreticileri, ekonomik stratejiler) kural kitabında hiçbir zaman açıkça yer almasalar bile tasarımcının tam olarak anlaması gereken beklenen değer hesaplamaları üzerine kuruludur. Bir oyuncu iki eylem arasında seçim yaptığında, (bilinçli olarak veya bilinçsiz olarak) bu eylemlerin ilgili zaman dilimindeki beklenen değerini karşılaştırmaktadır.

Neutronium: Parallel Wars'nin Nükleer Liman gelir sistemi, tasarlanmış beklenen değerin açık bir örneğidir. Gelir formülü, N Nükleer Bağlantı Noktasına sahip bir oyuncunun, N ile doğrusal olmayan bir şekilde ölçeklenen bir oranda gelir elde edeceğini belirler. Özel formül — 1 bağlantı noktası, tur başına 2 Neutronium birim verir; 10 bağlantı noktası tur başına 220 Nn verir - bu tesadüf değildir. Bu, tasarımcının bağlantı noktası birikiminin doğrusal değil üstel getiriler üretmesi gerektiği yönündeki açık ifadesidir; çünkü üstel getiriler, oyunun rekabetçi dinamiklerini yönlendiren koalisyon eşiğini oluşturur.

Bu formül matematik olarak ifade edilen kasıtlı oyun tasarımıdır. 7 liman geliri (42 Nn/tur) ile 10 liman geliri (220 Nn/tur) arasındaki fark, koalisyonların neden 9 veya 10 limana kadar beklemek yerine 7 liman eşiğinde oluşturulduğunun ekonomik argümanıdır. 7 limanda oyuncunun tehdit oluşturmaya yetecek kadar geliri var; ancak gelir avantajı matematiksel olarak aşılamaz hale gelmeden önce koalisyon eylemi yine de belirleyici olabilir. Bu sayılara yalnızca oyun testleri yoluyla ulaşan bir tasarımcı, bunları yaklaşık olarak doğru bir şekilde elde edebilir; Üstel fonksiyonu başından beri anlayan bir tasarımcı eşiği tam olarak belirleyebilirdi.

Daha geniş prensip: Üstel ölçeklendirme kasıtlı oyun tasarımı olduğunda, tasarımcının ölçeklendirme işlevini belgelemesi ve oluşturduğu eşiklerin istediği yerde olduğunu doğrulaması gerekir. Koalisyon eşiğinin 7 yerine 6 limanda olması gerekiyorsa, gelir formülünün ayarlanması gerekir. Bu da yalnızca "oyunun dengeli hissettirdiğini" gözlemlemek değil, formülün ne olduğunu bilmeyi gerektirir.

Farklılık ve Oyuncu Algısı

Varyans, gerçek sonuçların beklenen değer etrafında ne kadar yayıldığının ölçüsüdür. Yüksek varyans, bireysel sonuçların beklentilerden önemli ölçüde farklı olabileceği anlamına gelir; düşük varyans, sonuçların ortalama etrafında sıkı bir şekilde kümelendiği anlamına gelir. Oyun tasarımcıları için varyans, hem oyunun matematiksel adaletini hem de oyunu oynamanın öznel deneyimini etkileyen bir kontrol düğmesidir.

Temel psikolojik analiz: Yüksek varyans, matematiksel olarak dengelendiğinde bile kötü hissettirir. Yazı tura atmak tamamen adildir - 50/50, beklenen değer her iki oyuncu için de tam olarak eşittir - ancak her kararın yazı tura atılarak çözüldüğü bir oyun oynamak keyfi ve ödülsüz hissettirir. Oyuncuların kararlarının önemli olduğunu hissetmeleri gerekir, bu da iyi kararlar ile iyi sonuçlar arasındaki nedensel bağlantının oyun oturumunda algılanabilir olması gerektiği anlamına gelir. Yüksek varyans bu bağlantıyı koparır.

