Matemàtiques de jocs de taula: probabilitat, valor esperat i per què els daus se senten injustos

Cada mecànic de jocs de taula té una identitat matemàtica. Una tirada de daus té un valor esperat i una variància. Un sorteig de cartes té una distribució de probabilitat. Un comerç de recursos té un tipus de canvi que es pot expressar com una relació. Els dissenyadors que entenen aquestes matemàtiques prenen millors decisions que els dissenyadors que treballen per sentiment, no perquè les matemàtiques substitueixin la intuïció, sinó perquè la intuïció sovint no està d'acord amb la realitat d'una manera que només les proves tarden a corregir.

Aquest article tracta els conceptes matemàtics més importants per al disseny i el joc de jocs de taula: distribucions de probabilitat, valor esperat, variància i la bretxa psicològica entre el que diuen les matemàtiques i el que experimenten els jugadors. Tant si esteu dissenyant un joc com si només intenteu entendre per què les vostres sessions de daus se senten tan catastròficament desafortunats, el marc aquí canviarà la vostra manera de pensar sobre l'atzar als jocs.

Per què són importants les matemàtiques en el disseny de jocs

Un dissenyador de jocs que no ha calculat el valor esperat de l'economia d'acció bàsica del seu joc no sap si el seu joc funciona. Això sona dur, però funcionalment és cert. Si l'ingrés esperat de la millor acció disponible és de 4 recursos per ronda i el cost de l'acció de condició de victòria és de 30 recursos, el dissenyador ha de saber si aquesta taxa d'ingressos es pot aconseguir durant la durada típica del joc, abans de provar el joc, no després de sis sessions preguntant-se per què ningú guanya mai.

Les matemàtiques i les proves de joc són eines complementàries, no alternatives. Les matemàtiques et diuen què prediu la teoria. Playtesting us indica si el comportament humà coincideix amb la teoria. La majoria de les vegades, divergeixen, no perquè les matemàtiques siguin incorrectes, sinó perquè els jugadors no sempre trien l'acció teòricament òptima. La diferència entre el joc òptim teòric i el joc humà real és en si mateixa una variable de disseny: un joc on només el joc òptim produeix decisions interessants és un joc pitjor que un joc en què un joc subòptim també crea situacions interessants.

Cada mecànic té un valor esperat i els dissenyadors l'han de conèixer. Quan un jugador Neutronium: Parallel Wars obté ingressos de Nuclear Ports, rebrà un valor esperat calculat amb precisió per port per ronda. Quan opten per atacar en lloc de construir, estan prenent una decisió que té els resultats esperats computables en diferents escenaris. El dissenyador que conegui aquests números pot prendre decisions significatives d'equilibri; el dissenyador que no ho fa està endevinant.

L'asimetria crítica és que l'atzar se sent injust fins i tot quan està equilibrat. Un llançament de moneda de 50/50 produeix caps sis vegades seguides aproximadament l'1,6% del temps, poques vegades, però no impossible. Quan això li passa a un jugador d'un joc, ho viu com el joc trencat, no com un esdeveniment estadístic normal. Entendre per què passa això, i com els dissenyadors poden estructurar l'atzar per sentir-se menys castigats, mantenint les mateixes probabilitats subjacents, és l'aplicació pràcticament més valuosa de les matemàtiques de disseny de jocs.

Probabilitat de daus 101

El d6 individual és l'eina d'aleatorització més comuna als jocs de taula i també una de les més mal enteses. Un estàndard d6 produeix una distribució uniforme: cada cara (de l'1 al 6) té una probabilitat de 1/6 de produir-se i el valor esperat és de 3,5. Els jugadors ho entenen de manera intuïtiva, però sovint no entenen què significa les tirades repetides durant una sessió.

La distinció d6 únic versus 2d6 és fonamental per entendre per què els diferents daus se senten diferents. Un sol d6 té una distribució de probabilitat plana: tots els resultats de l'1 al 6 són igualment probables. Dos d6 sumats produeixen una corba de campana: 7 és el resultat més probable (probabilitat 6/36 = 16,7%), mentre que 2 i 12 tenen una probabilitat 1/36 = 2,8%. La distribució 2d6 concentra els resultats a prop del centre i fa que els resultats extrems siguin rars. És per això que Catan, que utilitza 2d6 per a la producció de recursos, se sent menys castigat en tirades individuals que en sistemes d'un sol dau: la distribució limita naturalment els resultats extrems.

