Matek társasjáték: Valószínűség, várható érték és miért érzi magát igazságtalannak a kocka?

Minden társasjáték-szerelőnek van matematikai identitása. A kockadobásnak van várható értéke és eltérése. A kártyahúzásnak van valószínűségi eloszlása. Az erőforrás-kereskedelemnek van egy arányszámmal kifejezhető árfolyama. Azok a tervezők, akik értik ezt a matematikát, jobb döntéseket hoznak, mint azok a tervezők, akik érzés alapján dolgoznak – nem azért, mert a matematika helyettesíti az intuíciót, hanem azért, mert az intuíció gyakran nem egyezik a valósággal oly módon, hogy a tesztelés önmagában lassan korrigálja.

Ez a cikk a társasjátékok tervezése és játéka szempontjából legfontosabb matematikai fogalmakat tárgyalja: valószínűségi eloszlások, várható érték, szórás, valamint a matematika által elmondottak és a játékosok által tapasztaltak közötti pszichológiai szakadék. Akár egy játékot tervez, akár csak megpróbálja megérteni, hogy a kockamenetek miért olyan katasztrofálisan szerencsétlenek, az itt található keret megváltoztatja azt, ahogyan a véletlenszerűségről gondolkodik a játékokban.

Miért számít a matematika a játéktervezésben

Az a játéktervező, aki nem számolta ki játéka alapvető akciógazdaságának várható értékét, nem tudja, működik-e a játéka. Ez durván hangzik, de funkcionálisan igaz. Ha a legjobb elérhető akcióból a várható bevétel körönként 4 erőforrás, és a győzelmi feltételhez kötött akció költsége 30 erőforrás, akkor a tervezőnek tudnia kell, hogy ez a bevételi ráta elérhető-e a játék tipikus időtartama alatt – a játékteszt előtt, nem pedig hat munkamenet után, amikor azon töpreng, miért nem nyer soha senki.

A matematika és a játékteszt egymást kiegészítő eszközök, nem alternatívák. A matematika megmondja, mit jósol az elmélet. A játékteszt megmondja, hogy az emberi viselkedés megfelel-e az elméletnek. Legtöbbször eltérnek egymástól – nem azért, mert rossz a matematika, hanem azért, mert a játékosok nem mindig az elméletileg optimális akciót választják. Az elméleti optimális játék és a tényleges emberi játék közötti szakadék maga is tervezési változó: az a játék, ahol csak az optimális játék hoz érdekes döntéseket, rosszabb, mint az, ahol a szuboptimális játék is érdekes helyzeteket teremt.

Minden szerelőnek van egy elvárt értéke, és ezt a tervezőknek tudniuk kell. Amikor egy Neutronium: Parallel Wars játékos bevételre tesz szert az atomkikötőkből, akkor körönként portonként pontosan kiszámított várható értéket kap. Amikor úgy döntenek, hogy támadás helyett építenek, olyan döntést hoznak, amelynek különböző forgatókönyvek esetén kiszámítható várható kimenetele van. Az a tervező, aki ismeri ezeket a számokat, értelmes egyensúlyi döntéseket hozhat; a tervező, aki nem, találgat.

A kritikus aszimmetria az, hogy a véletlenszerűség akkor is igazságtalan, ha kiegyensúlyozott. Egy 50/50-es érmefeldobás az esetek 1,6%-ában egymás után hatszor ad fejet – ritkán, de nem lehetetlen. Amikor ez megtörténik egy játékossal egy játékban, akkor azt úgy élik meg, mint a játékot, és nem egy szokásos statisztikai eseményként. A játéktervezési matematika gyakorlati szempontból legértékesebb alkalmazása annak megértése, hogy ez miért történik – és hogyan tudják a tervezők úgy strukturálni a véletlenszerűséget, hogy kevésbé büntetésnek érezzék magukat, miközben fenntartják ugyanazokat a mögöttes valószínűségeket.

101-es kockavalószínűség

A single d6 a társasjátékok leggyakoribb randomizációs eszköze, és egyben az egyik leginkább félreértett eszköz. A standard d6 egyenletes eloszlást eredményez: minden lap (1-6) előfordulási valószínűsége 1/6, a várható érték pedig 3,5. A játékosok intuitív módon megértik ezt, de gyakran nem értik, mit jelent a munkamenet ismételt feldobása.

