Matek társasjáték: Valószínűség, várható érték és miért érzi magát igazságtalannak a kocka?

Every board game mechanic has a mathematical identity. A kockadobásnak van várható értéke és eltérése. A kártyahúzásnak van valószínűségi eloszlása. Az erőforrás-kereskedelemnek van egy arányszámmal kifejezhető árfolyama. Azok a tervezők, akik értik ezt a matematikát, jobb döntéseket hoznak, mint azok a tervezők, akik érzés alapján dolgoznak – nem azért, mert a matematika helyettesíti az intuíciót, hanem azért, mert az intuíció gyakran nem egyezik a valósággal oly módon, hogy a tesztelés önmagában lassan korrigál.

Ez a cikk a társasjátékok tervezése és játéka szempontjából legfontosabb matematikai fogalmakat tárgyalja: valószínűségi eloszlások, várható érték, szórás, valamint a matematika által elmondottak és a játékosok tapasztalatai közötti pszichológiai szakadék. Akár játékot tervez, akár csak megpróbálja megérteni, hogy a kockamenetek miért olyan katasztrofálisan szerencsétlenek, az itt található keret megváltoztatja, hogyan gondolja a véletlenszerűségről a játékokban.

Miért számít a matematika a játéktervezésben?

A A játéktervező, aki nem számolta ki játéka alapvető akciógazdaságának várható értékét, nem tudja, működik-e a játéka. Ez durván hangzik, de funkcionálisan igaz. Ha a legjobb elérhető akcióból a várt bevétel körönként 4 erőforrás, a győzelmi feltételhez kötött akció költsége pedig 30 erőforrás, akkor a tervezőnek tudnia kell, hogy ez a bevételi ráta elérhető-e a játék tipikus időtartama alatt – a játéktesztelés előtt, nem pedig hat olyan munkamenet után, hogy vajon miért nem nyer soha senki.

Math és a játékteszt egymást kiegészítő eszközök, nem alternatívák. A matematika megmondja, mit jósol az elmélet. A játékteszt megmondja, hogy az emberi viselkedés megfelel-e az elméletnek. Legtöbbször eltérnek egymástól – nem azért, mert rossz a matematika, hanem azért, mert a játékosok nem mindig az elméletileg optimális akciót választják. Az elméleti optimális játék és a tényleges emberi játék közötti szakadék maga is tervezési változó: az a játék, ahol csak az optimális játék hoz érdekes döntéseket, rosszabb, mint az, ahol a szuboptimális játék is érdekes helyzeteket teremt.

Minden szerelőnek van egy elvárt értéke, és ezt a tervezőknek tudniuk kell. Amikor egy Neutronium: Parallel Wars játékos bevételhez jut a Nuclear Port-ekből, portonként pontosan kerekített várható értéket kap. Amikor úgy döntenek, hogy támadás helyett építenek, olyan döntést hoznak, amelynek különböző forgatókönyvek esetén kiszámítható várható kimenetele van. Az a tervező, aki ismeri ezeket a számokat, értelmes egyensúlyi döntéseket hozhat; the designer who does not is guessing.

A kritikus aszimmetria az, hogy a véletlenszerűség még akkor is igazságtalan, ha kiegyensúlyozott. Egy 50/50-es érmefeldobás az esetek 1,6%-ában egymás után hatszor ad fejet – ritkán, de nem lehetetlen. Amikor ez megtörténik egy játékossal egy játékban, akkor azt úgy élik meg, mint a játékot, és nem egy szokásos statisztikai eseményként. A játéktervezési matematika gyakorlati szempontból legértékesebb alkalmazása annak megértése, hogy ez miért történik – és hogyan tudják a tervezők úgy strukturálni a véletlenszerűséget, hogy kevésbé büntetésnek érezzék magukat, miközben ugyanazokat a mögöttes valószínűségeket megtartják.

Kocka valószínűsége 101

A single d6 a társasjátékok leggyakoribb randomizációs eszköze, és egyben az egyik leginkább félreértett eszköz. A standard d6 egyenletes eloszlást eredményez: minden lap (1-6) előfordulási valószínűsége 1/6, a várható érték pedig 3,5. A játékosok intuitív módon megértik ezt, de gyakran nem értik, mit jelent a munkamenet ismételt feldobása.

