Lauamängumatemaatika: tõenäosus, eeldatav väärtus ja miks täringud tunduvad ebaausad

Igal lauamängumehaanikul on matemaatiline identiteet. Täringuviskel on eeldatav väärtus ja dispersioon. Kaarditõmbamisel on tõenäosusjaotus. Ressursikaubandusel on vahetuskurss, mida saab väljendada suhtena. Disainerid, kes mõistavad seda matemaatikat, teevad paremaid otsuseid kui disainerid, kes töötavad tunnetuse järgi – mitte sellepärast, et matemaatika asendab intuitsiooni, vaid seetõttu, et intuitsioon ei ole sageli tegelikkusega nõus, nii et ainuüksi testimise parandamine on aeglane.

See artikkel hõlmab matemaatilisi mõisteid, mis on lauamängude kujundamisel ja mängimisel kõige olulisemad: tõenäosusjaotused, eeldatav väärtus, dispersioon ja psühholoogiline lõhe matemaatika ja mängijate kogemuse vahel. Olenemata sellest, kas kujundate mängu või proovite lihtsalt mõista, miks teie täringumängud nii katastroofiliselt ebaõnnestuvad, muudab siinne raamistik teie suhtumist mängude juhuslikkusest.

Miks on matemaatika mängukujunduses oluline

Mängudisainer, kes ei ole välja arvutanud oma mängu põhitegevuse majanduse eeldatavat väärtust, ei tea, kas tema mäng töötab. See kõlab karmilt, kuid funktsionaalselt on see tõsi. Kui parimast saadaolevast toimingust oodatakse 4 ressurssi vooru kohta ja võidutingimusega toimingu maksumus on 30 ressurssi, peab kujundaja teadma, kas see tulumäär on saavutatav mängu tavapärase kestuse jooksul – enne mängu testimist, mitte pärast kuut seanssi, mille üle mõelda, miks keegi kunagi ei võida.

Matemaatika ja mängutestimine on üksteist täiendavad tööriistad, mitte alternatiivid. Matemaatika ütleb teile, mida teooria ennustab. Playtesting ütleb teile, kas inimkäitumine vastab teooriale. Enamasti lähevad need lahku – mitte sellepärast, et matemaatika on vale, vaid seetõttu, et mängijad ei vali alati teoreetiliselt optimaalset tegevust. Lõhe teoreetilise optimaalse mängu ja tegeliku inimmängu vahel on iseenesest disaini muutuja: mäng, kus ainult optimaalne mäng annab huvitavaid otsuseid, on halvem mäng kui see, kus ebaoptimaalne mäng tekitab ka huvitavaid olukordi.

Igal mehaanikul on oodatav väärtus ja disainerid peavad seda teadma. Kui Neutronium: Parallel Wars mängija saab tuumasadamatelt tulu, saab ta täpselt arvutatud eeldatava väärtuse pordi kohta vooru kohta. Kui nad otsustavad rünnata, mitte ehitada, teevad nad otsuse, millel on erinevate stsenaariumide puhul arvutatavad oodatavad tulemused. Disainer, kes teab neid numbreid, saab teha sisukaid tasakaaluotsuseid; disainer, kes seda ei tee, arvab.

Kriitiline asümmeetria seisneb selles, et juhuslikkus tundub ebaõiglane isegi siis, kui see on tasakaalus. 50/50 mündiviskamine tekitab pead kuus korda järjest ligikaudu 1,6% ajast – harva, kuid mitte võimatu. Kui see juhtub mõne mängijaga mängus, kogevad nad seda mängu katkemisena, mitte tavalise statistilise sündmusena. Mõistmine, miks see nii juhtub – ja kuidas disainerid saavad juhuslikkust struktureerida, et tunda end vähem karistavana, säilitades samal ajal samad aluseks olevad tõenäosused – on mängukujunduse matemaatika kõige praktilisem rakendus.

Täringu tõenäosus 101

Singli d6 on lauamängudes kõige levinum randomiseerimistööriist ja ka üks enim valesti mõistetud. Standard d6 annab ühtlase jaotuse: iga tahu (1 kuni 6) esinemise tõenäosus on 1/6 ja eeldatav väärtus on 3,5. Mängijad saavad sellest intuitiivselt aru, kuid sageli ei saa nad aru, mida see seansi korduv veeretamine tähendab.