Az egyetlen d6 és 2d6 megkülönböztetés alapvető fontosságú annak megértéséhez, hogy a különböző kockamechanikák miért érzik magukat különbözőnek. Egyetlen d6-nak lapos valószínűségi eloszlása ​​van – 1-től 6-ig minden eredmény egyformán valószínű. Két d6 összegzése haranggörbét eredményez: a 7 a legvalószínűbb eredmény (valószínűség: 6/36 = 16,7%), míg 2 és 12 valószínűsége 1/36 = 2,8%. A 2d6 eloszlás az eredményeket a középső közelében koncentrálja, és ritkítja az extrém eredményeket. Ez az oka annak, hogy a Catan, amely 2d6-ot használ az erőforrások előállításához, kevésbé érzi magát büntetőnek az egyes dobásoknál, mint az egykockás rendszerek – az elosztás természetesen korlátozza a szélsőséges eredményeket.

Egyéni kockák nem szabványos lapeloszlással olyan precíz vezérlést biztosítanak a tervezőknek a valószínűségi profilok felett, amelyeket a szabványos kockák nem tudnak biztosítani. A [0, 0, 0, 1, 1, 2] lapokkal rendelkező kocka karaktere egészen más, mint a d6: az idő 50%-ában nullát, az idő 33%-ában egyet, az esetek 17%-át pedig kettőt produkál, várható értéke 0,67. A Neutronium: Parallel Wars egyedi D6-os kockákat használ színkódolt arcokkal: a kék arcok a szabványos harci eredményeket, a pirosak a kritikus eredményeket, a zöldek pedig a speciális képesség-kiváltókat jelölik. Az arctípusok eloszlása ​​– nem csak az arcok száma – határozza meg az egyes kimenetelek valószínűségét. A három kék, két piros és egy zöld lappal rendelkező kocka az esetek 50%-ában kék, 33%-ban piros, 17%-ban zöld színt eredményez. A tervező ezeket az arányokat az arcok számának megváltoztatásával állíthatja be, nem pedig matematikailag összetett felbontási rendszereket.

Robbanó kocka olyan kockák, amelyeket a maximális érték dobásakor újra dobnak, és hozzáadják az eredményeket. A 6-on felrobbanó d6 várható értéke (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6 várható értéke) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. A nyílt végű természet elméletileg korlátlan eredményeket hoz létre – a robbanások szerencsés sorozata nagyon magas végösszegeket eredményezhet –, ami azokat a "szerencsés érzés" pillanatait hozza létre, amelyeket egyes játékok szándékosan művelnek. A kompromisszum a nagy szórás és az időnként a játékot meghatározó szerencsedobás.

korlátozott kocka az ellenkező filozófia: a maximális eredmény korlátozása az eltérések korlátozása érdekében. Azok a kockagyűjtő rendszerek, ahol több kockával dob, és csak a legjobb N eredményt éri el (előnyös rendszerek, mint a D&D 5E előnye mechanikája vagy a Gumshoe többszörös dobókockája a legmagasabb), matematikailag csökkentik a szórást, miközben megtartják a valószínűségi érzetet. Ha két d6 dobás közül a magasabbat választjuk, a várt érték 3,5-ről 4,47-re tolódik el – ez 28%-os javulás –, miközben jelentősen csökkenti az alacsony kimenetelek valószínűségét.

Várható érték a Resource Games-ben

Az erőforrás-felhalmozási játékok – eurók, motorépítők, gazdasági stratégiák – várható érték számításokra épülnek, amelyeket a tervezőnek pontosan meg kell értenie, még akkor is, ha azok soha nem jelennek meg kifejezetten a szabálykönyvben. Amikor egy játékos két akció közül választ, akkor (tudatosan vagy sem) összehasonlítja ezen akciók várható értékét a megfelelő időhorizontban.

Neutronium: Parallel Wars atomkikötői bevételi rendszere a tervezett várható érték explicit példája. A bevételi képlet megállapítja, hogy az N nukleáris porttal rendelkező játékos olyan arányban kap bevételt, amely nem lineárisan skálázódik N-hez. A speciális képlet – 1 port 2 Neutronium egységet eredményez körönként; 10 port 220 Nn-t ad körönként – nem véletlen. A tervező kifejezett kijelentése, hogy a portok felhalmozásának exponenciális, nem pedig lineáris hozamot kell produkálnia, mivel az exponenciális hozamok teremtik meg azt a koalíciós küszöböt, amely a játék versenydinamikáját vezérli.