A single d6 versus 2d6 megkülönböztetés alapvető fontosságú annak megértésében, hogy a különböző kockamechanikák miért érzik magukat másnak. Egyetlen d6-nak lapos valószínűségi eloszlása ​​van – 1-től 6-ig minden eredmény egyformán valószínű.Két d6 összegzése haranggörbét eredményez: a 7 a legvalószínűbb eredmény (valószínűség: 6/36 = 16,7%), míg 2 és 12 valószínűsége 1/36 = 2,8%. A 2d6 eloszlás az eredményeket a középső közelében koncentrálja, és ritkítja az extrém eredményeket. Ez az oka annak, hogy a Catan, amely 2d6-ot használ az erőforrások előállításához, kevésbé érzi magát büntetőnek az egyes dobásokon, mint az egykockás rendszerek – az elosztás természetesen korlátozza a szélsőséges eredményeket.

Egyéni kockák nem szabványos arckiosztással olyan precíz vezérlést biztosítanak a tervezőknek a valószínűségi profilok felett, amelyeket a szabványos kockák nem tudnak biztosítani. A [0, 0, 0, 1, 1, 2] lapokkal rendelkező kocka karaktere egészen más, mint a d6: az idő 50%-ában nullát, az idő 33%-ában egyet, az esetek 17%-át pedig kettőt produkál, várható értéke 0,67. A Neutronium: Parallel Wars egyedi D6-os kockákat használ színkódolt arcokkal: a kék arcok a szabványos harci eredményeket, a pirosak a kritikus eredményeket, a zöldek pedig a speciális képesség-kiváltókat jelölik. Az arctípusok eloszlása ​​– nem csak az arcok száma – határozza meg az egyes kimenetelek valószínűségét. A három kék, két piros és egy zöld lappal rendelkező kocka az esetek 50%-ában kék, 33%-ban piros, 17%-ban zöld színt eredményez. A tervező ezeket az arányokat úgy állíthatja be, hogy megváltoztatja az arcszámot, nem pedig matematikailag összetett felbontási rendszereket.

A felrobbanó kockák olyan kockák, amelyeket a maximális érték dobásakor újra dobnak, és hozzáadják az eredményeket. A 6-on felrobbanó d6 várható értéke (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6 várható értéke) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. A nyílt végű természet elméletileg korlátlan eredményeket hoz létre – a robbanások szerencsés sorozata nagyon magas végösszegeket eredményezhet –, ami azokat a "szerencsés érzés" pillanatait hozza létre, amelyeket egyes játékok szándékosan művelnek. A kompromisszum a nagy szórás és a játékot időnként meghatározó szerencsedobás.

Korlátozott kocka az ellenkező filozófia: a maximális eredmény korlátozása a variancia korlátozása érdekében. Azok a kockagyűjtő rendszerek, ahol több kockával dob, és csak a legjobb N eredményt éri el (előnyös rendszerek, mint a D&D 5E előnye mechanikája vagy a Gumshoe többszörös dobókockája a legmagasabb), matematikailag csökkentik a szórást, miközben megtartják a valószínűségi érzetet. Ha két d6 dobás közül a magasabbat választjuk, a várt érték 3,5-ről 4,47-re tolódik el – ez 28%-os javulás –, miközben jelentősen csökkenti az alacsony kimenetelek valószínűségét.

Várható érték a Resource Games-ben

Az erőforrás-felhalmozó játékok – eurók, motorépítők, gazdasági stratégiák – várható érték számításokra épülnek, amelyeket a tervezőnek pontosan meg kell értenie, még akkor is, ha soha nem jelennek meg kifejezetten a szabálykönyvben. Amikor egy játékos két akció közül választ, akkor (tudatosan vagy sem) összehasonlítja ezen akciók várható értékét a megfelelő időhorizontban.

Neutronium: Parallel Wars Nuclear Port jövedelemrendszere a tervezett várható érték explicit példája. A bevételi képlet megállapítja, hogy az N Nuclear Port-szel rendelkező játékos olyan arányban kap bevételt, amely nem lineárisan skálázódik N-nel. A speciális képlet – 1 port 2 Neutronium egységet eredményez körönként; 10 port 220 Nn-et eredményez körönként – nem véletlen.A tervező határozott kijelentése, hogy a portok felhalmozásának exponenciális, nem pedig lineáris hozamot kell produkálnia, mivel az exponenciális hozamok teremtik meg azt a koalíciós küszöböt, amely a játék versenydinamikáját vezérli.