Üks d6 ja 2d6 eristus on aluseks, et mõista, miks erinevad täringumehhanismid erinevad. Ühel d6-l on tasane tõenäosusjaotus – iga tulemus vahemikus 1 kuni 6 on võrdselt tõenäoline. Kaks summeeritud d6 annavad kellukesekõvera: 7 on kõige tõenäolisem tulemus (tõenäosus 6/36 = 16,7%), samas kui 2 ja 12 on mõlema tõenäosusega 1/36 = 2,8%. 2d6 jaotus koondab tulemused keskmise lähedale ja muudab äärmuslikud tulemused harvaks. Seetõttu tunneb Catan, mis kasutab ressursside tootmiseks 2d6, üksikute rullide puhul vähem karistavat kui ühe matriitsiga süsteemid – jaotus piirab loomulikult äärmuslikke tulemusi.

Kohandatud täringud mittestandardse näojaotusega annavad disaineritele täpse kontrolli tõenäosusprofiilide üle, mida standardsed täringud ei suuda pakkuda. Tahkudega [0, 0, 0, 1, 1, 2] matriitsil on hoopis teistsugune iseloom kui d6: see annab nulli 50% ajast, üks 33% ajast ja kaks 17% ajast, eeldatava väärtusega 0,67. Neutronium: Parallel Wars kasutab kohandatud D6 täringuid värvikoodiga nägudega: sinised näod tähistavad standardseid lahingutulemusi, punased tähistavad kriitilisi tulemusi ja rohelised näod tähistavad spetsiaalseid võimete käivitajaid. Näotüüpide jaotus – mitte ainult nägude arv – määrab iga tulemuse tõenäosuse. Kolme sinise, kahe punase ja ühe rohelise näoga stants annab 50% ajast sinise tulemuse, 33% punase ja 17% rohelise tulemuse. Disainer saab neid suhteid kohandada, muutes nägude arvu, mitte luues matemaatiliselt keerukaid eraldusvõime süsteeme.

Plahvatavad täringud on täringud, mida maksimaalse väärtuse viskamisel uuesti veeretatakse ja tulemused lisatakse. Kuues plahvatava d6 eeldatav väärtus on (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6 eeldatav väärtus) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Avatud olemus loob teoreetiliselt piiramatuid tulemusi – õnnelik plahvatuste jada võib anda väga kõrgeid kogusummasid –, mis tekitab "õnnetunde" hetki, mida mõned mängud teadlikult viljelevad. Kompromiss on suur dispersioon ja aeg-ajalt mängu määrav õnnevise.

Piiratud täringud on vastupidine filosoofia: maksimaalse tulemuse piiramine dispersiooni piiramiseks. Täringukogumissüsteemid, kus veerete mitut täringut ja saavutate ainult parimat N tulemust (eelissüsteemid, nagu D&D 5E eelismehaanik või Gumshoe mitme täringu kõrgeim väärtus), vähendavad matemaatiliselt dispersiooni, säilitades samal ajal tõenäosusliku tunde. Kahest d6-visetist kõrgema valimine nihutab eeldatava väärtuse 3,5-lt 4,47-le, mis on 28% paranemine, vähendades samal ajal oluliselt madalate tulemuste tõenäosust.

Oodatav väärtus ressursimängudes

Ressursi kogumise mängud – eurod, mootoriehitajad, majandusstrateegiad – põhinevad eeldatava väärtuse arvutustel, mida projekteerija peab täpselt mõistma, isegi kui neid reegliraamatus selgesõnaliselt ei esine. Kui mängija valib kahe toimingu vahel, võrdleb ta (teadlikult või mitte) nende tegevuste eeldatavat väärtust asjakohase ajahorisondi jooksul.

Neutronium: Parallel Wars tuumasadama tulusüsteem on selge näide kujundatud eeldatavast väärtusest. Sissetulekuvalem määrab, et mängija, kellel on N tuumasadama, saab sissetulekut kiirusega, mis skaleerub N-ga mittelineaarselt. Spetsiifiline valem — 1 port annab 2 Neutronium ühikut vooru kohta; 10 porti annab 220 Nn ringi kohta — pole juhuslik. Disaineri selgesõnaline väide on, et pordi kogunemine peaks tootma pigem eksponentsiaalset kui lineaarset tulu, sest eksponentsiaalne tulu loob koalitsiooniläve, mis juhib mängu konkurentsidünaamikat.

