Математика за игри на табла: веројатност, очекувана вредност и зошто коцките се чувствуваат неправедно

Секој механичар на друштвени игри има математички идентитет. Се фрлаат коцки има очекувана вредност и варијанса. Извлекувањето карти има распределба на веројатност. Трговијата со ресурси има девизен курс кој може да се изрази како сооднос. Дизајнерите кои ја разбираат оваа математика донесуваат подобри одлуки од дизајнерите кои работат според чувството - не затоа што математиката ја заменува интуицијата, туку затоа што интуицијата често не се согласува со реалноста на начини на кои само тестирањето е бавно да се коригира.

Оваа статија ги опфаќа математичките концепти кои се најважни за дизајнот и играњето на друштвените игри: распределба на веројатност, очекувана вредност, варијанса и психолошки јаз помеѓу она што го кажува математиката и она што го доживуваат играчите. Без разлика дали дизајнирате игра или само се обидувате да разберете зошто вашите сесии со коцки се толку катастрофално несреќни, рамката овде ќе го промени начинот на кој размислувате за случајноста во игрите.

Зошто математиката е важна во дизајнот на играта

Дизајнер на игри кој не ја пресметал очекуваната вредност на основната акциона економија на нивната игра не знае дали неговата игра функционира. Ова звучи грубо, но функционално е точно. Ако очекуваниот приход од најдоброто расположливо дејство е 4 ресурси по круг, а цената на акцијата со услов за победа е 30 ресурси, дизајнерот треба да знае дали таа стапка на приход може да се постигне во текот на типичното времетраење на играта - пред да се игра тестирањето, а не по шест сесии да се прашуваме зошто никој никогаш не победува.

Математиката и тестирањето се комплементарни алатки, а не алтернативи. Математиката ви кажува што предвидува теоријата. Playtesting ви кажува дали човечкото однесување се совпаѓа со теоријата. Најчесто, тие се разминуваат - не затоа што математиката е погрешна, туку затоа што играчите не секогаш ја избираат теоретски оптималната акција. Јазот помеѓу теоретската оптимална игра и вистинската човечка игра е сама по себе дизајнерска променлива: играта каде што само оптималната игра произведува интересни одлуки е полоша игра од онаа каде што неоптималната игра создава и интересни ситуации.

Секој механичар има очекувана вредност и дизајнерите мора да го знаат тоа. Кога играчот Neutronium: Parallel Wars ќе добие приход од нуклеарните пристаништа, тој добива прецизно пресметана очекувана вредност по порта по круг. Кога избираат да напаѓаат наместо да градат, тие донесуваат одлука која има пресметливи очекувани исходи под различни сценарија. Дизајнерот кој ги знае овие бројки може да донесе значајни одлуки за рамнотежа; дизајнерот кој не погодува.

Критичната асиметрија е дека случајноста се чувствува неправедна дури и кога е избалансирана. Преклопување на монети 50/50 произведува глави шест пати по ред приближно 1,6% од времето - ретко, но не и невозможно. Кога тоа ќе му се случи на некој играч во играта, тие го доживуваат како прекин на играта, а не како нормален статистички настан. Разбирањето зошто тоа се случува - и како дизајнерите можат да ја структурираат случајноста за да се чувствуваат помалку казнувано додека ги одржуваат истите основни веројатности - е практично највредната примена на математиката за дизајн на игри.

Веројатност за коцки 101

Синглот d6 е најчестата алатка за рандомизација во друштвените игри и исто така една од најпогрешно разбраните. Стандардот d6 произведува униформа дистрибуција: секое лице (1 до 6) има 1/6 веројатност да се случи, а очекуваната вредност е 3,5. Играчите интуитивно го разбираат ова, но честопати не успеваат да разберат што значи повторено превртување преку сесија.

дистинкцијата единечна d6 наспроти 2d6 е основа за разбирање зошто различните механики на коцки се чувствуваат поинаку. Еден d6 има рамна распределба на веројатност - секој исход од 1 до 6 е подеднакво веројатен. Два d6 сумирани произведуваат крива на ѕвонче: 7 е најверојатниот резултат (веројатност 6/36 = 16,7%), додека 2 и 12 имаат веројатност 1/36 = 2,8%. Дистрибуцијата 2d6 ги концентрира резултатите блиску до средината и ги прави екстремните резултати ретки. Ова е причината зошто Catan, кој користи 2d6 за производство на ресурси, се чувствува помалку казнуван при поединечни ролни отколку системите со едно копче - дистрибуцијата природно ги ограничува екстремните резултати.