Els daus personalitzats amb distribucions de cares no estàndard ofereixen als dissenyadors un control precís sobre els perfils de probabilitat que els daus estàndard no poden proporcionar. Un dau amb les cares [0, 0, 0, 1, 1, 2] té un caràcter molt diferent que un d6: produeix zero el 50% del temps, un el 33% del temps i dos el 17% del temps, amb un valor esperat de 0,67. Neutronium: Parallel Wars utilitza daus D6 personalitzats amb cares codificades per colors: les cares blaves representen resultats de combat estàndard, les cares vermelles representen resultats crítics i les cares verdes representen activadors d'habilitats especials. La distribució dels tipus de cares, no només el nombre de cares, determina la probabilitat de cada resultat. Un dau amb tres cares blaves, dues cares vermelles i una cara verda produeix resultats blaus el 50% del temps, vermell el 33% i verd el 17%. El dissenyador pot ajustar aquestes proporcions canviant el nombre de cares en lloc de crear sistemes de resolució matemàticament complexos.

daus explosius són daus que, en tirar el valor màxim, es tornen a tirar i s'afegeixen els resultats. Un d6 que explota el 6 té un valor esperat de (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × valor esperat d'un d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. La naturalesa oberta crea resultats teòricament il·limitats: una seqüència afortunada d'explosions pot produir totals molt elevats, cosa que produeix els moments de "sentir-se afortunat" que alguns jocs cultiven deliberadament. La compensació és una gran variació i la tirada de sort que defineix el joc ocasional.

Els daus acotats són la filosofia oposada: limitar el màxim resultat per restringir la variància. Els sistemes de conjunt de daus en què tires diversos daus i només treus els millors resultats N (sistemes d'avantatges com la mecànica d'avantatges de D&D 5E o els daus més alts de Gumshoe) redueixen matemàticament la variància mantenint la sensació probabilística. Prenent el més alt de dos tirats d6 canvia el valor esperat de 3,5 a 4,47, una millora del 28%, alhora que redueix significativament la probabilitat de resultats baixos.

Valor esperat als jocs de recursos

Els jocs d'acumulació de recursos (euros, constructors de motors, estratègies econòmiques) es basen en càlculs de valor esperat que el dissenyador ha d'entendre amb precisió encara que mai apareguin explícitament al llibre de regles. Quan un jugador tria entre dues accions, està (conscientment o no) comparant el valor esperat d'aquestes accions durant l'horitzó temporal rellevant.

Neutronium: Parallel Wars és un exemple explícit del valor esperat dissenyat. La fórmula d'ingressos estableix que un jugador amb N Ports Nuclears rep ingressos a una taxa que escala no linealment amb N. La fórmula específica — 1 port produeix 2 unitats Neutronium per ronda; 10 ports donen 220 Nn per ronda, no és casual. És la declaració explícita del dissenyador que l'acumulació de ports hauria de produir rendiments exponencials en lloc de lineals, perquè els rendiments exponencials creen el llindar de coalició que impulsa la dinàmica competitiva del joc.

Aquesta fórmula és un disseny de joc intencionat expressat com a matemàtiques. La bretxa entre els ingressos de 7 ports (42 Nn/ronda) i els ingressos de 10 ports (220 Nn/ronda) és l'argument econòmic per què es formen coalicions al llindar de 7 ports en lloc d'esperar fins a 9 o 10 ports. A 7 ports, el jugador té ingressos suficients com per ser amenaçador, però l'acció de la coalició encara pot ser decisiva abans que l'avantatge d'ingressos sigui matemàticament insuperable. Un dissenyador que hagi arribat a aquests números només mitjançant playtesting podria encertar-los aproximadament; un dissenyador que entengués la funció exponencial des del principi podria especificar el llindar amb precisió.

El principi més ampli: quan l'escala exponencial és un disseny de joc intencionat, el dissenyador ha de documentar la funció d'escalat i verificar que els llindars que crea són on els desitgi. Si el llindar de la coalició ha de ser de 6 ports en lloc de 7, la fórmula d'ingressos s'ha d'ajustar, la qual cosa requereix saber quina és la fórmula, no només observar que "el joc se sent equilibrat".

