מתמטיקה של משחקי לוח: הסתברות, ערך צפוי ומדוע קוביות מרגישות לא הוגנות

לכל מכונאי משחקי לוח יש זהות מתמטית. להטלת קובייה יש ערך צפוי ושונות. לשליפת קלפים יש התפלגות הסתברות. לסחר במשאבים יש שער חליפין שניתן לבטא כיחס. מעצבים שמבינים מתמטיקה זו מקבלים החלטות טובות יותר ממעצבים שעובדים לפי הרגשה - לא בגלל שמתמטיקה מחליפה את האינטואיציה, אלא בגלל שהאינטואיציה לעתים קרובות לא מסכימה עם המציאות בדרכים שהבדיקה לבדן איטית לתקן.

מאמר זה מכסה את המושגים המתמטיים החשובים ביותר עבור עיצוב ומשחק משחקי לוח: התפלגויות הסתברות, ערך צפוי, שונות והפער הפסיכולוגי בין מה שהמתמטיקה אומרת לבין מה שחווים שחקנים. בין אם אתם מעצבים משחק או סתם מנסים להבין מדוע מפגשי הקוביות שלכם מרגישים כל כך חסרי מזל, המסגרת כאן תשנה את האופן שבו אתם חושבים על אקראיות במשחקים.

למה מתמטיקה חשובה בעיצוב משחקים

מעצב משחקים שלא חישב את הערך הצפוי של כלכלת הליבה של המשחק שלו לא יודע אם המשחק שלו עובד. זה נשמע קשה, אבל זה נכון מבחינה תפקודית. אם ההכנסה הצפויה מהפעולה הזמינה הטובה ביותר היא 4 משאבים לסיבוב והעלות של פעולת תנאי הניצחון היא 30 משאבים, המעצב צריך לדעת אם שיעור ההכנסה הזה ניתן להשגה לאורך משך המשחק הטיפוסי - לפני בדיקות משחק, לא לאחר שש מפגשים ותוהים מדוע אף אחד לא מנצח.

מתמטיקה ו-playtesting הם כלים משלימים, לא חלופות. מתמטיקה אומרת לך מה התיאוריה מנבאת. בדיקות משחק אומרות לך אם התנהגות אנושית תואמת את התיאוריה. רוב הזמן, הם מתפצלים - לא בגלל שהמתמטיקה שגויה, אלא בגלל ששחקנים לא תמיד בוחרים בפעולה האופטימלית מבחינה תיאורטית. הפער בין משחק אופטימלי תיאורטי למשחק אנושי בפועל הוא בעצמו משתנה עיצובי: משחק שבו רק משחק אופטימלי מייצר החלטות מעניינות הוא משחק גרוע יותר מזה שבו משחק לא אופטימלי יוצר גם מצבים מעניינים.

לכל מכונאי יש ערך צפוי, והמעצבים חייבים לדעת זאת. כאשר שחקן Neutronium: Parallel Wars מרוויח הכנסה מנמלים גרעיניים, הוא מקבל ערך צפוי מחושב במדויק לכל יציאה לסיבוב. כשהם בוחרים לתקוף במקום לבנות, הם מקבלים החלטה שיש לה תוצאות צפויות ניתנות לחישוב בתרחישים שונים. המעצב שיודע את המספרים הללו יכול לקבל החלטות איזון משמעותיות; המעצב שלא מנחש.

האסימטריה הקריטית היא שהאקראיות מרגישה לא הוגנת גם כשהיא מאוזנת. היפוך מטבעות של 50/50 מייצר ראשים שש פעמים ברציפות בערך 1.6% מהמקרים - לעתים נדירות, אך לא בלתי אפשרי. כשזה קורה לשחקן במשחק, הם חווים את זה כמשחק שבור, לא כאירוע סטטיסטי רגיל. ההבנה מדוע זה קורה - וכיצד מעצבים יכולים לבנות אקראיות כדי להרגיש פחות מענישים תוך שמירה על אותן הסתברויות בסיסיות - היא היישום בעל הערך הרב ביותר של מתמטיקה של עיצוב משחקים.

הסתברות לקוביות 101

היחיד d6 הוא הכלי האקראי הנפוץ ביותר במשחקי לוח וגם אחד הכלים הכי לא מובנים. תקן d6 מייצר התפלגות אחידה: לכל פנים (1 עד 6) יש הסתברות של 1/6 להתרחש, והערך הצפוי הוא 3.5. שחקנים מבינים זאת באופן אינטואיטיבי, אך לעתים קרובות הם לא מצליחים להבין מה המשמעות של גלגולים חוזרים על סשן.

