Всяка механика на настолна игра има математическа идентичност. Хвърлянето на зарове има очаквана стойност и вариация. Тегленето на карти има разпределение на вероятностите. Търговията с ресурси има обменен курс, който може да бъде изразен като съотношение. Дизайнерите, които разбират тази математика, вземат по-добри решения от дизайнерите, които работят по усещане – не защото математиката замества интуицията, а защото интуицията често не е съгласна с реалността по начини, които самото тестване се коригира бавно.
Тази статия обхваща математическите концепции, които имат най-голямо значение за дизайна и играта на настолни игри: вероятностни разпределения, очаквана стойност, дисперсия и психологическата разлика между това, което казва математиката, и това, което играчите преживяват. Независимо дали проектирате игра или просто се опитвате да разберете защо вашите сесии със зарове се чувстват толкова катастрофално нещастни, рамката тук ще промени начина, по който мислите за произволността в игрите.
Защо математиката има значение в дизайна на играта
Дизайнер на игри, който не е изчислил очакваната стойност на икономиката на основното действие на играта си, не знае дали играта му работи. Това звучи грубо, но функционално е вярно. Ако очакваният доход от най-доброто налично действие е 4 ресурса на рунд и цената на действието за условие за победа е 30 ресурса, дизайнерът трябва да знае дали този процент на доход е постижим за типичната продължителност на играта — преди тестване на играта, а не след шест сесии, чудейки се защо никой никога не печели.
Математиката и тестовете за игра са допълващи се инструменти, а не алтернативи. Математиката ви казва какво прогнозира теорията. Playtesting ви казва дали човешкото поведение отговаря на теорията. През повечето време те се разминават - не защото математиката е грешна, а защото играчите не винаги избират теоретично оптималното действие. Разликата между теоретичната оптимална игра и действителната човешка игра сама по себе си е променлива на дизайна: игра, в която само оптималната игра води до интересни решения, е по-лоша игра от тази, в която неоптималната игра също създава интересни ситуации.
Всеки механик има очаквана стойност и дизайнерите трябва да я знаят. Когато играч на Neutronium: Parallel Wars печели доход от ядрени портове, той получава точно изчислена очаквана стойност на порт на рунд. Когато изберат да атакуват, вместо да строят, те вземат решение, което има изчислими очаквани резултати при различни сценарии. Дизайнерът, който знае тези числа, може да вземе смислени решения за баланс; дизайнерът, който не знае, се досеща.
Критичната асиметрия е, че случайността изглежда несправедлива дори когато е балансирана. Хвърлянето на монета 50/50 води до глави шест пъти подред приблизително в 1,6% от времето — рядко, но не и невъзможно. Когато това се случи на играч в игра, той го преживява като счупена игра, а не като нормално статистическо събитие. Разбирането защо това се случва – и как дизайнерите могат да структурират произволността, за да се чувстват по-малко наказващи, като същевременно поддържат същите основни вероятности – е най-ценното от практическа гледна точка приложение на математиката за дизайн на игри.
Вероятност за зарове 101
Единичният d6 е най-разпространеният инструмент за рандомизация в настолните игри, а също и един от най-неразбраните. Стандартен d6 създава равномерно разпределение: всяко лице (1 до 6) има 1/6 вероятност да се появи, а очакваната стойност е 3,5. Играчите интуитивно разбират това, но често не успяват да разберат какво означава многократно прехвърляне на сесия.
Разликата единичен d6 срещу 2d6 е основополагаща за разбирането защо различните механики на зарове се чувстват различно. Единичен d6 има плоско разпределение на вероятността — всеки резултат от 1 до 6 е еднакво вероятен. Две сумирани d6 произвеждат камбановидна крива: 7 е най-вероятният резултат (вероятност 6/36 = 16,7%), докато 2 и 12 имат вероятност 1/36 = 2,8%. Разпределението 2d6 концентрира резултатите близо до средата и прави екстремните резултати редки. Ето защо Catan, който използва 2d6 за производство на ресурси, се чувства по-малко наказателен при отделни хвърляния, отколкото системите с един зар — разпределението естествено ограничава екстремните резултати.