7'ye karşı 2 Catan hex problemi bunu açıkça göstermektedir. Catan'da 7 sayısı en fazla altıgende basılıyor çünkü 2d6 (%16,7) ile en yüksek olasılığa sahip. 2 sayısı en az altıgende (%2,8) yazılıdır. Deneyimli oyuncular, kaynaklara 6'lı, 8'li, 5'li ve 9'lu, yani yüksek olasılıklı altıgenlere öncelik vermeleri gerektiğini biliyorlar. Ancak herhangi bir oturumda, ilk yerleşimlerini bu altıgenlere doğru bir şekilde yerleştiren bir oyuncu, gerçek zar atışlarının beklenen değerlerden sapması durumunda, daha düşük olasılıklı yerleşimlere sahip bir oyuncu tarafından hala önemli ölçüde düşük performans gösterebilir. Bu haksızlık değil, normal bir istatistiksel değişkenlik. Ancak karar (iyi yerleştirme) ile sonuç (sık kaynak geliri) arasındaki ilişki varyans nedeniyle karartıldığı için bu adil değil gibi görünüyor.

Farklılık nedeniyle algılanan adaletsizliği yönetmeye yönelik tasarım çözümleri şunları içerir: hafifletme mekaniği (yeniden atışlar, kaynak bankaları, kötü şans koşularında devreye giren yakalama mekanizmaları), kötü şanstan sonra bile anlamlı kalan karar noktaları (böylece kötü zar atan bir oyuncunun hala ilginç seçimleri vardır) ve sondaki oyuncuların lehine olan değişkenlik (varyans yoluyla yakalama: lider oyuncu istikrarlı, öngörülebilir bir gelir ister; arkadaki oyuncular bundan yararlanır) Beklenen değer aynı olsa bile aradaki farkı hızlı bir şekilde kapatabilen yüksek varyanslı yaklaşımlar).

Zar sırasındaki Kingmaker anları (son turda hangi oyuncunun kazanacağını veya kaybedeceğini rastgele bir atışla belirler), oyuncu memnuniyeti açısından en zarar verici sapma sonuçlarıdır. Çözüm, zarları ortadan kaldırmak değil, geç oyunu, zar sonuçlarının zafere giden yolu doğrudan belirlemek yerine etkilemesini sağlayacak şekilde yapılandırmak. Final turunda birden fazla oyuncu geçerli kazanma pozisyonuna sahip olduğunda, şanslı zar atışı kazanan için tatmin edicidir ancak kaybedenler için gayri meşru bir his yaratmaz; çünkü kaybedenlerin de kendi şanslı zarlarıyla mümkün olabilecek bir kazanma yolu vardı.

Matematikle Denge Testi

MEQA çerçevesi (Ölçülebilirlik, Etkileşim, Kalite, Erişilebilirlik), oyun dengesi testine yapılandırılmış bir yaklaşım sağlar. Ölçülebilirlik sütunu (MEQA'deki M) matematiğin tasarım sürecine resmi olarak girdiği yerdir: oyun testi başlamadan önce tasarımcı "dengeli"nin ne anlama geldiğini ölçülebilir terimlerle tanımlar.

Neutronium: Parallel Wars gibi asimetrik gruplara sahip bir oyun için ölçülebilir denge şu anlama gelir: her grup, karşılaştırılabilir beceri seviyelerindeki yeterli sayıda oyun örneğinde tanımlanmış bir tolerans aralığı dahilinde bir kazanma oranına ulaşmalıdır. Hedef, ±%10 kabul edilebilir aralıkla %50 kazanma oranı (saf denge) ise, o zaman oyunların %42'sini kazanan bir grup tolerans dahilindedir ve %63'ü kazanan bir grup tolerans dahilinde değildir. Ancak bu standarda ulaşmak, testten önce hedefi bilmeyi gerektirir; gözlemlenen kazanma oranlarının "yeterince yakın" olduğunu sonradan beyan etmek değil.

Oyun testinden önce ölçümleri tanımlamak gözlemlediğiniz şeyi değiştirir. Grup başına kazanma oranını ölçtüğünüzü biliyorsanız, oturumlar arasındaki grup atamalarını ve sonuçlarını takip edersiniz. Ortalama oyun uzunluğunu ölçtüğünüzü biliyorsanız zaman damgalarını kaydedersiniz. Bu kararlar ilk oyun testi oturumundan önce alınmalıdır çünkü geriye dönük ölçümler güvenilmezdir; hafıza seçicidir ve insanlar doğal olarak mevcut inançları destekleyen oturumları hatırlar.