Ez a képlet szándékos játéktervezés, matematikában kifejezve. A 7 portos bevétel (42 Nn/kör) és a 10 portos bevétel (220 Nn/kör) közötti különbség a gazdasági érv amellett, hogy miért hoznak létre koalíciókat a 7 portos küszöbnél, ahelyett, hogy 9 vagy 10 portig várnának. 7 porton a játékosnak elég bevétele van ahhoz, hogy fenyegető legyen – de a koalíciós akció még mindig döntő lehet, mielőtt a bevételi előny matematikailag leküzdhetetlenné válik. Egy tervező, aki egyedül játékteszttel jutott el ezekhez a számokhoz, megközelítőleg meg is találhatja őket; az exponenciális függvényt kezdettől fogva megértő tervező pontosan meg tudta adni a küszöböt.

A tágabb alapelv: ha az exponenciális skálázás szándékos játéktervezés, a tervezőnek dokumentálnia kell a méretezési függvényt, és ellenőriznie kell, hogy az általa létrehozott küszöbértékek ott vannak-e, ahol akarják. Ha a koalíciós küszöbnek 7 helyett 6 porton kellene lennie, akkor a jövedelemképletet módosítani kell – ehhez tudni kell, hogy mi a képlet, nem csak azt kell figyelni, hogy „a játék kiegyensúlyozottnak tűnik”.

Szórás és játékos észlelés

A variancia annak mértéke, hogy a tényleges eredmények mennyivel oszlanak meg a várható érték körül. A nagy szórás azt jelenti, hogy az egyéni eredmények drámaian eltérhetnek a várttól; Az alacsony szórás azt jelenti, hogy az eredmények szorosan az átlag körül csoportosulnak. A játéktervezők számára a variancia egy olyan vezérlőgomb, amely a játék matematikai igazságosságát és a játék szubjektív élményét egyaránt befolyásolja.

A legfontosabb pszichológiai betekintés: A nagy szórás még akkor is rossz érzés, ha matematikailag kiegyensúlyozott. Az érmefeldobás teljesen tisztességes – 50/50, a várható érték pontosan egyenlő mindkét játékos számára –, de olyan játékot játszani, ahol minden döntést érmefeldobás old meg, önkényesnek és kifizetődőnek tűnik. A játékosoknak érezniük kell, hogy a döntéseik számítanak, ami azt jelenti, hogy szükségük van a jó döntések és a jó eredmények közötti ok-okozati összefüggésre, hogy a játékmeneten belül érzékelhető legyen. A nagy szórás megszakítja ezt a kapcsolatot.

A 7 versus 2 Catan hatszögprobléma ezt jól szemlélteti. Catanban a 7-es szám van a legtöbb hatszögre nyomtatva, mert ennek a legnagyobb a valószínűsége 2d6-tal (16,7%). A 2-es szám a legkevesebb hatszögre van nyomtatva (2,8%). A tapasztalt játékosok tudják, hogy előnyben részesítsék az erőforrásokat a 6-os, 8-as, 5-ös és 9-eseknél – ez nagy valószínűséggel hat. De bármely adott játékmenetben egy játékos, aki helyesen helyezi el kezdeti elszámolásait ezekre a hatszögekre, még mindig jelentősen alulteljesíthet egy kisebb valószínűséggel helyezett játékostól, ha a tényleges kockadobások eltérnek a várt értékektől. Ez nem igazságtalan – ez normális statisztikai eltérés. De igazságtalannak tűnik, mert a döntés (jó elhelyezkedés) és az eredmény (gyakori forrásbevétel) közötti kapcsolatot elfedi az eltérés.

A szórások által észlelt méltánytalanság kezelésére szolgáló tervezési megoldások a következők: mérséklési mechanika (újradobások, erőforrásbankok, felzárkózási mechanizmusok, amelyek balszerencse futásakor aktiválódnak), a döntési pontok, amelyek a balszerencse után is jelentőségteljesek maradnak (tehát a rosszul dobó játékosnak továbbra is van érdekes választási lehetőségei) és variánsság, amely kedvez a játékosoknak. a vezető játékos stabil, kiszámítható bevételre vágyik;

A kockákból származó Kingmaker-pillanatok – ahol véletlenszerű dobás határozza meg, hogy melyik játékos nyer vagy veszít az utolsó körben – a játékosok elégedettsége szempontjából a legkárosabb eltérések. A megoldás nem a kockák kiiktatása, hanem a késői játék strukturálása úgy, hogy a kocka kimenetele befolyásolja a győzelemhez vezető utat, nem pedig egyenesen meghatározza azt. Ha több játékosnak is van életképes nyerő pozíciója az utolsó körben, egy szerencsés dobás kielégíti a nyertest, de nem érzi jogtalannak a vesztesek számára – mert a veszteseknek is megvolt a nyerési útja, amelyet saját szerencsés dobásaik is lehetővé tehettek volna.