מתמטיקה של משחקי לוח: הסתברות, ערך צפוי ומדוע קוביות מרגישות לא הוגנות

לכל מכונאי משחקי לוח יש זהות מתמטית. להטלת קובייה יש ערך צפוי ושונות. לשליפת קלפים יש התפלגות הסתברות. לסחר במשאבים יש שער חליפין שניתן לבטא כיחס. מעצבים שמבינים במתמטיקה זו מקבלים החלטות טובות יותר ממעצבים שעובדים לפי הרגשה - לא בגלל שמתמטיקה מחליפה את האינטואיציה, אלא בגלל שהאינטואיציה לעתים קרובות לא מסכימה עם המציאות בדרכים שהבדיקות לבדן איטיות לתקן.

מאמר זה מכסה את המושגים המתמטיים החשובים ביותר עבור עיצוב ומשחק משחקי לוח: התפלגויות הסתברות, ערך צפוי, שונות והפער הפסיכולוגי בין מה שהמתמטיקה אומרת לבין מה שחווים שחקנים. בין אם אתם מעצבים משחק או סתם מנסים להבין מדוע מפגשי הקוביות שלכם מרגישים כל כך חסרי מזל, המסגרת כאן תשנה את האופן שבו אתם חושבים על אקראיות במשחקים.

למה מתמטיקה חשובה בעיצוב המשחק

A שלא חישב את הערך הצפוי של כלכלת הליבה של המשחק שלו לא יודע אם המשחק שלו עובד. זה נשמע קשה, אבל זה נכון מבחינה תפקודית. אם ההכנסה הצפויה מהפעולה הזמינה הטובה ביותר היא 4 משאבים לסיבוב והעלות של פעולת תנאי הניצחון היא 30 משאבים, המעצב צריך לדעת אם שיעור ההכנסה הזה ניתן להשגה לאורך משך המשחק הטיפוסי - לפני בדיקות משחק, לא לאחר שש מפגשים ותוהים מדוע אף אחד לא מנצח.

Math ו-playtesting הם כלים משלימים, לא חלופות. מתמטיקה אומרת לך מה התיאוריה מנבאת. בדיקות משחק אומרות לך אם התנהגות אנושית תואמת את התיאוריה. רוב הזמן, הם מתפצלים - לא בגלל שהמתמטיקה שגויה, אלא בגלל ששחקנים לא תמיד בוחרים בפעולה האופטימלית מבחינה תיאורטית. הפער בין משחק אופטימלי תיאורטי למשחק אנושי בפועל הוא בעצמו משתנה עיצובי: משחק שבו רק משחק אופטימלי מייצר החלטות מעניינות הוא משחק גרוע יותר מזה שבו משחק לא אופטימלי יוצר גם מצבים מעניינים.

לכל מכונאי יש ערך צפוי, והמעצבים חייבים לדעת אותו. כאשר שחקן Neutronium: Parallel Wars מרוויח הכנסה מ-Nuclear Ports, הם מקבלים ערך צפוי לכל יציאה מחושב במדויק. כשהם בוחרים לתקוף במקום לבנות, הם מקבלים החלטה שיש לה תוצאות צפויות ניתנות לחישוב בתרחישים שונים. המעצב שיודע את המספרים הללו יכול לקבל החלטות איזון משמעותיות; המעצב שלא מנחש.

האסימטריה הקריטית היא שהאקראיות מרגישה לא הוגנת גם כשהיא מאוזנת. היפוך מטבעות של 50/50 מייצר ראשים שש פעמים ברציפות בערך 1.6% מהמקרים - לעתים נדירות, אך לא בלתי אפשרי. כשזה קורה לשחקן במשחק, הם חווים את זה כמשחק שבור, לא כאירוע סטטיסטי רגיל. ההבנה מדוע זה קורה - וכיצד מעצבים יכולים לבנות אקראיות כדי להרגיש פחות מענישים תוך שמירה על אותן הסתברויות בסיסיות - היא היישום בעל הערך הרב ביותר של מתמטיקה של עיצוב משחקים.