Прилагодените коцки со нестандардни распределби на лица им даваат на дизајнерите прецизна контрола врз профилите на веројатност што стандардните коцки не можат да ги обезбедат. Матрицата со лицата [0, 0, 0, 1, 1, 2] има многу различен карактер од d6: произведува нула 50% од времето, една 33% од времето и две 17% од времето, со очекувана вредност од 0,67. Neutronium: Parallel Wars користи прилагодени коцки D6 со лица шифрирани во боја: сините лица претставуваат стандардни борбени резултати, црвените лица претставуваат критични резултати, а зелените лица претставуваат предизвикувачи на посебни способности. Распределбата на типовите на лица - не само бројот на лица - ја одредува веројатноста за секој исход. Матрицата со три сини лица, две црвени лица и едно зелено лице дава сини резултати 50% од времето, црвената 33% и зелената 17%. Дизајнерот може да ги прилагоди овие соодноси со менување на бројот на лица наместо да создава математички сложени системи за резолуција.

Експлодирачки коцки се коцки кои, при фрлање на максималната вредност, повторно се фрлаат и се додаваат резултатите. d6 што експлодира на 6 има очекувана вредност од (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × очекувана вредност на d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Отворената природа создава теоретски неограничени резултати - среќната секвенца на експлозии може да произведе многу високи збирки - што создава моменти на „чувство на среќа“ што некои игри намерно ги негуваат. Размената е голема варијанса и повремена среќна ролна што ја дефинира играта.

Ограничените коцки се спротивна филозофија: ограничување на максималниот резултат за да се ограничи варијансата. Системите за собирање коцки каде фрлате повеќе коцки и ги добивате само најдобрите N резултати (системи со предност како механичарот за предност на D&D 5E или повеќекратните коцки на Gumshoe земаат најголемо ниво) математички ја намалуваат варијансата додека одржуваат веројатност. Земајќи го повисокото од двете ролни d6 ја поместува очекуваната вредност од 3,5 на 4,47 - 28% подобрување - истовремено намалувајќи ја веројатноста за ниски исходи значително.

Очекувана вредност во игри со ресурси

Игрите за акумулација на ресурси - евра, производители на мотори, економски стратегии - се изградени врз пресметките на очекуваната вредност што дизајнерот мора прецизно да ги разбере дури и ако тие никогаш не се појавуваат експлицитно во правилникот. Кога играчот избира помеѓу две дејства, тој (свесно или не) ја споредува очекуваната вредност на тие дејства во релевантниот временски хоризонт.

Neutronium: Parallel Wars е експлицитен пример за дизајнирана очекувана вредност. Формулата за приход утврдува дека играчот со N нуклеарни пристаништа добива приход со стапка што нелинеарно се скали со N. Специфичната формула - 1 порта дава 2 Neutronium единици по круг; 10 порти даваат 220 Nn по круг - не е случајно. Експлицитната изјава на дизајнерот е дека акумулацијата на пристаништето треба да произведува експоненцијални наместо линеарни приноси, бидејќи експоненцијалните враќања го создаваат коалицискиот праг што ја движи конкурентната динамика на играта.

Оваа формула е намерен дизајн на играта изразен како математика. Јазот помеѓу приходот од 7 пристаништа (42 Nn/круг) и приходот од 10 пристаништа (220 Nn/круг) е економскиот аргумент зошто се формираат коалиции на прагот од 7 пристаништа наместо да чекаат до 9 или 10 пристаништа. На 7 пристаништа, играчот има доволно приходи за да биде заканувачки - но коалициските акции сè уште можат да бидат одлучувачки пред предноста на приходот да стане математички непремостлива. Дизајнер кој стигнал до овие бројки само преку тестирање за играње може да ги сфати приближно правилно; дизајнер кој ја разбрал експоненцијалната функција од самиот почеток, може прецизно да го одреди прагот.

Поширок принцип: кога експоненцијалното скалирање е намерно дизајнирање на играта, дизајнерот мора да ја документира функцијата на скалирање и да потврди дека праговите што ги создава се таму каде што сака. Ако прагот на коалицијата треба да биде на 6 порти наместо на 7, формулата за приход треба да се прилагоди - што бара да се знае која е формулата, а не само да се набљудува дека „играта се чувствува избалансирана“.

