Matematik Permainan Papan: Kebarangkalian, Nilai Jangkaan dan Mengapa Dadu Rasa Tidak Adil

Setiap mekanik permainan papan mempunyai identiti matematik. Gulungan dadu mempunyai nilai yang dijangkakan dan varians. Cabutan kad mempunyai taburan kebarangkalian. Perdagangan sumber mempunyai kadar pertukaran yang boleh dinyatakan sebagai nisbah. Pereka bentuk yang memahami matematik ini membuat keputusan yang lebih baik daripada pereka yang bekerja mengikut perasaan — bukan kerana matematik menggantikan gerak hati, tetapi kerana gerak hati sering tidak bersetuju dengan realiti dalam cara ujian sahaja lambat untuk dibetulkan.

Artikel ini merangkumi konsep matematik yang paling penting untuk reka bentuk dan permainan papan: taburan kebarangkalian, nilai dijangka, varians dan jurang psikologi antara perkara yang dikatakan matematik dan pengalaman pemain. Sama ada anda sedang mereka bentuk permainan atau hanya cuba memahami sebab sesi dadu anda berasa sangat malang, rangka kerja di sini akan mengubah cara anda berfikir tentang rawak dalam permainan.

Mengapa Matematik Penting dalam Reka Bentuk Permainan

Seorang pereka permainan yang tidak mengira nilai jangkaan ekonomi tindakan teras permainan mereka tidak tahu sama ada permainan mereka berfungsi. Ini kedengaran kasar, tetapi ia adalah benar dari segi fungsi. Jika jangkaan pendapatan daripada tindakan terbaik yang tersedia ialah 4 sumber setiap pusingan dan kos tindakan syarat kemenangan ialah 30 sumber, pereka bentuk perlu mengetahui sama ada kadar pendapatan itu boleh dicapai sepanjang tempoh lazim permainan — sebelum ujian bermain, bukan selepas enam sesi tertanya-tanya mengapa tiada siapa pernah menang.

Matematik dan ujian bermain ialah alat pelengkap, bukan alternatif. Matematik memberitahu anda apa yang diramalkan oleh teori. Playtesting memberitahu anda sama ada tingkah laku manusia sepadan dengan teori. Selalunya, mereka menyimpang — bukan kerana matematik itu salah, tetapi kerana pemain tidak selalu memilih tindakan optimum secara teori. Jurang antara permainan optimum teori dan permainan manusia sebenar itu sendiri merupakan pembolehubah reka bentuk: permainan yang hanya bermain optimum menghasilkan keputusan yang menarik adalah permainan yang lebih buruk daripada permainan yang permainan suboptimum mencipta situasi yang menarik juga.

Setiap mekanik mempunyai nilai yang dijangkakan dan pereka bentuk mesti mengetahuinya. Apabila pemain Neutronium: Parallel Wars memperoleh pendapatan daripada Pelabuhan Nuklear, mereka menerima nilai jangkaan yang dikira dengan tepat bagi setiap port setiap pusingan. Apabila mereka memilih untuk menyerang daripada membina, mereka membuat keputusan yang mempunyai hasil jangkaan yang boleh dikira di bawah senario yang berbeza. Pereka bentuk yang mengetahui nombor ini boleh membuat keputusan keseimbangan yang bermakna; pereka yang tidak meneka.

Asimetri kritikal ialah keacakan berasa tidak adil walaupun apabila ia seimbang. Sebalik syiling 50/50 menghasilkan kepala enam kali berturut-turut kira-kira 1.6% daripada masa - jarang, tetapi tidak mustahil. Apabila itu berlaku kepada pemain dalam permainan, mereka mengalaminya sebagai permainan dipecahkan, bukan sebagai peristiwa statistik biasa. Memahami mengapa ini berlaku — dan cara pereka bentuk boleh menstrukturkan rawak untuk berasa kurang menghukum sambil mengekalkan kebarangkalian asas yang sama — ialah aplikasi matematik reka bentuk permainan yang paling praktikal.