Персонализирани зарове с нестандартно разпределение на лицето дават на дизайнерите прецизен контрол върху вероятностните профили, които стандартните зарове не могат да предоставят. Зарът с лицата [0, 0, 0, 1, 1, 2] има много различен характер от d6: той произвежда нула в 50% от времето, едно в 33% от времето и две в 17% от времето, с очаквана стойност от 0,67. Neutronium: Parallel Wars използва персонализирани зарове D6 с цветно кодирани лица: сините лица представляват стандартни бойни резултати, червените лица представляват критични резултати, а зелените лица представляват задействания на специални способности. Разпределението на типовете лица - не само броят на лицата - определя вероятността за всеки резултат. Зар с три сини лица, две червени лица и едно зелено лице дава сини резултати в 50% от времето, червени 33% и зелени 17%. Дизайнерът може да коригира тези съотношения чрез промяна на броя на лицата, вместо да създава математически сложни системи за разделителна способност.
Взривяващи се зарове са зарове, които при хвърляне на максималната стойност се хвърлят отново и резултатите се добавят. D6, който избухва на 6, има очаквана стойност от (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × очаквана стойност на d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Отворената природа създава теоретично неограничени резултати - щастлива последователност от експлозии може да доведе до много високи суми - което създава моментите на „чувства за късмет“, които някои игри съзнателно култивират. Компромисът е висока вариация и случайно хвърляне на късмет, определящо играта.
Ограничените зарове са противоположната философия: ограничаване на максималния резултат, за да се ограничи дисперсията. Системите за събиране на зарове, при които хвърляте множество зарове и взимате само най-добрите N резултати (системи за предимство като механиката за предимство на D&D 5E или най-високото вземане на множество зарове на Gumshoe) математически намаляват дисперсията, като същевременно поддържат вероятностно усещане. Вземането на по-високото от две хвърляния d6 измества очакваната стойност от 3,5 на 4,47 — 28% подобрение — като същевременно значително намалява вероятността от слаби резултати.
Очаквана стойност в Resource Games
Игрите за натрупване на ресурси — евро, конструктори на двигатели, икономически стратегии — са изградени върху изчисления на очакваната стойност, които дизайнерът трябва да разбере точно, дори ако те никога не се появяват изрично в книгата с правила. Когато играч избира между две действия, той (съзнателно или не) сравнява очакваната стойност на тези действия за съответния времеви хоризонт.
Системата за приходи на Nuclear Port на Neutronium: Parallel Wars е ясен пример за проектирана очаквана стойност. Формулата за доход установява, че играч с N ядрени порта получава доход със скорост, която се променя нелинейно с N. Конкретната формула — 1 порт дава 2 Neutronium единици на рунд; 10 порта дават 220 Nn на кръг - не е случайно. Изричното изявление на дизайнера е, че натрупването на портове трябва да произвежда експоненциална, а не линейна възвръщаемост, тъй като експоненциалната възвръщаемост създава коалиционния праг, който управлява конкурентната динамика на играта.
Тази формула е умишлен дизайн на играта, изразен като математика. Разликата между дохода от 7 порта (42 Nn/кръг) и дохода от 10 порта (220 Nn/кръг) е икономическият аргумент защо коалициите се формират при прага от 7 порта, вместо да чакат до 9 или 10 порта. При 7 порта играчът има достатъчно приходи, за да бъде заплашителен — но коалиционните действия все още могат да бъдат решаващи, преди предимството в доходите да стане математически непреодолимо. Дизайнер, който е стигнал до тези числа само чрез тестване на играта, може да ги направи приблизително правилни; дизайнер, който е разбрал експоненциалната функция от самото начало, би могъл да определи точно прага.
По-широкият принцип: когато експоненциалното мащабиране е умишлен дизайн на играта, дизайнерът трябва да документира функцията за мащабиране и да провери дали създаваните от нея прагове са там, където ги искат. Ако коалиционният праг трябва да бъде 6 пристанища, а не 7, формулата за доходите трябва да се коригира – което изисква да се знае каква е формулата, а не просто да се наблюдава, че „играта се чувства балансирана“.
