Galda spēļu matemātika: varbūtība, paredzamā vērtība un kāpēc kauliņi jūtas negodīgi

Katram galda spēļu mehāniķim ir matemātiska identitāte. Kauliņu metienam ir paredzamā vērtība un dispersija. Kāršu izlozei ir varbūtības sadalījums. Resursu tirdzniecībai ir valūtas kurss, ko var izteikt kā attiecību. Dizaineri, kuri saprot šo matemātiku, pieņem labākus lēmumus nekā dizaineri, kuri strādā pēc izjūtas — nevis tāpēc, ka matemātika aizstāj intuīciju, bet gan tāpēc, ka intuīcija bieži nesakrīt ar realitāti tādā veidā, ka testēšana vien ir lēni labojama.

Šajā rakstā ir apskatīti matemātiskie jēdzieni, kas ir vissvarīgākie galda spēļu izstrādē un spēlēšanā: varbūtības sadalījums, paredzamā vērtība, dispersija un psiholoģiskā atšķirība starp matemātikas teikto un spēlētāju pieredzi. Neatkarīgi no tā, vai plānojat spēli vai vienkārši mēģināt saprast, kāpēc jūsu kauliņu sesijas šķiet tik katastrofāli neveiksmīgas, šeit esošā sistēma mainīs jūsu domāšanu par nejaušību spēlēs.

Kāpēc matemātika ir svarīga spēļu dizainā

Spēļu dizainers, kurš nav aprēķinājis savas spēles pamatdarbības ekonomikas paredzamo vērtību, nezina, vai viņa spēle darbojas. Tas izklausās skarbi, taču funkcionāli tā ir patiesība. Ja paredzamie ienākumi no labākās pieejamās darbības ir 4 resursi vienā kārtā un uzvaras nosacījuma darbības izmaksas ir 30 resursi, izstrādātājam ir jāzina, vai šis ienākumu līmenis ir sasniedzams spēles tipiskajā ilgumā — pirms spēles pārbaudes, nevis pēc sešām sesijām, prātojot, kāpēc neviens nekad neuzvar.

Matemātika un spēļu pārbaude ir papildinoši rīki, nevis alternatīvas. Matemātika stāsta, ko teorija paredz. Playtesting parāda, vai cilvēka uzvedība atbilst teorijai. Lielāko daļu laika tie atšķiras — nevis tāpēc, ka matemātika ir nepareiza, bet gan tāpēc, ka spēlētāji ne vienmēr izvēlas teorētiski optimālo darbību. Plaisa starp teorētisko optimālo spēli un faktisko cilvēka spēli pati par sevi ir dizaina mainīgais: spēle, kurā tikai optimāla spēle rada interesantus lēmumus, ir sliktāka nekā spēle, kurā neoptimāla spēle rada arī interesantas situācijas.

Katram mehāniķim ir sagaidāmā vērtība, un dizaineriem tā ir jāzina. Kad Neutronium: Parallel Wars spēlētājs gūst ienākumus no Nuclear Ports, viņš saņem precīzi aprēķinātu paredzamo vērtību par katru portu vienā kārtā. Kad viņi izvēlas uzbrukt, nevis būvēt, viņi pieņem lēmumu, kuram ir izskaitļojami sagaidāmie rezultāti dažādos scenārijos. Dizainers, kurš zina šos skaitļus, var pieņemt nozīmīgus līdzsvara lēmumus; dizainers, kurš to nedara, uzminē.

Kritiskā asimetrija ir tāda, ka nejaušība šķiet negodīga pat tad, ja tā ir līdzsvarota. Apmetot 50/50 monētu, sešas reizes pēc kārtas tiek uzmestas galviņas aptuveni 1,6% gadījumu — reti, bet ne neiespējami. Kad tas notiek ar spēlētāju spēlē, viņš to izjūt kā spēles pārtraukumu, nevis kā parastu statistikas notikumu. Izpratne par to, kāpēc tā notiek, un kā dizaineri var strukturēt nejaušību, lai justos mazāk sodāmi, vienlaikus saglabājot tās pašas pamatā esošās varbūtības, ir praktiski vērtīgākais spēļu dizaina matemātikas pielietojums.

Kauliņu varbūtība 101

Singls d6 ir visizplatītākais nejaušināšanas rīks galda spēlēs un arī viens no visvairāk pārprastajiem. Standarts d6 rada vienmērīgu sadalījumu: katrai skaldnei (no 1 līdz 6) ir 1/6 rašanās iespējamība, un paredzamā vērtība ir 3,5. Spēlētāji to saprot intuitīvi, taču bieži vien nesaprot, ko tas nozīmē, ja sesijas laikā tiek atkārtoti apmesti.