Kebarangkalian Dadu 101

D6 tunggal ialah alat rawak yang paling biasa dalam permainan papan dan juga salah satu yang paling salah faham. D6 piawai menghasilkan taburan seragam: setiap muka (1 hingga 6) mempunyai 1/6 kebarangkalian berlaku, dan nilai jangkaan ialah 3.5. Pemain memahami perkara ini secara intuitif, tetapi mereka selalunya gagal memahami maksudnya bagi pusingan berulang dalam satu sesi.

Perbezaan d6 tunggal lawan 2d6 adalah asas untuk memahami sebab mekanik dadu yang berbeza berasa berbeza. Satu d6 mempunyai taburan kebarangkalian rata — setiap hasil dari 1 hingga 6 berkemungkinan sama. Dua d6 yang dijumlahkan menghasilkan lengkung loceng: 7 adalah hasil yang paling mungkin (kebarangkalian 6/36 = 16.7%), manakala 2 dan 12 masing-masing mempunyai kebarangkalian 1/36 = 2.8%. Pengagihan 2d6 menumpukan hasil berhampiran bahagian tengah dan menjadikan hasil yang melampau jarang berlaku. Itulah sebabnya Catan, yang menggunakan 2d6 untuk pengeluaran sumber, berasa kurang menghukum pada gulungan individu berbanding sistem mati tunggal — pengedaran secara semula jadi mengehadkan hasil yang melampau.

Dadu tersuai dengan taburan muka bukan standard memberi pereka kawalan tepat ke atas profil kebarangkalian yang tidak dapat disediakan oleh dadu standard. Sebuah dadu dengan muka [0, 0, 0, 1, 1, 2] mempunyai watak yang sangat berbeza daripada d6: ia menghasilkan sifar 50% masa, satu 33% masa, dan dua 17% masa, dengan nilai jangkaan 0.67. Neutronium: Parallel Wars menggunakan dadu D6 tersuai dengan muka berkod warna: muka biru mewakili hasil pertempuran standard, muka merah mewakili keputusan kritikal dan muka hijau mewakili pencetus keupayaan khas. Taburan jenis muka — bukan hanya bilangan muka — menentukan kebarangkalian setiap hasil. Sebuah dadu dengan tiga muka biru, dua muka merah dan satu muka hijau menghasilkan hasil biru 50% pada masa itu, merah 33%, dan hijau 17%. Pereka bentuk boleh melaraskan nisbah ini dengan menukar kiraan muka dan bukannya mencipta sistem peleraian yang kompleks secara matematik.

Dau meletup ialah dadu yang, apabila membaling nilai maksimum, dilempar semula dan hasilnya ditambah. D6 yang meletup pada 6 mempunyai nilai jangkaan (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × jangkaan nilai d6) = 3.5 + (1/6 × 3.5) = 3.5 + 0.583 = 4.083. Sifat terbuka mencipta hasil yang tidak terhad secara teori - urutan letupan yang bertuah boleh menghasilkan jumlah yang sangat tinggi - yang menghasilkan detik "bertuah" yang sengaja ditanam oleh sesetengah permainan. Pertukarannya ialah varians yang tinggi dan guling bertuah yang menentukan permainan sekali-sekala.

Dadu terikat ialah falsafah yang bertentangan: mengehadkan hasil maksimum untuk mengekang varians. Sistem kumpulan dadu di mana anda membaling berbilang dadu dan hanya mengambil keputusan N terbaik (sistem kelebihan seperti mekanik kelebihan D&D 5E, atau mengambil tertinggi berbilang dadu Gumshoe) secara matematik mengurangkan varians sambil mengekalkan rasa kebarangkalian. Mengambil yang lebih tinggi daripada dua gulungan d6 mengalihkan nilai yang dijangkakan daripada 3.5 kepada 4.47 — peningkatan 28% — sambil mengurangkan kebarangkalian hasil yang rendah dengan ketara.

Nilai Jangkaan dalam Permainan Sumber

Permainan pengumpulan sumber — Euro, pembina enjin, strategi ekonomi — dibina berdasarkan pengiraan nilai jangkaan yang mesti difahami oleh pereka bentuk dengan tepat walaupun ia tidak pernah muncul secara eksplisit dalam buku peraturan. Apabila pemain memilih antara dua tindakan, mereka (secara sedar atau tidak) membandingkan nilai jangkaan tindakan tersebut sepanjang tempoh masa yang berkaitan.