Dice 101

הסינגל d6 הוא כלי האקראיות הנפוץ ביותר במשחקי לוח וגם אחד הלא מובנים ביותר. תקן d6 מייצר התפלגות אחידה: לכל פנים (1 עד 6) יש הסתברות של 1/6 להתרחש, והערך הצפוי הוא 3.5. שחקנים מבינים זאת באופן אינטואיטיבי, אך לעתים קרובות הם אינם מצליחים להבין מה המשמעות של גלגולים חוזרים על סשן.

ההבחנה single d6 לעומת 2d6 היא הבסיס להבנה מדוע מכניקות קוביות שונות מרגישות שונות. ל-d6 בודד יש התפלגות הסתברות שטוחה - כל תוצאה מ-1 עד 6 סבירה באותה מידה.שני d6 המסוכמים מייצרים עקומת פעמון: 7 היא התוצאה הסבירה ביותר (הסתברות 6/36 = 16.7%), בעוד של-2 ו-12 לכל אחד יש הסתברות 1/36 = 2.8%. התפלגות 2d6 מרכזת תוצאות ליד האמצע והופכת תוצאות קיצוניות לנדירות. זו הסיבה לכך ש-Catan, המשתמשת ב-2d6 לייצור משאבים, מרגישה פחות ענישה בגלילים בודדים מאשר במערכות קוביות בודדות - ההפצה מגבילה באופן טבעי תוצאות קיצוניות.

קוביות מותאמות אישית עם הפצות פנים לא סטנדרטיות נותנות למעצבים שליטה מדויקת על פרופילי הסתברות שקוביות סטנדרטיות לא יכולות לספק. לקובייה עם הפרצופים [0, 0, 0, 1, 1, 2] יש אופי שונה מאוד מ-d6: היא מייצרת אפס ב-50% מהפעמים, אחת ב-33% מהפעמים ושתיים ב-17% מהזמן, עם ערך צפוי של 0.67. Neutronium: Parallel Wars משתמש בקוביות D6 מותאמות אישית עם פרצופים מקודדים בצבע: פנים כחולות מייצגות תוצאות קרב סטנדרטיות, פנים אדומות מייצגות תוצאות קריטיות, ופנים ירוקות מייצגות טריגרים של יכולות מיוחדות. התפלגות סוגי הפנים - לא רק מספר הפרצופים - קובעת את ההסתברות לכל תוצאה. קובייה עם שלושה פרצופים כחולים, שני פרצופים אדומים ופנים ירוקה אחת מייצרת תוצאות כחולות ב-50% מהמקרים, אדום 33% וירוק 17%. המעצב יכול להתאים את היחסים הללו על ידי שינוי ספירת הפנים במקום ליצור מערכות רזולוציה מורכבות מבחינה מתמטית.

קוביות מתפוצצות הן קוביות שכאשר מגלגלים את הערך המקסימלי, מגלגלים שוב ומתוספות התוצאות. ל-d6 שמתפוצץ על 6 יש ערך צפוי של (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × ערך צפוי של d6) = 3.5 + (1/6 × 3.5) = 3.5 + 0.583 = 4.083. הטבע הפתוח יוצר תוצאות בלתי מוגבלות תיאורטית - רצף מזל של פיצוצים יכול לייצר סכומים גבוהים מאוד - מה שמייצר את רגעי "הרגשת המזל" שמשחקים מסוימים מטפחים בכוונה. ההחלפה היא שונות גבוהה וגלגול מזל מגדיר את המשחק מדי פעם.

Bounded קוביות הן הפילוסופיה ההפוכה: מכסת התוצאה המקסימלית כדי להגביל את השונות. מערכות בריכת קוביות שבהן אתה מטיל קוביות מרובות ולוקח רק את התוצאות הטובות ביותר N (מערכות יתרון כמו מכונאי היתרון של D&D 5E, או מספר הקוביות הגבוה ביותר של Gumshoe) מפחיתות באופן מתמטי את השונות תוך שמירה על תחושה הסתברותית. לקיחת הגבוה מבין שני גלגולי d6 מעביר את הערך הצפוי מ-3.5 ל-4.47 - שיפור של 28% - תוך הפחתת ההסתברות לתוצאות נמוכות באופן משמעותי.

ערך צפוי במשחקי משאבים

משחקי צבירת משאבים - יורו, בוני מנועים, אסטרטגיות כלכליות - בנויים על חישובי ערך צפוי שעל המעצב להבין במדויק גם אם הם לעולם אינם מופיעים במפורש בספר החוקים. כאשר שחקן בוחר בין שתי פעולות, הוא משווה (במודע או לא) את הערך הצפוי של פעולות אלו לאורך אופק הזמן הרלוונטי.