Variància i percepció del jugador

La variància és la mesura de la distribució dels resultats reals al voltant del valor esperat. Una gran variància significa que els resultats individuals poden diferir dramàticament de l'expectativa; la baixa variància significa que els resultats s'agrupen estretament al voltant de la mitjana. Per als dissenyadors de jocs, la variància és un botó de control que afecta tant l'equitat matemàtica del joc com l'experiència subjectiva de jugar-hi.

La visió psicològica clau: l'alta variància fa mal fins i tot quan està equilibrada matemàticament. Un llançament de moneda és perfectament just (50/50, valor esperat exactament igual per als dos jugadors), però jugar a un joc en què cada decisió es resol mitjançant un llançament de moneda se sent arbitrari i poc gratificant. Els jugadors han de sentir que les seves decisions importen, el que significa que necessiten que la connexió causal entre les bones decisions i els bons resultats sigui perceptible dins de la sessió de joc. L'alta variació talla aquesta connexió.

El problema hexadecimal 7 versus 2 Catan ho il·lustra clarament. A Catan, el número 7 s'imprimeix a la majoria d'hexagones perquè té la probabilitat més alta amb 2d6 (16,7%). El número 2 s'imprimeix en el menor nombre d'hexagones (2,8%). Els jugadors experimentats saben prioritzar els recursos en 6s, 8s, 5s i 9s: hexagones d'alta probabilitat. Però en qualsevol sessió donada, un jugador que col·loca correctament els seus assentaments inicials en aquests hexàgons encara pot tenir un rendiment inferior significativament per un jugador amb col·locacions de probabilitat més baixa si les tirades de daus reals es desvien dels valors esperats. Això no és injust: és una variació estadística normal. Però se sent injust perquè la relació entre la decisió (bona col·locació) i el resultat (ingressos freqüents per recursos) està enfosquida per la variància.

Les solucions de disseny per gestionar l'injustícia percebuda a partir de la variància inclouen: mecàniques de mitigació (rerolls, bancs de recursos, mecanismes de recuperació que s'activen en cas de mala sort), punts de decisió que continuen sent significatius fins i tot després de mala sort (per tant, un jugador que tira malament encara té opcions interessants i afavorints). (Posar-se al dia a través de la variància: el jugador líder vol ingressos estables i previsibles; els jugadors posteriors es beneficien d'enfocaments d'alta variància que poden tancar la bretxa ràpidament, tot i que el valor esperat és el mateix).

Els moments de Kingmaker dels daus, on una tirada aleatòria determina quin jugador guanya o perd a la ronda final, són els resultats de variació més perjudicials per a la satisfacció del jugador. La solució no és eliminar els daus sinó estructurar el final del joc perquè els resultats dels daus afectin el camí cap a la victòria en lloc de determinar-lo directament. Quan diversos jugadors tenen posicions guanyadores viables per a la ronda final, una tirada de sort és satisfactòria per al guanyador, però no sembla il·legítim per als perdedors, perquè els perdedors també tenien un camí per guanyar que podria haver estat activat per les seves pròpies tirades de sort.

Equilibrar les proves amb les matemàtiques

El marc MEQA (mesurabilitat, implicació, qualitat, accessibilitat) ofereix un enfocament estructurat per a les proves d'equilibri del joc. El pilar de mesurabilitat (la M de MEQA) és on les matemàtiques entren formalment en el procés de disseny: abans de començar la prova de joc, el dissenyador defineix què significa "equilibrat" en termes mesurables.

Per a un joc amb faccions asimètriques com Neutronium: Parallel Wars, l'equilibri mesurable significa que cada facció hauria d'aconseguir una taxa de victòria dins d'una banda de tolerància definida en una mostra suficient de jocs amb nivells d'habilitat comparables. Si l'objectiu és la taxa de victòria del 50% (equilibri pur) amb un rang acceptable de ±10%, llavors una facció que guanya el 42% dels jocs està dins de la tolerància i una facció que guanya el 63% no. Però assolir aquest estàndard requereix conèixer l'objectiu abans de provar, no declarar post-hoc que les taxes de victòria observades són "prou properes".