Neutronium: Parallel Wars ialah contoh eksplisit nilai jangkaan yang direka bentuk. Formula pendapatan menetapkan bahawa pemain dengan Pelabuhan Nuklear N menerima pendapatan pada kadar yang berskala bukan linear dengan N. Formula khusus — 1 port menghasilkan 2 Neutronium unit setiap pusingan; 10 port menghasilkan 220 Nn setiap pusingan — bukan kebetulan. Penyataan eksplisit pereka bentuk bahawa pengumpulan port harus menghasilkan pulangan eksponen dan bukannya linear, kerana pulangan eksponen mewujudkan ambang gabungan yang mendorong dinamik persaingan permainan.

Formula ini ialah reka bentuk permainan yang disengajakan yang dinyatakan sebagai matematik. Jurang antara pendapatan 7 pelabuhan (42 Nn/pusingan) dan pendapatan 10 pelabuhan (220 Nn/pusingan) adalah hujah ekonomi mengapa gabungan terbentuk di ambang 7 pelabuhan dan bukannya menunggu sehingga 9 atau 10 pelabuhan. Di 7 pelabuhan, pemain mempunyai pendapatan yang mencukupi untuk mengancam — tetapi tindakan gabungan masih boleh menjadi penentu sebelum kelebihan pendapatan menjadi tidak dapat diatasi secara matematik. Seorang pereka bentuk yang mencapai nombor ini melalui ujian main sahaja mungkin menganggapnya betul; pereka bentuk yang memahami fungsi eksponen dari awal boleh menentukan ambang dengan tepat.

Prinsip yang lebih luas: apabila penskalaan eksponen ialah reka bentuk permainan yang disengajakan, pereka bentuk mesti mendokumentasikan fungsi penskalaan dan mengesahkan bahawa ambang yang dibuatnya adalah di tempat yang mereka inginkan. Jika ambang gabungan sepatutnya berada pada 6 port dan bukannya 7, formula pendapatan perlu diselaraskan — yang memerlukan mengetahui formula itu, bukan hanya memerhatikan bahawa "permainan terasa seimbang."

Varians dan Persepsi Pemain

Variance ialah ukuran berapa banyak hasil sebenar tersebar di sekitar nilai yang dijangkakan. Varians tinggi bermakna keputusan individu boleh berbeza secara dramatik daripada jangkaan; varians rendah bermakna hasil berkumpulan rapat di sekitar purata. Bagi pereka bentuk permainan, varians ialah tombol kawalan yang mempengaruhi kedua-dua kesaksamaan matematik permainan dan pengalaman subjektif bermainnya.

Cerapan psikologi utama: varians yang tinggi terasa teruk walaupun apabila ia seimbang secara matematik. Sebalik syiling adalah adil sekali — 50/50, nilai jangkaan betul-betul sama untuk kedua-dua pemain — tetapi bermain permainan di mana setiap keputusan diselesaikan dengan sebalik syiling terasa sewenang-wenangnya dan tidak memberi ganjaran. Pemain perlu merasakan bahawa keputusan mereka penting, yang bermaksud mereka memerlukan hubungan sebab akibat antara keputusan yang baik dan hasil yang baik untuk dapat dilihat dalam sesi permainan. Pemutus varians tinggi sambungan itu.

Masalah 7 lawan 2 Catan hex menggambarkan perkara ini dengan jelas. Di Catan, nombor 7 dicetak pada heks terbanyak kerana ia mempunyai kebarangkalian tertinggi dengan 2d6 (16.7%). Nombor 2 dicetak pada heks paling sedikit (2.8%). Pemain berpengalaman tahu untuk mengutamakan sumber pada 6s, 8s, 5s dan 9s — heks berkemungkinan tinggi. Tetapi dalam mana-mana sesi tertentu, pemain yang meletakkan penyelesaian awal mereka dengan betul pada heks ini masih boleh berprestasi rendah dengan ketara oleh pemain dengan peletakan kebarangkalian lebih rendah jika balingan dadu sebenar menyimpang daripada nilai yang dijangkakan. Ini tidak adil — ia adalah variasi statistik biasa. Tetapi rasanya tidak adil kerana hubungan antara keputusan (penempatan yang baik) dan hasil (pendapatan sumber yang kerap) dikaburkan oleh varians.