Neutronium: Parallel Wars היא דוגמה מפורשת לערך צפוי מתוכנן . נוסחת ההכנסה קובעת ששחקן עם N Nuclear Ports מקבל הכנסה בשיעור המתרחב בצורה לא ליניארית עם N. הנוסחה הספציפית - יציאה 1 מניבה 2 יחידות Neutronium לסיבוב; 10 יציאות מניבות 220 Nn לסיבוב - זה לא מקרי.זוהי ההצהרה המפורשת של המעצב שצבירת פורטים צריכה לייצר החזרות אקספוננציאליות ולא ליניאריות, מכיוון שהחזרות מעריכיות יוצרות את סף הקואליציה שמניע את הדינמיקה התחרותית של המשחק.

נוסחה זו היא עיצוב משחק מכוון המתבטא כמתמטיקה. הפער בין הכנסה של 7 יציאות (42 Nn/סיבוב) להכנסה של 10 יציאות (220 Nn/סיבוב) הוא הטיעון הכלכלי מדוע נוצרות קואליציות בסף 7 היציאות במקום לחכות עד 9 או 10 יציאות. ב-7 יציאות, לשחקן יש מספיק הכנסה כדי להיות מאיים - אבל הפעולה הקואליציונית עדיין יכולה להיות מכרעת לפני שיתרון ההכנסה יהפוך לבלתי עביר מבחינה מתמטית. מעצב שהגיע למספרים האלה באמצעות בדיקות משחק בלבד עשוי לקבל אותם בערך כמו שצריך; מעצב שהבין את הפונקציה האקספוננציאלית מההתחלה יכול היה לציין את הסף במדויק.

העיקרון הרחב יותר: כאשר קנה מידה אקספוננציאלי הוא עיצוב משחק מכוון, על המעצב לתעד את פונקציית קנה המידה ולוודא שהסף שהוא יוצר נמצאים היכן שהוא רוצה אותם. אם הסף הקואליציוני צריך להיות על 6 יציאות ולא על 7, יש להתאים את נוסחת ההכנסה - מה שמחייב לדעת מהי הנוסחה, לא רק להבחין ש"המשחק מרגיש מאוזן."

שונות ותפיסת שחקן

Variance הוא המדד למידת התפשטות התוצאות בפועל סביב הערך הצפוי. שונות גבוהה פירושה שתוצאות בודדות עשויות להיות שונות באופן דרמטי מהציפייה; שונות נמוכה פירושה שהתוצאות מתקבצות בצורה הדוקה סביב הממוצע. עבור מעצבי משחקים, השונות היא כפתור בקרה שמשפיע הן על ההוגנות המתמטית של המשחק והן על החוויה הסובייקטיבית של המשחק בו.

התובנה הפסיכולוגית המרכזית: שונות גבוהה מרגישה רע גם כשהיא מאוזנת מתמטית. הטלת מטבע היא הוגנת לחלוטין - 50/50, הערך הצפוי שווה בדיוק לשני השחקנים - אבל לשחק משחק שבו כל החלטה נפתרת על ידי הטלת מטבע מרגיש שרירותי ולא מתגמל. שחקנים צריכים להרגיש שההחלטות שלהם חשובות, מה שאומר שהם צריכים את הקשר הסיבתי בין החלטות טובות לתוצאות טובות כדי להיות מורגש במהלך הפגישה במשחק. שונות גבוהה מנתקת את החיבור הזה.

בעיית הקטן 7 לעומת 2 קטאן ממחישה זאת בבירור. ב-Catan, המספר 7 מודפס על הכי הרבה hexes כי יש לו את ההסתברות הגבוהה ביותר עם 2d6 (16.7%). הספרה 2 מודפסת על הכי מעט משושות (2.8%). שחקנים מנוסים יודעים לתעדף משאבים ב-6s, 8s, 5s ו-9s - hexes בסבירות גבוהה. אבל בכל סשן נתון, שחקן שמציב נכון את ההסדרים הראשוניים שלו על המשושים האלה עדיין יכול לקבל פחות ביצועים משמעותיים על ידי שחקן עם מיקומים בסבירות נמוכה יותר אם הטלת הקוביות בפועל חורגת מהערכים הצפויים. זה לא לא הוגן - זה וריאציה סטטיסטית נורמלית.אבל זה מרגיש לא הוגן כי הקשר בין ההחלטה (מיקום טוב) לבין התוצאה (הכנסה תכופה משאבים) מוסתר על ידי שונות.