Definir mètriques abans de provar el joc canvia el que observes. Si sabeu que esteu mesurant el percentatge de victòries per facció, feu un seguiment de les assignacions i els resultats de les faccions a través de les sessions. Si sabeu que esteu mesurant la durada mitjana del joc, registreu les marques de temps. Aquestes decisions s'han de prendre abans de la primera sessió de prova de joc, perquè les mètriques retrospectives no són fiables: la memòria és selectiva i els humans recorden de manera natural les sessions que donen suport a les creences existents.

Requisits de mida de mostra per a les conclusions d'equilibri sovint són més grans del que els dissenyadors esperen. Per a un joc de 2 jugadors amb 2 faccions, 30 jocs ofereixen dades de referència per detectar desequilibris superiors al 15% amb un 80% de confiança. Per als jocs de 4 jugadors amb 6 faccions, l'espai de combinació és molt més gran: 30 jocs us ofereixen aproximadament 5 jocs per parell de faccions, amb prou feines suficients per detectar desequilibris extrems i insuficients per detectar avantatges subtils. Els editors independents poques vegades tenen els recursos per a una validació estadística rigorosa; l'enfocament pràctic consisteix a utilitzar les matemàtiques per verificar els valors esperats, les proves de joc per detectar els valors atípics i els comentaris de la comunitat després del llançament per identificar problemes supervivents.

Per obtenir el marc complet, inclòs com s'integra Measurability amb els altres pilars MEQA, consulteu la MEQA guia del marc d'equilibri del joc, que inclou l'enfocament complet per definir, mesurar i assolir l'equilibri entre els sistemes de joc.

La fórmula d'escala d'ingressos a Neutronium es connecta directament amb el detall de la mecànica a /mechanics/nuclear-port-scaling, on la funció exponencial es documenta juntament amb el raonament del disseny per a cada valor llindar.

Eines de probabilitat per a dissenyadors

Algunes eines fan que les matemàtiques de disseny de jocs siguin accessibles sense necessitat de formació estadística avançada. Aquests són els que funcionen a la pràctica.

AnyDice (anydice.com) és la calculadora estàndard de probabilitats de daus per als dissenyadors de jocs. Accepta la notació de daus en llenguatge natural (2d6, d4+d8, 3d6 manté el 2 més alt) i retorna distribucions de probabilitats, valors esperats i probabilitats acumulades. Per a qualsevol mecànic que inclogui daus, AnyDice hauria de ser la primera eina consultada. Els seus gràfics de sortida fan que les distribucions siguin llegibles i comparables immediatament: enganxeu dues expressions de daus diferents una al costat de l'altra per veure immediatament com difereixen les seves distribucions.

Les simulacions de fulls de càlcul (Fulls de càlcul de Google, Excel) gestionen càlculs que AnyDice no pot: acumulació de recursos en diverses rondes, ingressos amb diverses fonts, durada esperada del joc sota diferents supòsits estratègics. Un model bàsic de full de càlcul de l'economia d'un joc (amb columnes per a cada torn, files per a cada tipus de recurs i fórmules que representen els ingressos bàsics i la mecànica de despesa del joc) triga entre 2 i 3 hores a crear-se i revela problemes d'equilibri que necessitarien més de 20 proves de joc per descobrir empíricament.

La simulació de Monte Carlo és l'eina de més precisió: executar la mecànica d'un joc milers de vegades de manera computacional per produir distribucions estadístiques de tots els resultats possibles. Per als dissenyadors amb formació en programació, Python amb NumPy és suficient per a la majoria de les necessitats de simulació de jocs. Per als dissenyadors sense antecedents en programació, hi ha eines visuals de Montecarlo i fins i tot simulacions basades en fulls de càlcul que produeixen resultats significatius amb coneixements tècnics limitats. Montecarlo és més valuós per a jocs amb interdependències complexes on el càlcul analític és difícil: quan interactuen diversos esdeveniments aleatoris, la simulació produeix estimacions de distribució més fiables que el càlcul manual.

Quan confiar en les matemàtiques versus quan fer la prova de joc: utilitzeu les matemàtiques per verificar l'equilibri teòric i detectar errors de disseny evidents abans d'invertir en proves de joc. Utilitzeu les proves de joc per descobrir com la psicologia humana interactua amb les matemàtiques: els llocs on l'estratègia òptima difereix del que fan els jugadors i els llocs on les matemàtiques prediuen l'equilibri però l'experiència sembla injusta. Tots dos són necessaris. Cap dels dos és suficient per si sol.

Preguntes més freqüents