Penyelesaian reka bentuk untuk mengurus rasa tidak adil daripada varians termasuk: mekanik mitigasi (gulungan semula, bank sumber, mekanisme mengejar yang diaktifkan pada larian nasib malang), titik keputusan yang kekal bermakna walaupun selepas nasib malang (jadi pemain yang bermain dengan buruk masih mempunyai pilihan yang menarik), danmelalui varians yang mendahului: mahukan pendapatan yang stabil dan boleh diramal; pemain yang ketinggalan mendapat manfaat daripada pendekatan varians tinggi yang boleh merapatkan jurang dengan cepat, walaupun nilai yang dijangkakan adalah sama).

Detik-detik Kingmaker daripada dadu — di mana guling rawak menentukan pemain yang menang atau kalah dalam pusingan akhir — adalah hasil varians yang paling merosakkan untuk kepuasan pemain. Penyelesaiannya bukanlah menghapuskan dadu tetapi menstrukturkan permainan lewat supaya hasil dadu mempengaruhi laluan kepada kemenangan dan bukannya menentukannya secara langsung. Apabila berbilang pemain mempunyai kedudukan kemenangan yang berdaya maju ke pusingan akhir, gulungan bertuah memuaskan bagi pemenang tetapi tidak berasa tidak sah kepada yang kalah — kerana yang kalah juga mempunyai laluan untuk menang yang boleh didayakan oleh gulungan bertuah mereka sendiri.

Ujian Imbangan dengan Matematik

Rangka kerja MEQA (Kebolehukur, Penglibatan, Kualiti, Kebolehcapaian) menyediakan pendekatan berstruktur untuk ujian imbangan permainan. Tiang Kebolehukur — M dalam MEQA — ialah tempat matematik memasuki proses reka bentuk secara rasmi: sebelum ujian main bermula, pereka bentuk mentakrifkan maksud "seimbang" dalam istilah yang boleh diukur.

Untuk permainan dengan puak tidak simetri seperti Neutronium: Parallel Wars, baki boleh diukur bermaksud: setiap puak harus mencapai kadar kemenangan dalam jalur toleransi yang ditentukan merentas sampel permainan yang mencukupi pada tahap kemahiran yang setanding. Jika sasaran adalah 50% kadar kemenangan (baki tulen) dengan julat ±10% yang boleh diterima, maka puak yang memenangi 42% permainan adalah dalam toleransi dan puak yang memenangi 63% tidak. Tetapi untuk mencapai standard ini memerlukan mengetahui sasaran sebelum ujian — tidak mengisytiharkan post-hoc bahawa kadar kemenangan yang diperhatikan adalah "cukup dekat."

Menentukan metrik sebelum ujian bermain mengubah perkara yang anda perhatikan. Jika anda tahu anda mengukur kadar kemenangan setiap puak, anda menjejaki tugasan dan hasil puak merentas sesi. Jika anda tahu anda mengukur purata panjang permainan, anda merekodkan cap masa. Keputusan ini mesti dibuat sebelum sesi ujian main pertama, kerana metrik retrospektif tidak boleh dipercayai — ingatan adalah selektif dan manusia secara semula jadi mengingati sesi yang menyokong kepercayaan sedia ada.

Keperluan saiz sampel untuk kesimpulan keseimbangan selalunya lebih besar daripada jangkaan pereka bentuk. Untuk permainan 2 pemain dengan 2 puak, 30 permainan menyediakan data garis dasar untuk mengesan ketidakseimbangan yang lebih besar daripada 15% pada keyakinan 80%. Untuk permainan 4 pemain dengan 6 puak, ruang gabungan adalah lebih besar: 30 permainan memberi anda kira-kira 5 permainan bagi setiap pasangan puak — hampir tidak mencukupi untuk mengesan ketidakseimbangan yang melampau dan tidak mencukupi untuk mengesan kelebihan halus. Penerbit indie jarang mempunyai sumber untuk pengesahan statistik yang ketat; pendekatan praktikal ialah menggunakan matematik untuk mengesahkan nilai yang dijangkakan, ujian bermain untuk menangkap penyimpangan dan maklum balas komuniti selepas keluaran untuk mengenal pasti isu yang masih ada.