Варијанса и перцепција на играчот

Варијансата е мерка за тоа колку вистинските резултати се шират околу очекуваната вредност. Високата варијанса значи дека индивидуалните резултати може драматично да се разликуваат од очекувањата; ниската варијанса значи дека резултатите се групираат цврсто околу просекот. За дизајнерите на игри, варијансата е контролно копче кое влијае и на математичката правичност на играта и на субјективното искуство на играње.

Клучниот психолошки увид: високата варијанса се чувствува лошо дури и кога е математички избалансирана. Превртувањето на паричката е совршено фер - 50/50, очекуваната вредност точно еднаква за двајцата играчи - но играњето игра каде секоја одлука се решава со превртување паричка се чувствува произволно и ненаградувачко. Играчите треба да чувствуваат дека нивните одлуки се важни, што значи дека им е потребна причинско-последична врска помеѓу добрите одлуки и добрите резултати за да може да се воочи во текот на играта. Високата варијанса ја прекинува таа врска.

Хекс проблем 7 наспроти 2 Catan јасно го илустрира ова. Во Катан, бројот 7 е отпечатен на најмногу хекси бидејќи има најголема веројатност со 2d6 (16,7%). Бројот 2 е отпечатен на најмалку шеснаесетник (2,8%). Искусните играчи знаат да им дадат приоритет на ресурсите на 6-ки, 8-ки, 5-ки и 9-ки - хексови со голема веројатност. Но, во која било дадена сесија, играчот кој правилно ги поставува своите првични населби на овие шеснаесетници сè уште може да биде значително недоволно изведен од играч со пласмани со помала веројатност ако вистинските фрлања на коцки отстапуваат од очекуваните вредности. Ова не е неправедно - тоа е нормална статистичка варијација. Но, се чувствува неправедно затоа што врската помеѓу одлуката (добра поставеност) и исходот (чест приход од ресурси) е прикриена со варијанса.

Дизајнерските решенија за управување со воочената неправедност од варијансата вклучуваат: механика за ублажување (реролови, банки на ресурси, механизми за наплата што се активираат при трчање со лоша среќа), точки на одлучување кои остануваат значајни дури и по лоша среќа (така играч кој се тркала слабо, а играчите имаат интересен изборсè уште има интересни опции). (надополнување преку варијанса: водечкиот играч сака стабилен, предвидлив приход; играчите кои заостануваат имаат корист од пристапите со висока варијанса што можат брзо да го намалат јазот, иако очекуваната вредност е иста).

Моментите на Kingmaker од коцки - каде што случајно фрлање одредува кој играч ќе победи или загуби во последната рунда - се најштетните исходи од варијансата за задоволство на играчите. Решението не е елиминирање на коцките, туку структурирање на доцната игра, така што резултатите од коцките ќе влијаат на патот до победата, наместо да го одредуваат целосно. Кога повеќе играчи имаат остварливи победнички позиции кои влегуваат во последниот круг, среќната ролна е задоволувачка за победникот, но не се чувствува нелегитимна за губитниците - затоа што губитниците исто така имаа пат до победа што можеше да го овозможат нивните сопствени среќни ролни.

Тестирање рамнотежа со математика

Рамката MEQA (мерливост, ангажираност, квалитет, пристапност) обезбедува структуриран пристап за тестирање на рамнотежата на играта. Столбот за мерливост — М во MEQA — е местото каде математиката формално влегува во процесот на дизајнирање: пред да започне тестирањето, дизајнерот дефинира што значи „балансирано“ во мерливи термини.

За игра со асиметрични фракции како Neutronium: Parallel Wars, мерлива рамнотежа значи: секоја фракција треба да постигне стапка на победа во рамките на дефинираниот опсег на толеранција низ доволен примерок од игри на споредливи нивоа на вештини. Ако целта е стапка на победа од 50% (чисто салдо) со прифатлив опсег од ±10%, тогаш фракцијата која освоила 42% од игрите е во рамките на толеранцијата, а фракцијата која освоила 63% не е. Но, за постигнување на овој стандард потребно е да се знае целта пред тестирањето - не да се прогласи пост-хок дека забележаните стапки на добивка се „доволно блиску“.