ההבחנה היחידה של d6 לעומת 2d6 היא הבסיס להבנה מדוע מכניקות שונות של קוביות מרגישות שונות. ל-d6 בודד יש התפלגות הסתברות שטוחה - כל תוצאה מ-1 עד 6 סבירה באותה מידה. שני d6 המסוכמים מייצרים עקומת פעמון: 7 היא התוצאה הסבירה ביותר (הסתברות 6/36 = 16.7%), בעוד של-2 ו-12 לכל אחד יש הסתברות 1/36 = 2.8%. התפלגות 2d6 מרכזת תוצאות ליד האמצע והופכת תוצאות קיצוניות לנדירות. זו הסיבה ש-Catan, המשתמשת ב-2d6 לייצור משאבים, מרגישה פחות ענישה בגלילים בודדים מאשר במערכות של קוביות בודדות - ההפצה מגבילה באופן טבעי תוצאות קיצוניות.

קוביות מותאמות אישית עם הפצות פנים לא סטנדרטיות מעניקות למעצבים שליטה מדויקת על פרופילי הסתברות שקוביות סטנדרטיות לא יכולות לספק. לקובייה עם הפרצופים [0, 0, 0, 1, 1, 2] יש אופי שונה מאוד מ-d6: היא מייצרת אפס ב-50% מהפעמים, אחת ב-33% מהפעמים ושתיים ב-17% מהזמן, עם ערך צפוי של 0.67. Neutronium: Parallel Wars משתמש בקוביות D6 מותאמות אישית עם פנים מקודדות צבע: פנים כחולות מייצגות תוצאות קרב סטנדרטיות, פנים אדומות מייצגות תוצאות קריטיות, ופנים ירוקות מייצגות טריגרים של יכולות מיוחדות. התפלגות סוגי הפנים - לא רק מספר הפרצופים - קובעת את ההסתברות לכל תוצאה. קובייה עם שלושה פרצופים כחולים, שני פרצופים אדומים ופנים ירוקה אחת מייצרת תוצאות כחולות ב-50% מהמקרים, אדום 33% וירוק 17%. המעצב יכול להתאים את היחסים הללו על ידי שינוי ספירת הפנים במקום יצירת מערכות רזולוציה מורכבות מבחינה מתמטית.

קוביות מתפוצצות הן קוביות שכאשר מטילים את הערך המקסימלי, זורקים שוב והתוצאות מתווספות. ל-d6 שמתפוצץ על 6 יש ערך צפוי של (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × ערך צפוי של d6) = 3.5 + (1/6 × 3.5) = 3.5 + 0.583 = 4.083. הטבע הפתוח יוצר תוצאות בלתי מוגבלות תיאורטית - רצף מזל של פיצוצים יכול לייצר סכומים גבוהים מאוד - מה שמייצר את רגעי "הרגשת המזל" שמשחקים מסוימים מטפחים בכוונה. ההחלפה היא שונות גבוהה וגלגול מזל מזדמן מגדיר את המשחק.

קוביות מוגבלות הן הפילוסופיה ההפוכה: הגבלה על התוצאה המקסימלית כדי להגביל את השונות. מערכות בריכת קוביות שבהן אתה מטיל קוביות מרובות ולוקח רק את התוצאות הטובות ביותר N (מערכות יתרון כמו מכונאי היתרון של D&D 5E, או מספר הקוביות הגבוה ביותר של Gumshoe) מפחיתות באופן מתמטי את השונות תוך שמירה על תחושה הסתברותית. נטילת הגבוה ביותר מבין שני סיבובי d6 מעבירה את הערך הצפוי מ-3.5 ל-4.47 - שיפור של 28% - תוך הפחתת ההסתברות לתוצאות נמוכות באופן משמעותי.

ערך צפוי במשחקי משאבים

משחקי צבירת משאבים - יורו, בוני מנועים, אסטרטגיות כלכליות - בנויים על חישובי ערך צפוי שעל המעצב להבין במדויק גם אם הם לעולם אינם מופיעים במפורש בספר החוקים. כאשר שחקן בוחר בין שתי פעולות, הוא משווה (במודע או לא) את הערך הצפוי של פעולות אלו לאורך אופק הזמן הרלוונטי.

Neutronium: Parallel Wars היא דוגמה מפורשת לערך צפוי מתוכנן. נוסחת ההכנסה קובעת ששחקן עם N יציאות גרעיניות מקבל הכנסה בשיעור לא ליניארי עם N. הנוסחה הספציפית - יציאה 1 מניבה 2 Neutronium יחידות לסיבוב; 10 יציאות מניבות 220 Nn לסיבוב - זה לא מקרי. זוהי ההצהרה המפורשת של המעצב שצבירת פורטים צריכה לייצר החזרות אקספוננציאליות ולא ליניאריות, מכיוון שהחזרות מעריכיות יוצרות את סף הקואליציה שמניע את הדינמיקה התחרותית של המשחק.