Untuk rangka kerja penuh — termasuk cara Kebolehukuran disepadukan dengan tiang MEQA yang lain — lihat MEQA panduan rangka kerja imbangan permainan, yang merangkumi pendekatan lengkap untuk mentakrif, mengukur dan mencapai keseimbangan sistem permainan.

Formula penskalaan pendapatan dalam Neutronium bersambung terus ke butiran mekanik di /mechanics/nuclear-port-scaling, di mana fungsi eksponen didokumenkan bersama penaakulan reka bentuk untuk setiap nilai ambang.

Alat Kebarangkalian untuk Pereka

Beberapa alatan menjadikan matematik reka bentuk permainan boleh diakses tanpa memerlukan latihan statistik lanjutan. Ini adalah yang berfungsi dalam amalan.

AnyDice (anydice.com) ialah kalkulator kebarangkalian dadu standard untuk pereka permainan. Ia menerima tatatanda dadu bahasa semula jadi (2d6, d4+d8, 3d6 kekal tertinggi 2) dan mengembalikan taburan kebarangkalian, nilai dijangka dan kebarangkalian terkumpul. Untuk mana-mana mekanik yang melibatkan dadu, AnyDice harus menjadi alat pertama yang dirujuk. Graf keluarannya menjadikan taburan mudah dibaca dan setanding dengan serta-merta — tampalkan dua ungkapan dadu yang berbeza bersebelahan untuk melihat dengan serta-merta bagaimana taburannya berbeza.

Simulasi hamparan (Helaian Google, Excel) mengendalikan pengiraan yang AnyDice tidak boleh: pengumpulan sumber sepanjang berbilang pusingan, pendapatan dengan berbilang sumber, jangkaan panjang permainan di bawah andaian strategik yang berbeza. Model hamparan asas ekonomi permainan — dengan lajur untuk setiap pusingan, baris untuk setiap jenis sumber dan formula yang mewakili pendapatan teras dan mekanik perbelanjaan permainan — mengambil masa 2–3 jam untuk membina dan mendedahkan isu keseimbangan yang memerlukan 20+ ujian main untuk ditemui secara empirik.

Simulasi Monte Carlo ialah alat ketepatan tertinggi: menjalankan mekanik permainan beribu-ribu kali secara pengiraan untuk menghasilkan taburan statistik merentas semua hasil yang mungkin. Untuk pereka dengan latar belakang pengaturcaraan, Python dengan NumPy mencukupi untuk kebanyakan keperluan simulasi permainan. Bagi pereka bentuk tanpa latar belakang pengaturcaraan, terdapat alat visual Monte Carlo dan juga simulasi berasaskan hamparan yang menghasilkan hasil yang bermakna dengan pengetahuan teknikal yang terhad. Monte Carlo paling berharga untuk permainan dengan saling bergantung yang kompleks di mana pengiraan analitik sukar — apabila berbilang peristiwa rawak berinteraksi, simulasi menghasilkan anggaran pengedaran yang lebih dipercayai daripada pengiraan manual.

Bila untuk mempercayai matematik berbanding bila untuk ujian bermain: gunakan matematik untuk mengesahkan keseimbangan teori dan menangkap ralat reka bentuk yang jelas sebelum melabur dalam ujian bermain. Gunakan ujian main untuk mengetahui cara psikologi manusia berinteraksi dengan matematik — tempat di mana strategi optimum berbeza daripada perkara yang sebenarnya dilakukan oleh pemain, dan tempat di mana matematik meramalkan keseimbangan tetapi pengalaman itu terasa tidak adil. Kedua-duanya perlu. Kedua-duanya tidak memadai sahaja.

Soalan Lazim