See valem on tahtlik mängukujundus, mis on väljendatud matemaatikana. Lõhe 7 sadama tulu (42 Nn/ring) ja 10 sadama tulu (220 Nn/ring) vahel on majanduslik argument, miks koalitsioonid moodustatakse 7 sadama künnisel, mitte oodata 9 või 10 sadamani. Seitsmes sadamas on mängijal piisavalt sissetulekut, et olla ähvardav – kuid koalitsioonitegevus võib siiski olla otsustav, enne kui tulueelis muutub matemaatiliselt ületamatuks. Disainer, kes jõudis nende arvudeni ainuüksi mängutestimise kaudu, võib neist ligilähedaselt õigesti aru saada; disainer, kes mõistis eksponentsiaalfunktsiooni algusest peale, võiks täpselt määrata läve.

Laiem põhimõte: kui eksponentsiaalne skaleerimine on tahtlik mängukujundus, peab kujundaja skaleerimisfunktsiooni dokumenteerima ja kontrollima, et selle loodud läved oleksid seal, kus ta neid soovib. Kui koalitsiooni künnis peaks olema 7 asemel 6 porti, tuleb sissetulekuvalemit korrigeerida – selleks on vaja teada, mis on valem, mitte ainult jälgida, et "mäng tundub tasakaalus".

Erinevus ja mängija taju

Diperatsioon näitab, kui palju tegelikud tulemused jaotuvad eeldatava väärtuse ümber. Suur dispersioon tähendab, et individuaalsed tulemused võivad oodatust oluliselt erineda; madal dispersioon tähendab, et tulemused koonduvad tihedalt keskmise ümber. Mängude kujundajate jaoks on dispersioon juhtnupp, mis mõjutab nii mängu matemaatilist õiglust kui ka subjektiivset mängukogemust.

Põhiline psühholoogiline arusaam: suur dispersioon tundub halb isegi siis, kui see on matemaatiliselt tasakaalustatud. Mündi viskamine on täiesti õiglane – 50/50, eeldatav väärtus mõlemale mängijale täpselt võrdne –, kuid mängu mängimine, kus iga otsus lahendatakse mündi viskamisega, tundub meelevaldne ja tulutu. Mängijad peavad tundma, et nende otsused on olulised, mis tähendab, et nad vajavad põhjuslikku seost heade otsuste ja heade tulemuste vahel, et need oleksid mängusessioonis tajutavad. Suur dispersioon katkestab selle ühenduse.

7 versus 2 Catan hex probleem illustreerib seda selgelt. Catanis on number 7 trükitud kõige rohkematele kuusnurkadele, kuna sellel on suurim tõenäosus 2d6-ga (16,7%). Arv 2 on trükitud kõige vähematele kuusikutele (2,8%). Kogenud mängijad teavad 6s, 8s, 5s ja 9s ressursse prioriteediks seada – suure tõenäosusega kuuepunktid. Kuid igal konkreetsel seansil võib mängija, kes asetab oma algsed arveldused nendele kuusnurkadele õigesti, olla väiksema tõenäosusega mängijale märkimisväärselt kehvem, kui tegelik täringuvisetus kaldub eeldatavatest väärtustest kõrvale. See ei ole ebaõiglane – see on tavaline statistiline erinevus. Kuid see tundub ebaõiglane, sest suhet otsuse (hea paigutus) ja tulemuse (sagedane ressursitulu) vahel varjab erinevus.

Disainilahendused dispersioonist tingitud ebaõigluse juhtimiseks on järgmised: leevendusmehaanika (uuesti veeremised, ressursipangad, järelejõudmismehhanismid, mis aktiveeruvad halva õnne korral), otsustuspunktid, mis jäävad tähenduslikuks ka pärast halba õnne (nii et mängijal, kes veereb halvasti, on endiselt huvitavaid valikuid, mis soosivad mängijaid) ja variiance: juhtiv mängija soovib stabiilset, prognoositavat sissetulekut; järelmängijad saavad kasu suure dispersiooniga lähenemisviisidest, mis võivad vahe kiiresti vähendada, kuigi eeldatav väärtus on sama.