Разлика и възприятие на играча
Вариансът е мярката за това колко действителни резултати се разпространяват около очакваната стойност. Високата дисперсия означава, че индивидуалните резултати могат драстично да се различават от очакванията; ниска дисперсия означава, че резултатите са групирани плътно около средната стойност. За дизайнерите на игри дисперсията е контролно копче, което влияе както на математическата справедливост на играта, така и на субективното изживяване от нейната игра.
Ключовото психологическо прозрение: високата вариация се чувства зле дори когато е математически балансирана. Хвърлянето на монета е напълно справедливо — 50/50, очакваната стойност е напълно равна и за двамата играчи — но играенето на игра, в която всяко решение се разрешава чрез хвърляне на монета, се чувства произволно и невъзнаграждаващо. Играчите трябва да чувстват, че решенията им имат значение, което означава, че се нуждаят от причинно-следствената връзка между добрите решения и добрите резултати, за да могат да се усетят в рамките на игровата сесия. Голямото отклонение прекъсва тази връзка.
Проблемът 7 срещу 2 Catan hex ясно илюстрира това. В Catan числото 7 се отпечатва на повечето шестнадесетици, защото има най-висока вероятност с 2d6 (16,7%). Числото 2 е отпечатано на най-малко шестнадесетици (2,8%). Опитните играчи знаят как да приоритизират ресурсите на 6s, 8s, 5s и 9s - шестнадесетици с висока вероятност. Но във всяка дадена сесия, играч, който правилно поставя първоначалните си селища на тези шестнадесетици, все още може да бъде значително по-слаб от играч с по-нисковероятни разположения, ако действителните хвърляния на зарове се отклоняват от очакваните стойности. Това не е несправедливо - това е нормална статистическа вариация. Но изглежда несправедливо, защото връзката между решението (добро разположение) и резултата (чести доходи от ресурси) е затъмнена от вариация.
Дизайнерските решения за управление на възприетата несправедливост от вариация включват: механика за смекчаване (превъртания, банки с ресурси, механизми за наваксване, които се активират при лош късмет), точки за вземане на решение, които остават значими дори след лош късмет (така че играч, който се хвърля лошо, все още има интересен избор) и вариация, която предпочита изоставащите играчи (наваксване чрез вариация: водещият играч иска стабилен, предвидим доход; изоставащите играчи се възползват от подходи с висока вариация, които могат бързо да намалят разликата, въпреки че очакваната стойност е същата).
Кингмейкър моменти от зарове — където произволно хвърляне определя кой играч печели или губи във финалния рунд — са най-вредните резултати от отклонения за удовлетворението на играча. Решението не е елиминиране на зарове, а структуриране на късната игра, така че резултатите от зарове да повлияят на пътя към победата, вместо да я определят директно. Когато няколко играча имат жизнеспособни печеливши позиции, влизайки във финалния рунд, щастливото хвърляне е задоволително за победителя, но не се чувства нелегитимно за губещите — защото губещите също са имали път към печалба, който е можел да бъде активиран от техните собствени късметлии.
Тестване на баланс с математика
Рамката MEQA (измеримост, ангажираност, качество, достъпност) предоставя структуриран подход за тестване на баланса на играта. Стълбът за измерване — М в MEQA — е мястото, където математиката навлиза формално в процеса на проектиране: преди да започне тестването, дизайнерът определя какво означава „балансиран“ в измерими термини.
За игра с асиметрични фракции като Neutronium: Parallel Wars, измеримият баланс означава: всяка фракция трябва да постигне процент на печалба в рамките на определен диапазон на толерантност в достатъчна извадка от игри при сравними нива на умения. Ако целта е 50% процент на победа (чист баланс) с ±10% приемлив диапазон, тогава фракция, която печели 42% от игрите, е в рамките на толерантността, а фракция, която печели 63%, не е. Но постигането на този стандарт изисква познаване на целта преди тестване – а не деклариране след време, че наблюдаваните нива на печалба са „достатъчно близки“.
Дефинирането на показатели преди тестване на игра променя това, което наблюдавате. Ако знаете, че измервате процента на победа на фракция, вие проследявате назначенията на фракции и резултатите в сесиите. Ако знаете, че измервате средната продължителност на играта, записвате времеви отпечатъци. Тези решения трябва да се вземат преди първата тестова сесия, тъй като ретроспективните показатели са ненадеждни – паметта е селективна и хората естествено запомнят сесии, които подкрепят съществуващите вярвания.