Ez a képlet szándékos játéktervezés, matematikában kifejezve. A 7 portos bevétel (42 Nn/kör) és a 10 portos bevétel (220 Nn/kör) közötti különbség a gazdasági érv amellett, hogy miért hoznak létre koalíciókat a 7 portos küszöbnél, ahelyett, hogy 9 vagy 10 portig várnának. 7 porton a játékosnak elég bevétele van ahhoz, hogy fenyegető legyen – de a koalíciós akció még mindig döntő lehet, mielőtt a bevételi előny matematikailag leküzdhetetlenné válik. Egy tervező, aki egyedül játékteszttel jutott el ezekhez a számokhoz, megközelítőleg meg is találhatja őket; egy tervező, aki kezdettől fogva megértette az exponenciális függvényt, pontosan meghatározhatta a küszöböt.

A tágabb alapelv: Ha az exponenciális skálázás szándékos játéktervezés, a tervezőnek dokumentálnia kell a méretezési funkciót, és ellenőriznie kell, hogy az általa létrehozott küszöbértékek ott vannak-e, ahol akarják. Ha a koalíciós küszöbnek 7 helyett 6 portnak kellene lennie, akkor a bevételi képletet módosítani kell – ehhez tudnia kell, hogy mi a képlet, nem csak azt kell megfigyelni, hogy „a játék kiegyensúlyozottnak tűnik”.

Szórás és játékos észlelés

Variance annak mértéke, hogy a tényleges eredmények mennyivel oszlanak el a várható érték körül. A nagy szórás azt jelenti, hogy az egyéni eredmények drámaian eltérhetnek a várttól; Az alacsony szórás azt jelenti, hogy az eredmények szorosan az átlag körül csoportosulnak. A játéktervezők számára a variancia egy olyan vezérlőgomb, amely egyaránt befolyásolja a játék matematikai igazságosságát és a játék szubjektív élményét.

A legfontosabb pszichológiai betekintés: A nagy szórás még akkor is rossz érzés, ha matematikailag kiegyensúlyozott. Az érmefeldobás teljesen tisztességes – 50/50, a várható érték pontosan egyenlő mindkét játékos számára –, de olyan játékot játszani, ahol minden döntést érmefeldobás old meg, önkényesnek és kifizetődőnek tűnik. A játékosoknak érezniük kell, hogy a döntéseik számítanak, ami azt jelenti, hogy szükségük van a jó döntések és a jó eredmények közötti ok-okozati összefüggésre, hogy a játékmeneten belül érzékelhető legyen. A nagy szórás megszakítja azt a kapcsolatot.

A 7 versus 2 Catan hatszögletű probléma ezt jól szemlélteti. Catanban a 7-es szám van a legtöbb hatszögre nyomtatva, mert ennek a legnagyobb a valószínűsége 2d6-tal (16,7%). A 2-es szám a legkevesebb hatszögre van nyomtatva (2,8%). A tapasztalt játékosok tudják, hogy előnyben részesítsék az erőforrásokat a 6-os, 8-as, 5-ös és 9-eseknél – ez nagy valószínűséggel hat. De bármely adott játékmenetben egy játékos, aki helyesen helyezi el kezdeti elszámolásait ezekre a hatszögekre, még mindig jelentősen alulteljesíthet egy kisebb valószínűséggel helyezett játékostól, ha a tényleges kockadobások eltérnek a várt értékektől. Ez nem igazságtalan – ez normális statisztikai eltérés.De igazságtalannak tűnik, mert a döntés (jó elhelyezkedés) és az eredmény (gyakori erőforrás-bevétel) közötti kapcsolatot eltakarja az eltérés.

A szórásból eredő méltánytalanság észlelt kezelésére szolgáló tervezési megoldások a következők: mérséklő mechanika (újradobások, erőforrás bankok, felzárkózási mechanizmusok, amelyek balszerencsés futások esetén aktiválódnak), rossz jelentőségű pontok után is. szerencse (tehát a rosszul dobó játékosnak még mindig érdekes választási lehetőségei vannak), és a variance, amely a lemaradó játékosokat részesíti előnyben. ugyanaz).