פתרונות העיצוב לניהול חוסר הוגנות נתפסים מהשונות כוללים: מכניקת הפחתת (גלילים חוזרים, בנקי משאבים, מנגנוני התדירות המופעלים בריצות של מזל רע), Q נקודות בעלות משמעות גם לאחר חוסר משמעות. luck (אז לשחקן שמגלגל בצורה גרועה עדיין יש אפשרויות מעניינות), ו- שונות שמעדיפה שחקנים נגררים (השגשוג דרך שונות: השחקן המוביל רוצה הכנסה יציבה וניתנת לחיזוי; שחקנים נגררים נהנים מהגישה המהירה של הפער הצפוי, אפילו שהערך הצפוי יכול לסגור את הפער הגבוה. אותו דבר).

Kingmaker רגעים מהקוביות - שבהם זריקה אקראית קובעת איזה שחקן מנצח או מפסיד בסיבוב האחרון - הם תוצאות השונות המזיקות ביותר לשביעות רצון השחקנים. הפתרון אינו ביטול הקוביות אלא מבנה המשחק המאוחר כך שתוצאות הקוביות ישפיעו על הדרך לניצחון ולא יקבעו אותה על הסף. כאשר למספר שחקנים יש עמדות מנצחות ברות קיימא לקראת הסיבוב האחרון, סיבוב מזל מספק עבור המנצח אך אינו מרגיש לא לגיטימי עבור המפסידים - מכיוון שלמפסידים הייתה גם נתיב לזכייה שיכול היה להתאפשר באמצעות סיבובי המזל שלהם.

בדיקת איזון עם Math

מסגרת MEQA (מדידות, מעורבות, איכות, נגישות) מספקת גישה מובנית לבדיקת איזון משחק. עמוד ה- מדידות - ה-M ב-MEQA - הוא המקום שבו המתמטיקה נכנסת לתהליך העיצוב באופן רשמי: לפני תחילת בדיקות המשחק, המעצב מגדיר מה המשמעות של "מאוזן" במונחים מדידים.

למשחק עם פלגים אסימטריים כמו Neutronium: Parallel Wars, איזון מדיד פירושו: כל סיעה צריכה להשיג שיעור ניצחון בתוך רצועת סובלנות מוגדרת על פני מדגם מספיק של משחקים ברמות מיומנות דומות. אם היעד הוא שיעור זכייה של 50% (איזון טהור) עם טווח מקובל של ±10%, אז סיעה שמנצחת ב-42% מהמשחקים היא בגדר סובלנות וסיעה שמנצחת ב-63%. אבל השגת תקן זה דורשת לדעת את היעד לפני הבדיקה - לא להכריז לאחר ההופעה ששיעורי הזכייה שנצפו "קרובים מספיק."

הגדרת מדדים לפני בדיקת הפעלה משנה את מה שאתה רואה. אם אתה יודע שאתה מודד את שיעור הזכייה לכל סיעה, אתה עוקב אחר מטלות סיעות ותוצאות על פני הפעלות. אם אתה יודע שאתה מודד אורך משחק ממוצע, אתה רושם חותמות זמן. החלטות אלו חייבות להיעשות לפני מפגש מבחן המשחק הראשון, מכיוון שמדדים רטרוספקטיביים אינם אמינים - הזיכרון הוא סלקטיבי ובני האדם זוכרים באופן טבעי מפגשים התומכים באמונות קיימות.

דרישות גודל לדוגמה למסקנות איזון לרוב גדולות יותר ממה שמעצבים מצפים. עבור משחק של 2 שחקנים עם 2 סיעות, 30 משחקים מספקים נתונים בסיסיים לזיהוי חוסר איזון הגדול מ-15% ב-80% ביטחון. עבור משחקים של 4 שחקנים עם 6 סיעות, שטח השילוב גדול בהרבה: 30 משחקים מעניקים לך כ-5 משחקים לכל זוג סיעות - בקושי מספיק לזיהוי חוסר איזון קיצוני, ואינו מספיק לזיהוי יתרונות עדינים.לעתים רחוקות יש לבעלי אתרים אינדי את המשאבים לאימות סטטיסטי קפדני; הגישה המעשית היא להשתמש במתמטיקה כדי לאמת ערכים צפויים, בדיקות משחק כדי לתפוס חריגים ומשוב קהילתי לאחר הפרסום כדי לזהות בעיות שרידות.