נוסחה זו היא עיצוב משחק מכוון המתבטא כמתמטיקה. הפער בין הכנסה של 7 נמלים (42 נמל לסבב) להכנסה של 10 נמלים (220 נמל לסבב) הוא הטיעון הכלכלי מדוע נוצרות קואליציות בסף של 7 נמלים במקום לחכות עד 9 או 10 יציאות. ב-7 יציאות, לשחקן יש מספיק הכנסה כדי להיות מאיים - אבל הפעולה הקואליציונית עדיין יכולה להיות מכרעת לפני שיתרון ההכנסה יהפוך לבלתי עביר מבחינה מתמטית. מעצב שהגיע למספרים האלה באמצעות בדיקות משחק בלבד עשוי לקבל אותם בערך כמו שצריך; מעצב שהבין את הפונקציה האקספוננציאלית מההתחלה יכול לציין את הסף במדויק.

העיקרון הרחב יותר: כאשר קנה מידה אקספוננציאלי הוא עיצוב משחק מכוון, על המעצב לתעד את פונקציית קנה המידה ולוודא שהספים שהוא יוצר נמצאים היכן שהוא רוצה אותם. אם סף הקואליציה צריך להיות על 6 יציאות ולא על 7, יש להתאים את נוסחת ההכנסה - מה שמחייב לדעת מהי הנוסחה, לא רק להבחין ש"המשחק מרגיש מאוזן."

שונות ותפיסת שחקן

שונות היא המדד למידת התפשטות התוצאות בפועל סביב הערך הצפוי. שונות גבוהה פירושה שתוצאות בודדות יכולות להיות שונות באופן דרמטי מהציפייה; שונות נמוכה פירושה שהתוצאות מתקבצות בצורה הדוקה סביב הממוצע. עבור מעצבי משחקים, השונות היא כפתור בקרה שמשפיע הן על ההגינות המתמטית של המשחק והן על החוויה הסובייקטיבית של המשחק.

התובנה הפסיכולוגית המרכזית: שונות גבוהה מרגישה רע גם כשהיא מאוזנת מתמטית. הטלת מטבע היא הוגנת לחלוטין - 50/50, הערך הצפוי שווה בדיוק לשני השחקנים - אבל לשחק משחק שבו כל החלטה נפתרת על ידי הטלת מטבע מרגיש שרירותי ולא מתגמל. שחקנים צריכים להרגיש שההחלטות שלהם חשובות, מה שאומר שהם צריכים את הקשר הסיבתי בין החלטות טובות לתוצאות טובות כדי להיות מורגש במהלך הפגישה במשחק. שונות גבוהה מנתקת את הקשר הזה.

בעיית ה-7 לעומת 2 Catan hex ממחישה זאת בבירור. ב-Catan, המספר 7 מודפס על הכי הרבה hexes כי יש לו את ההסתברות הגבוהה ביותר עם 2d6 (16.7%). הספרה 2 מודפסת על הכי מעט משושות (2.8%). שחקנים מנוסים יודעים לתעדף משאבים ב-6s, 8s, 5s ו-9s - hexes בסבירות גבוהה. אבל בכל סשן נתון, שחקן שמציב נכון את ההסדרים הראשוניים שלו על המשושים האלה עדיין יכול לקבל פחות ביצועים משמעותיים על ידי שחקן עם מיקומים בסבירות נמוכה יותר אם הטלת הקוביות בפועל חורגת מהערכים הצפויים. זה לא לא הוגן - זה וריאציה סטטיסטית נורמלית. אבל זה מרגיש לא הוגן מכיוון שהקשר בין ההחלטה (מיקום טוב) לבין התוצאה (הכנסה תכופה של משאבים) מעורפל על ידי שונות.

פתרונות העיצוב לניהול חוסר הוגנות שנתפסו כתוצאה משונות כוללים: מכניקת הפחתה (החזרות, בנקי משאבים, מנגנוני התגברות המופעלים בריצות של מזל רע), נקודות החלטה שנשארות משמעותיות גם לאחר מזל רע (כך שלשחקן שמגלגל בצורה גרועה יש עדיין אפשרויות בחירה מעניינות) ו שונות: השחקן המוביל רוצה הכנסה יציבה וניתנת לחיזוי שחקנים נגררים נהנים מגישות שונות שיכולות לסגור את הפער במהירות, למרות שהערך הצפוי זהה).