Дефинирањето на метрика пред да се игра тестирањето го менува она што го набљудувате. Ако знаете дека ја мерите стапката на победа по фракција, ги следите задачите и резултатите на фракциите низ сесиите. Ако знаете дека ја мерите просечната должина на играта, снимате временски печати. Овие одлуки мора да се донесат пред првата сесија на тест за играње, бидејќи ретроспективните метрики се несигурни - меморијата е селективна и луѓето природно ги паметат сесиите што ги поддржуваат постоечките верувања.

Барањата за големината на примерокот за заклучоци за рамнотежа честопати се поголеми отколку што очекуваат дизајнерите. За игра со 2 играчи со 2 фракции, 30 игри обезбедуваат основни податоци за откривање на нерамнотежа поголеми од 15% со доверба од 80%. За игри со 4 играчи со 6 фракции, просторот за комбинирање е многу поголем: 30 игри ви даваат приближно 5 игри по пар фракции - едвај доволни за откривање на екстремна нерамнотежа и недоволни за откривање суптилни предности. Инди издавачите ретко имаат ресурси за ригорозна статистичка валидација; практичниот пристап е да се користи математиката за да се проверат очекуваните вредности, тестирање за играње за да се фатат отскоците и повратни информации од заедницата по објавувањето за да се идентификуваат преживеаните проблеми.

За целосната рамка - вклучително и како Мерливоста се интегрира со другите MEQA столбови - видете го MEQA водич за рамка за рамнотежа на играта, кој го опфаќа целосниот пристап за дефинирање, мерење и постигнување рамнотежа низ сите системи

Формулата за скалирање на приходот во Neutronium се поврзува директно со механичките детали на /mechanics/nuclear-port-scaling, каде што експоненцијалната функција е документирана заедно со дизајнерското резонирање за секоја вредност на прагот.

Алатки за веројатност за дизајнери

Неколку алатки ја прават достапна математиката за дизајн на игри без да бараат напредна статистичка обука. Ова се оние кои функционираат во пракса.

AnyDice (anydice.com) е стандарден калкулатор за веројатноста за коцки за дизајнерите на игри. Прифаќа нотација со коцки на природен јазик (2d6, d4+d8, 3d6 задржи највисоко 2) и враќа распределби на веројатност, очекувани вредности и кумулативни веројатности. За секој механичар кој вклучува коцки, AnyDice треба да биде првата алатка што се консултира. Неговите излезни графикони ги прават дистрибуциите веднаш читливи и споредливи - залепете два различни изрази на коцки еден до друг за веднаш да видите како се разликуваат нивните распределби.

Симулациите на табеларни пресметки (Google Sheets, Excel) се справуваат со пресметки кои AnyDice не може: акумулација на ресурси во повеќе кругови, приход со повеќе извори, очекувана должина на играта под различни стратешки претпоставки. Основен модел на табеларни пресметки за економијата на играта - со колони за секое вртење, редови за секој тип на ресурси и формули што го претставуваат основниот приход и механиката на трошење на играта - потребни се 2-3 часа за да се изгради и открива проблеми со рамнотежата за кои би биле потребни 20+ тестови за играње за емпириско откривање.

Симулацијата на Монте Карло е алатка со најголема прецизност: водење на механиката на играта илјадници пати пресметковно за да се произведе статистичка дистрибуција на сите можни резултати. За дизајнерите со програмска позадина, Python со NumPy е доволен за повеќето потреби за симулација на игри. За дизајнерите без програмска позадина, постојат визуелни алатки за Монте Карло, па дури и симулации базирани на табеларни пресметки кои даваат значајни резултати со ограничено техничко знаење. Монте Карло е највредно за игри со сложени меѓузависности каде што аналитичкото пресметување е тешко - кога се во интеракција повеќе случајни настани, симулацијата дава посигурни проценки за дистрибуција отколку рачната пресметка.

Кога да се верува на математиката наспроти кога да се игра тест: користете математика за да ја потврдите теоретската рамнотежа и да ги откриете очигледните грешки во дизајнот пред да инвестирате во тестирање за играње. Користете го тестот за играње за да откриете како човечката психологија е во интеракција со математиката - местата каде што оптималната стратегија се разликува од она што навистина го прават играчите и местата каде што математиката предвидува рамнотежа, но искуството се чувствува неправедно. И двете се неопходни. Ниту едното ниту другото не е доволно самостојно.

Често поставувани прашања