Изискванията за размер на извадката за балансирани заключения често са по-големи, отколкото проектантите очакват. За игра за 2 играчи с 2 фракции, 30 игри предоставят базови данни за откриване на дисбаланси, по-големи от 15% при 80% увереност. За игри с 4 играчи с 6 фракции пространството за комбиниране е много по-голямо: 30 игри ви дават приблизително 5 игри на двойка фракции — едва достатъчно за откриване на изключителен дисбаланс и недостатъчно за откриване на фини предимства. Независимите издатели рядко разполагат с ресурси за строго статистическо валидиране; практическият подход е да се използва математика за проверка на очакваните стойности, тестване на играта за улавяне на отклонения и обратна връзка от общността след пускане за идентифициране на оцелели проблеми.
За пълната рамка — включително как измеримостта се интегрира с другите стълбове на MEQA — вижте MEQA ръководството за рамката на баланса на играта, което обхваща цялостния подход за дефиниране, измерване и постигане на баланс между игровите системи.
Формулата за мащабиране на дохода в Neutronium се свързва директно с подробностите за механиката в /mechanics/nuclear-port-scaling, където експоненциалната функция е документирана заедно с мотивите на дизайна за всяка прагова стойност.
Инструменти за вероятности за дизайнери
Няколко инструмента правят математиката за дизайна на игрите достъпна, без да се изисква разширено статистическо обучение. Това са тези, които работят на практика.
AnyDice (anydice.com) е стандартният калкулатор за вероятност за зарове за дизайнери на игри. Той приема нотация със зарове на естествен език (2d6, d4+d8, 3d6 запазва най-високото 2) и връща вероятностни разпределения, очаквани стойности и кумулативни вероятности. За всеки механик, включващ зарове, AnyDice трябва да бъде първият инструмент, с който се консултира. Неговите изходни графики правят разпределенията незабавно четливи и сравними - поставете два различни израза на зарове един до друг, за да видите веднага как техните разпределения се различават.
Симулации с електронни таблици (Google Sheets, Excel) обработват изчисления, които AnyDice не може: натрупване на ресурси за множество рундове, приходи с множество източници, очаквана продължителност на играта при различни стратегически допускания. Базов модел на електронна таблица на икономиката на играта — с колони за всеки ход, редове за всеки тип ресурс и формули, представящи основния механизъм на приходите и разходите на играта — отнема 2–3 часа за изграждане и разкрива проблеми с баланса, които биха отнели 20+ теста за игра, за да бъдат открити емпирично.
Симулацията на Монте Карло е инструментът с най-висока точност: изпълняване на механиката на играта хиляди пъти изчислително, за да се получат статистически разпределения за всички възможни резултати. За дизайнери с опит в програмирането Python с NumPy е достатъчен за повечето нужди от симулация на игри. За дизайнери без опит в програмирането има визуални инструменти Монте Карло и дори базирани на електронни таблици симулации, които дават значими резултати с ограничени технически познания. Монте Карло е най-ценен за игри със сложни взаимозависимости, където аналитичните изчисления са трудни — когато множество случайни събития си взаимодействат, симулацията дава по-надеждни оценки на разпределението, отколкото ръчното изчисление.
Кога да се доверите на математиката и кога да тествате: използвайте математика, за да проверите теоретичния баланс и да уловите очевидни грешки в дизайна, преди да инвестирате в тестване на игра. Използвайте тестове за игра, за да откриете как човешката психология взаимодейства с математиката - местата, където оптималната стратегия се различава от това, което играчите действително правят, и местата, където математиката предвижда баланс, но опитът се чувства несправедлив. И двете са необходими. Нито едното не е достатъчно само.
Често задавани въпроси
Игра, в която математиката е проектирана да бъде видима
Мащабирането на приходите, коалиционните прагове и системата на зарове на Neutronium: Parallel Wars са изградени върху явна вероятностна математика. Присъединете се към списъка с чакащи за стартиране на актуализации.
Присъединете се към списъка с чакащи →