למסגרת המלאה - כולל האופן שבו מדדות משתלבת עם עמודי ה-MEQA האחרים - עיין במדריך המסגרת של איזון המשחק MEQA, המכסה את הגישה המלאה להגדרה, איזון ומשחק בין המשחקים. מערכות.

נוסחת קנה המידה של ההכנסה ב-Neutronium מתחברת ישירות לפרטי המכניקה ב-/mechanics/nuclear-port-scaling, כאשר הפונקציה המעריכית מתועדת לצד הנמקת התכנון הבסיסית עבור כל ערך התכנון לכל Q3ZXA0.

כלי הסתברות למעצבים

כמה כלים הופכים מתמטיקה לעיצוב משחקים לנגישה ללא צורך בהכשרה סטטיסטית מתקדמת. אלה הם אלה שעובדים בפועל.

AnyDice (anydice.com) הוא מחשבון ההסתברות הסטנדרטי לקוביות עבור מעצבי משחקים. הוא מקבל סימון קוביות בשפה טבעית (2d6, d4+d8, 3d6 שמור על 2 הגבוה ביותר) ומחזיר התפלגויות הסתברות, ערכים צפויים והסתברויות מצטברות. עבור כל מכונאי שמעורב בקוביות, AnyDice צריך להיות הכלי הראשון שאליו פונים. גרפי הפלט שלו הופכים את ההתפלגות לקריאה מיידית וניתנת להשוואה - הדבק שני ביטויי קוביות שונים זה לצד זה כדי לראות מיד כיצד ההתפלגויות שלהם שונות.

סימולציות של גיליון אלקטרוני (Google Sheets, Excel) מטפלים בחישובים ש-AnyDice לא יכולה: צבירת משאבים על פני מספר סבבים, הכנסה עם מספר מקורות, אורך משחק צפוי בהנחות אסטרטגיות שונות. מודל גיליון אלקטרוני בסיסי של כלכלת המשחק - עם עמודות עבור כל תור, שורות עבור כל סוג משאב ונוסחאות המייצגות את מכניקת הליבה וההוצאות של המשחק - לוקח 2-3 שעות לבנות וחושף בעיות איזון שייקח יותר מ-20 בדיקות משחק כדי לגלות אותן באופן אמפירי.

Monte Carlo הוא הכלי בעל הדיוק הגבוה ביותר: הפעלת מכניקת המשחק אלפי פעמים בחישוב כדי לייצר התפלגויות סטטיסטיות על פני כל התוצאות האפשריות. עבור מעצבים עם רקע תכנות, Python עם NumPy מספיקה עבור רוב צורכי הדמיית המשחק. עבור מעצבים ללא רקע תכנות, ישנם כלים חזותיים של מונטה קרלו ואפילו סימולציות מבוססות גיליונות אלקטרוניים המייצרים תוצאות משמעותיות עם ידע טכני מוגבל. מונטה קרלו חשובה ביותר למשחקים עם תלות הדדית מורכבת שבהם חישוב אנליטי קשה - כאשר מספר אירועים אקראיים מקיימים אינטראקציה, סימולציה מייצרת אומדני הפצה אמינים יותר מאשר חישוב ידני.

מתי לסמוך על מתמטיקה לעומת מתי לשחק מבחן: השתמש במתמטיקה כדי לאמת איזון תיאורטי ולתפוס שגיאות עיצוב ברורות לפני השקעה בבדיקות משחק. השתמש ב-playtesting כדי לגלות כיצד הפסיכולוגיה האנושית מתקשרת עם המתמטיקה - המקומות שבהם האסטרטגיה האופטימלית שונה ממה ששחקנים עושים בפועל, והמקומות שבהם המתמטיקה מנבאת איזון אבל החוויה מרגישה לא הוגנת. שניהם הכרחיים. אף אחד מהם לא מספיק לבד.

שאלות נפוצות