Atsevišķa d6 un 2d6 atšķirība ir pamats, lai saprastu, kāpēc dažādi kauliņu mehāniķi jūtas atšķirīgi. Vienam d6 ir plakans varbūtības sadalījums — katrs rezultāts no 1 līdz 6 ir vienlīdz iespējams. Divas d6 summētas rada zvana līkni: 7 ir visticamākais rezultāts (varbūtība 6/36 = 16,7%), savukārt 2 un 12 katram ir iespējamība 1/36 = 2,8%. 2d6 sadalījums koncentrē rezultātus tuvu vidum un padara ārkārtējus rezultātus reti. Tāpēc Catan, kas izmanto 2d6 resursu ražošanai, jūtas mazāk sodošs atsevišķiem ruļļiem nekā sistēmas ar vienu kauliņu — sadale, protams, ierobežo ārkārtējus rezultātus.

Pielāgoti kauliņi ar nestandarta seju sadalījumu sniedz dizaineriem precīzu kontroli pār varbūtības profiliem, ko standarta kauliņi nevar nodrošināt. Metālam ar skaldnēm [0, 0, 0, 1, 1, 2] ir ļoti atšķirīgs raksturs nekā d6: tas rada nulli 50% laika, vienu 33% laika un divus 17% laika ar paredzamo vērtību 0,67. Neutronium: Parallel Wars izmanto pielāgotus D6 kauliņus ar krāsu kodētām sejām: zilas sejiņas apzīmē standarta cīņas rezultātus, sarkanās sejas apzīmē kritiskos rezultātus, bet zaļās sejas apzīmē īpašus spēju izraisītājus. Seju veidu sadalījums — ne tikai seju skaits — nosaka katra iznākuma iespējamību. Kabulis ar trim zilām, divām sarkanām un vienu zaļām sejām 50% gadījumu rada zilu iznākumu, 33% - sarkanu un 17% - zaļu. Dizaineris var pielāgot šīs attiecības, mainot seju skaitu, nevis veidojot matemātiski sarežģītas izšķirtspējas sistēmas.

Eksplodējošie kauliņi ir kauliņi, kas, metot maksimālo vērtību, tiek izmesti vēlreiz un rezultāti tiek pievienoti. d6, kas eksplodē uz 6, paredzamā vērtība ir (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × paredzamā d6 vērtība) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Atvērtais raksturs rada teorētiski neierobežotus rezultātus — laimīga sprādzienu secība var radīt ļoti augstus kopsummas —, kas rada "veiksmes sajūtas" mirkļus, ko dažas spēles apzināti kultivē. Kompromiss ir liela dispersija un ik pa laikam spēle, kas nosaka veiksmi.

Ierobežoti kauliņi ir pretēja filozofija: maksimālā rezultāta ierobežošana, lai ierobežotu dispersiju. Kauliņu kopas sistēmas, kurās jūs metāt vairākus kauliņus un iegūstat tikai labākos N rezultātus (priekšrocību sistēmas, piemēram, D&D 5E priekšrocības mehāniķis vai Gumshoe vairāku kauliņu maksimālā vērtība), matemātiski samazina dispersiju, vienlaikus saglabājot varbūtības sajūtu. Izņemot lielāko no diviem d6 metieniem, paredzamā vērtība tiek novirzīta no 3,5 uz 4,47 — tas ir par 28% uzlabojums, vienlaikus ievērojami samazinot zemu rezultātu iespējamību.

Paredzamā vērtība resursu spēlēs

Resursu uzkrāšanas spēles — eiro, dzinēju būvētāji, ekonomiskās stratēģijas — ir balstītas uz paredzamās vērtības aprēķiniem, kas projektētājam ir jāsaprot precīzi, pat ja tie nekad nav skaidri norādīti noteikumu grāmatā. Kad spēlētājs izvēlas vienu no divām darbībām, viņš (apzināti vai nē) salīdzina šo darbību paredzamo vērtību attiecīgajā laika periodā.

Neutronium: Parallel Wars Kodolostas ienākumu sistēma ir skaidrs paredzamās vērtības piemērs. Ienākumu formula nosaka, ka spēlētājs ar N kodolieroču portiem saņem ienākumus pēc likmes, kas nelineāri mērogojas ar N. Konkrētā formula — 1 ports dod 2 Neutronium vienības vienā kārtā; 10 porti dod 220 Nn vienā kārtā - tas nav nejaušs. Tas ir dizainera nepārprotams apgalvojums, ka portu uzkrāšanai vajadzētu radīt eksponenciālu, nevis lineāru atdevi, jo eksponenciālā atdeve rada koalīcijas slieksni, kas virza spēles konkurences dinamiku.