Denge sonuçları için örnek boyutu gereksinimleri genellikle tasarımcıların beklediğinden daha büyüktür. 2 gruptan oluşan 2 oyunculu bir oyun için 30 oyun, %80 güvenle %15'ten büyük dengesizlikleri tespit etmek için temel veriler sağlar. 6 gruptan oluşan 4 oyunculu oyunlar için kombinasyon alanı çok daha büyüktür: 30 oyun size grup çifti başına yaklaşık 5 oyun verir; aşırı dengesizliği tespit etmek için zar zor yeterlidir ve ince avantajları tespit etmek için yetersizdir. Bağımsız yayıncılar nadiren sıkı istatistiksel doğrulama kaynaklarına sahiptir; pratik yaklaşım, beklenen değerleri doğrulamak için matematiği kullanmak, aykırı değerleri yakalamak için oyun testlerini kullanmak ve devam eden sorunları belirlemek için yayın sonrası topluluk geri bildirimlerini kullanmaktır.

Ölçülebilirliğin diğer MEQA sütunlarıyla nasıl bütünleştiği de dahil olmak üzere çerçevenin tamamı için, oyun sistemleri arasında dengeyi tanımlamaya, ölçmeye ve sağlamaya yönelik eksiksiz yaklaşımı kapsayan MEQA oyun dengesi çerçeve kılavuzuna bakın.

Neutronium'daki gelir ölçeklendirme formülü, /mechanics/nuclear-port-scaling adresindeki mekanik ayrıntıya doğrudan bağlanır; burada üstel fonksiyon, her eşik değeri için tasarım mantığıyla birlikte belgelenir.

Tasarımcılar için Olasılık Araçları

Çeşitli araçlar, oyun tasarımı matematiğini ileri düzeyde istatistiksel eğitim gerektirmeden erişilebilir hale getirir. Bunlar pratikte işe yarayanlardır.

AnyDice (anydice.com), oyun tasarımcıları için standart zar olasılık hesaplayıcısıdır. Doğal dil zar gösterimini kabul eder (2d6, d4+d8, 3d6 en yüksek 2'yi korur) ve olasılık dağılımlarını, beklenen değerleri ve kümülatif olasılıkları döndürür. Zar kullanan herhangi bir tamirci için AnyDice, başvurulan ilk araç olmalıdır. Çıkış grafikleri, dağılımları anında okunabilir ve karşılaştırılabilir hale getirir; iki farklı zar ifadesini yan yana yapıştırın ve dağılımlarının nasıl farklılaştığını hemen görün.

E-tablo simülasyonları (Google E-Tablolar, Excel), AnyDice'in yapamadığı hesaplamaları yönetir: birden fazla turda kaynak birikimi, birden fazla kaynakla gelir, farklı stratejik varsayımlar altında beklenen oyun uzunluğu. Her tur için sütunlar, her kaynak türü için satırlar ve oyunun temel gelir ve harcama mekanizmalarını temsil eden formüller içeren, oyun ekonomisine ilişkin temel bir e-tablo modelinin oluşturulması 2-3 saat sürer ve ampirik olarak keşfedilmesi 20'den fazla oyun testi gerektirecek denge sorunlarını ortaya çıkarır.

Monte Carlo simülasyonu en yüksek hassasiyete sahip araçtır: tüm olası sonuçlarda istatistiksel dağılımlar oluşturmak için bir oyunun mekaniğini hesaplamalı olarak binlerce kez çalıştırmak. Programlama geçmişi olan tasarımcılar için NumPy'li Python çoğu oyun simülasyonu ihtiyacı için yeterlidir. Programlama geçmişi olmayan tasarımcılar için görsel Monte Carlo araçları ve hatta sınırlı teknik bilgiyle anlamlı sonuçlar üreten elektronik tablo tabanlı simülasyonlar mevcuttur. Monte Carlo, analitik hesaplamanın zor olduğu karmaşık karşılıklı bağımlılıklara sahip oyunlar için çok değerlidir. Birden fazla rastgele olay etkileşime girdiğinde simülasyon, manuel hesaplamaya göre daha güvenilir dağıtım tahminleri üretir.

Matematiğe ne zaman güvenmeli, ne zaman oyun testi yapmalı: Oyun testine yatırım yapmadan önce teorik dengeyi doğrulamak ve bariz tasarım hatalarını yakalamak için matematiği kullanın. İnsan psikolojisinin matematikle nasıl etkileşime girdiğini (optimal stratejinin oyuncuların gerçekte yaptıklarından farklı olduğu yerler ve matematiğin dengeyi tahmin ettiği ancak deneyimin adaletsiz olduğu yerler) keşfetmek için oyun testini kullanın. Her ikisi de gereklidir. İkisi de tek başına yeterli değil.

Sık Sorulan Sorular