Šī formula ir tīšs spēles dizains, kas izteikts kā matemātika. Plaisa starp 7 ostu ienākumiem (42 Nn/kārta) un 10 ostu ienākumiem (220 Nn/kārta) ir ekonomisks arguments, kāpēc koalīcijas veidojas pie 7 ostu sliekšņa, nevis jāgaida līdz 9 vai 10 ostām. 7 ostās spēlētājam ir pietiekami daudz ienākumu, lai viņš būtu apdraudēts, taču koalīcijas darbība joprojām var būt izšķiroša, pirms ienākumu priekšrocības kļūst matemātiski nepārvaramas. Dizainers, kurš nonācis pie šiem skaitļiem, izmantojot tikai atskaņošanas testēšanu, varētu tos iegūt aptuveni pareizi; dizainers, kurš jau no paša sākuma saprata eksponenciālo funkciju, varētu precīzi norādīt slieksni.

Plašāks princips: ja eksponenciālā mērogošana ir tīšs spēles dizains, izstrādātājam ir jādokumentē mērogošanas funkcija un jāpārbauda, vai tās izveidotie sliekšņi ir tur, kur viņi tos vēlas. Ja koalīcijas slieksnim vajadzētu būt 6, nevis 7, ienākumu formula ir jākoriģē — tas prasa zināt, kāda ir formula, nevis tikai ievērot, ka "spēle ir līdzsvarota".

Diperance un spēlētāju uztvere

Variance ir mērījums tam, cik lielā mērā faktiskie rezultāti izkliedējas ap paredzamo vērtību. Liela dispersija nozīmē, ka individuālie rezultāti var krasi atšķirties no gaidītā; zema dispersija nozīmē, ka rezultāti ir cieši saistīti ar vidējo. Spēļu dizaineriem dispersija ir vadības poga, kas ietekmē gan spēles matemātisko godīgumu, gan subjektīvo spēles pieredzi.

Galvenais psiholoģiskais ieskats: liela dispersija ir slikta pat tad, ja tā ir matemātiski līdzsvarota. Monētas mešana ir pilnīgi godīga — 50/50, paredzamā vērtība abiem spēlētājiem ir tieši vienāda, taču, spēlējot spēli, kurā katrs lēmums tiek atrisināts ar monētas mešanu, šķiet, ka tā ir patvaļīga un neapmierinoša. Spēlētājiem ir jājūt, ka viņu lēmumi ir svarīgi, kas nozīmē, ka viņiem ir nepieciešama cēloņsakarība starp labiem lēmumiem un labiem rezultātiem, lai tie būtu pamanāmi spēles sesijas laikā. Liela dispersija pārtrauc šo savienojumu.

7 pret 2 Catan hex problēma to skaidri parāda. Katanā skaitlis 7 tiek drukāts uz visvairāk sešstūriem, jo ​​tam ir vislielākā varbūtība ar 2d6 (16,7%). Skaitlis 2 ir uzdrukāts uz vismazāk sešstūriem (2,8%). Pieredzējuši spēlētāji zina piešķirt prioritāti resursiem 6s, 8s, 5s un 9s — lielas varbūtības heksades. Taču jebkurā konkrētajā sesijā spēlētājs, kurš pareizi novieto savus sākotnējos norēķinus uz šiem sešstūriem, joprojām var ievērojami atpalikt no spēlētāja ar mazāku varbūtības izvietojumu, ja faktiskie kauliņu mešanas rādītāji atšķiras no paredzamajām vērtībām. Tas nav negodīgi — tā ir normāla statistiskā atšķirība. Taču tas šķiet negodīgi, jo attiecības starp lēmumu (labs izvietojums) un iznākumu (bieži resursu ienākumi) ir aizēnotas ar dispersiju.

Dizaina risinājumi, lai pārvaldītu dispersijas radīto netaisnību, ietver: mazināšanas mehānismus (pārspēles, resursu bankas, panākšanas mehānismi, kas aktivizējas neveiksmīgas skrējiena gadījumā), lēmuma punkti, kas paliek nozīmīgi arī pēc neveiksmes (tādēļ spēlētājam, kurš met slikti metienus, joprojām ir interesantas izvēles iespējas) un variance: izkliede, kas dod priekšroku spēlētājiem. vadošais spēlētājs vēlas stabilus, paredzamus ienākumus; pēdējie spēlētāji gūst labumu no augstas dispersijas pieejām, kas var ātri samazināt atšķirību, lai gan paredzamā vērtība ir tāda pati.